Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 165
Текст из файла (страница 165)
Достаточно, чтобы средняя энергия гармонического осциллятора была функцией только частоты м, как это имеет место в квантовой теории. 5. Формула Рэлея — Джинса согласуется с общей термодинамической формулой Вина (116.9) илн (116.10). Более того, анд этой формулы может быть непосредственно установлен на основе одной только формулы Вина, если ограничиться предельным случаем низких частот, Для этого заметим, что в формуле (4!6.10) функция /(ОО/Т) должна быть возрастающей фуякцией температуры Т и обращаться в нуль при Т = О.
Ее удобнее рассматривать как функцию аргумента Т/ОО и разложить в ряд по степеням этого аргумента: Если ограничиться первым членом этого ряда, то получится и (ОО, Т) =СТОР. (117.9) Но по своему виду этот результат совпадает с формулой (117.8). Только коэффициент С остается неопределенным. Зато формула (117,9) выведена в более общих предположениях, чем (11?.8). Таким образом, в'предельном случае низких частот нет сомнений в правильности вида формулы (117.9). И действительно, для достаточно длинных волн (точный критерий приводится в следующем параграфе) формула Рэлея — Джинса прекрасно согласуется с опы.
том. Она с успехом применяется в длинноволновой инфракрасной области спектра и в радиодиапазоне. Но классическая статистика требует, чтобы формула Рэлея— Джинса (117.8) была верна при любых частотах. Однако это невозможно, так как тогда для интегральной плотности энергии получилось бы бесконечное значение: ьт г ООВ,(ОО СО я'сО о й ФОРмулА Рэлвя джинсА $116 Отсюда следует, что по теории Рэлея — Джинса тепловое равновесие между веществом и излучением невозможно.
Этот вывод противоречит опыту. П. С. Эренфест назвал его улыпрафиолетовой катастрофой. Причина ультрафиолетовой катастрофы заключается в том, что в теории Рэлея — Джинса излучение в полости имеет бесконечное, а вещество конечное число степеней свободы. Поэтому, если бы было справедливо равномерное распределение энергии по степеням свободы, то при тепловом равновесии вся энергия должна была бы сосредоточиться в излучении. 6. Можно было бы возразить, что классическая статистическая механика, следствием которой является теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы, неприменима к системам с бесконечным числом степеней свободы. Но такое возражение неубедительно.
В основе классической статистической механики лежат уравнения классической механики в форме Гамильтона (1805 †18). Хотя они и были установлены для механических систем с конечным числом степеней свободы, но можно показать, что излучение в полости можно описывать бесконечным', но счетным числом обобщенных координат, также подчиняющихся уравнениям Гамильтона. Следовательно, и вся система, состоящая нз.вещества и излучения, будет описываться уравнениями Гамильтона.
Поэтому было бы непонятно, почему теорема о равномерном распределении энергии справедлива для одних и не имеет места для других степеней свободы. Кроме того, к формуле Рэлея — Джинса независимо пришел также Планк, применивший эту теорему только к веществу, но не к излучению. Он провел рассуждение для одномерного гармонического осциллятора, например, квазиупруго связанного электрона, помещенного в полость с равновесным излучением. Под действием хаотически меняющегося электромагнитиосо поля излучения осцил-.
лятор будет совершать колебания с хаотически меняющимися амплитудами и фазами, излучая и поглощан при этом электромагнитные волны. Энергия осциллятора будет совершать беспорядочные флуктуации вокруг среднего значения е'. В результате идейно простых, но несколько длинных вычислений Планк пришел к формуле (117.10) Если в этой формуле применить к осциллятору (вещество1) теорему о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы, то получится формула Рэлея — Джинса. 698 ~гл.
х теплОВОе излгченнв 9 118. Формула Планка 1. Правильная формула для'спектральной плотности энергии равновесного излучения, подтвержденная всеми экспериментальными исследованиями, была найдена Планком сначала полуэмпирнческим путем. Спустя короткое время, Планк нашел теоретический вывод этой формулы, изложенный им 14 декабря 1900 г. на заседании Немецкого физического Общества. Этот день считается днем рождения новой — квантовой — Физики. Идея о квантах, осторожно формулированная Планком, развилась в стройное и глубокое учение, покорившее всю физику. Решение проблемы равновесного излучения Планком было бы невозможно, если бы в своих исследованиях он не находился в тесном контакте с экспериментаторами.
Из экспериментальных работ по излучению абсолютно черного тела особенно следует отметить исследования Лэнглея (1834 — 1906), Рубенса (1865 — 1922), Пашена (1865 — 1947), Вина, Луммера,(1860— 1925), Зс