Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Направим ось 1' вдоль излучающего отрезка, поместив начало ноординат 0 в его середине, Пусть ф — разность фаз между двумя лучами, исходящими из точки 0 н попада. ющими в точку наблюдения Р по Различным путям. Разность фаз между такими же лучами, исходя. щами из другой точки отрезка с координатой р и приходящими в ту же точку Р, будет 6 =Ар(соз 8, — соз йз)+гр = = (аб/!) у+ р. а л гв Ва 4п - АА Рис. 128 /)учи, исходящие по различным путям из отрезка г(у, при интерференции на экране создангг интенсивность л/ =(1-)-соз 6) АУ Р е ш е н и е.
Согласно (28.7), интенсивность света на экране при освещении обоими источниками дается выражением / = 2/т (1+ соз б), где /т — интенсивность, создаваемая одним нз ннх. При смещений точки наблюдения по экрану иэ-за изменения разности фаз 6 между интерферирующнми пучками интенсивность / меняется от /„„„ = 4/з до /„,„ = О, так что У ~ 1, 2. Решить ту же задачу для источнйка света, состоящего из двух одинаковых некогерентных светящихся точек А н В, расположенных на расстоянии / друг от друга (рис, !23). Интерференциовные полосы наблюдаются на удаленном экране.
Р е ш е и и е. Интенсивности света в ввтерференцвонных картинах на экране, 6=. здаваемые в отдельности светящимися точнами А и В, равны соответственно д = /з (1+ соз бз), /и — — /, (! + соз 6,), где 6,, 6, и I имеют такой же смысл, что и в предыдущей задаче, Результирующая интенсивность 212 МН! ГГЭГГ! П!П!И СВЕТЛ )ГЛ !П (в условных ешпнщах]. Тзк как тощи источника излуча!от иекогерентно, то пол- ная интенсивность будег +!/2 /= ~1+сов ' — ' и+!у !~ Л// =1+ — ~ып ( — +!у )+ Ип ( — — !р)~. — г/2 При смещении вдоль экрана будет меняться фаза йг.
Значения фазы йг! прн кото. рых интенсивность / зкстремальпа, найдутся из условия соз ( — + гр ) =- ссн ( — — г( ) откуда !р = щп, где а — целое число; 1=1+1 при четном пь яп (дд/2) ДЛ/2 /=1 — 1 Ип (/гЛ/2) да/2 при нечетном т. Следовательно, ч)п (дЛ/2) мп (йЛ/2) ээкс + дЛ/2 ~ /эчн= з!и (АЛ/2) йЛ/2 (28.16) Кривая видности представлена на рис. уп Рис, 129.
г/ и зщ (йл/2)~ /гЛ/2 (ап (/Л/2))2 йлг2 (28.17) й 29. Спектральное разложение 1. До сих пор интерференция исследовалась только в идеальном случае монохроматического света. Интерференцию в пемонохроматическом свете можно исследовать, разлагая свет по теореме Фурье на монохроматические составляющие. Если волновое поле в точке наблюдения описывается периодической функцией Е = Е (1) с основным периодом т и основной частотой ьг = 2п/т, то его можно точки источника излучают когерентно Ответ, 129. Из рисунка видно, как быстро с увеличением длины 1 источника уменьшаются максимумы иа кривой видности.
Той же кривой представляется видность интерференционных полос в опытах типа зеркал и бнпрнзмы Френеля (если только точки щелсвого источника света излучают векогерентно). В этои случае 1 означает ширину щели. 4. Решить предыдущую за. дачу в предположении, что все и притом в одинаковых фазах, спсктглльног. глзложениа представить в виде вещественной части ряда Фурье: Е(1) = ~ а„е'"и', (29,1) л=о коэффициенты которого определяются выражением т22 а„= — ~ Е(~)е 2лп22(1 — т22 (29.2) Она равна сумме средних плотностей энергии монохроматических колебаний, из которых складывается результирующее колебание. То же заключение справедливо и для интенсивности колебаний, если понимать под интенсивностью усредненную по периоду т любую энергетическую величину, характеризующую поле излучения в рассматриваемой точке пространства.
Полученный результат остается приближенно верным и для случая, когда функция Е (1) не периоднчна, а представляется супер- позицией мопохроматических колебаний, частоты которых распределены по спектру совершенно произвольно. Только в этом случае усреднение надо производить не по периоду т (которого теперь не существует), а по времени, весьма большому по сравнению с периодами всех монохроматических колебаний, входящих в суперпозицию. Результат приближенно верен и в случае суперпозиции почти гармонических колебаний с произвольными частотами, например для света, состоящего из узких спектральных линий.
2. Если функция Е (~) не периодична, то она представляется не рядом, а интегралом Фурье. Для возможности такого представления на функцию Е (1) приходится накладывать различные (достаточные) ограничения, например требовать, чтобы она была абсолюлоно интегрируеиа во всем бесконечном интервале ( — т»ь, +от»), т. е. чтобы сходился интеграл +л» ~ Е (1) ( Ж. Это обстоятельство, однако, в физике не создает никаких существенных затруднений, даже в тех случаях, когда вводят функции, не обращающиеся в нуль на бесконечности, т. е.
не удовлетворяющие требованию абсолютной интегрируемости. (см. т. 111, 5 128; конечно, в случае света постоянного слагаемого с коэффициентом а, не будет). Средняя за период объемная плотность энергии колебаний (в условных единицах) будет т/2 тл О и» = — ~ (Е~2 222'= ~~ ~ а„~о = ~) и»л.
(29.3) -т!2 л=о л=о 214 ИитЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА !гл. !и Действительно, пусть Е (1) — такая функция. Разделим 1 на интервалы времени, достаточно длительные по сравнению с периодами световых колебаний. Световое поле на каждом из таких интервалов (1„1, + т) и его воздействие на приемник при любом значении 1, практически совсем не зависят от полей на соседних интервалах. Поэтому при рассмотрении света только на интервале (!'„!', + т) функцию Е (1) вне рассматриваемого интервала можно заменить любой другой функцией.
В частности, ее можно периодически продолжить за пределы интервала (1„, 1, + т) с периодом т. Но тогда для представления функции Е (1) в интервале (!„~, + т) можно воспользоваться рядом Фурье (29,!). При этом, ввиду малости частоты й 2п/т, целесообразно ввести обозначения Ь22 = 11, тэ„= п(1.
Тогда Е (1) = ~~1 а,е "' э' —" е ".' Лэ!. ~,~ 22 (29. 4) !Е(2Ж=2п~ ~а(тэ)!2!(!», (29.6) После аппроксимации суммы интегралом получаем Е (1) = )' а (тэ) е!"! г(тэ, где а (э2) = а„!11„или с учетом (29.2) т!2 т!2 а(а)= — „~ Е(1)е-! 'т(1= — ~ Е(1)е-""с(Е (29.5) — т!2 Интеграл Фурье получается из этих формул, если в последнем выражении конечные пределы заменить на бесконечные †и +Со (см. т, П1, 5 128). Однако здесь мы не будем делать этого, оставляя время т неопределенным.
При физической постановке задач всегда можно достигнуть необходимой точности, выбирая т достаточно большим. Таким путем достигается то преимущество, что формулу (29А) в каждом интервале длительностью т можно будет применять и для функций Е (1), ие интегрируемых абсолютно, например к плоским волнам постоянной интенсивности, не ограни- ченным во времени.
При этом выражения (29.4) на разных интерва- лах времени т (если т выбрать достаточно большим), вообще го- воря, не будут когерентны. В случае интеграла Фурье формула (29.3) заменится на т!2 1 Е )2 Ж = т ~ ) а (ет„) й )2. т/2 Если аппроксимировать сумму интегралом и учесть, что т(1 = 2п, то получится й й и й — ютта мд 2!5 СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНПЕ « 2»1 О физическом смысле этого соотношения говорится ниже в пункте 5. 3. Приведем пример спектрального разложения, приводящий к важным обобщениям. Бесконечно длящееся синусоидальное колебание является идеализацией ограничешюго ряда, или цуга сипусоидальных волн, представленного на рис.
130, а «оборванной -а) Т Рес. 130. В вещественной форме 2 (' а)па/а(о — о„) т аа,) а/а (о — соа) т о (29.7) ЯПМ ра — оа) « График -функции —, где ах = а 2 приведен на рис. !30, б. Таким образом, оборванный цуг волн, изображенный на рис. 130, а,может быть представлен суперпозицией бесконечного множества синусоид, частоты которых непрерывно заполняют бесконечный интервал 0 ( о ( + оо. Впрочем, основное значение имеет только интервал — — '(а(+ — или о — — ( о ( о + —, 2 2 ' о о где амплитуды колебаний велики. На всех остальных участках амплитуды малы. Если ими пренебречь, то можно сказать, что весь спектр частот практически сосредоточен в пределах интервала шириной /»о, который удовлетворяет условию (29,8) бо т) 2п.
Если ввести обычную частоту т = о/(2п), то (29.8а) синусоидой». Пусть То — «период», а о, — «частота» этой «синусоиды». Тогда в комплексной форме а (о) = — ~ — емо ">'«(/ = —. 1 Г 1 а „, 2 ам а/а(оа — о,)« 2Л еа Г п) ~/а (о — оа) т — «Д интеРФеРенция светл ггл. !г! Это важное соотношение между шириной спектра Лев (илн Лт) и длительностью цуга т имеет общий характер. Его можно также уяснить на следующем простом примере. Рассмотрим множество синусоид с одинаковыми амплитудами, но различными частотами, непрерывно и равномерно заполняющими интервал Лы.
Пусть в точке ( = 0 фазы всех синусоид совпадают, а следовательно, амплитуда колебаний максимальна. При / = т/2 разность фаз между крайними синусоидами будет Лгв т/2. Если она сделается равной 2п, то в точке / = т/2 наложатся синусоиды со всевозможными фазами, непрерывно и равномерно заполняющими интервал шириной 2л. При таком наложении, как легко уяснить с помощью векторной диаграммы, синусоиды погасят друг друга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
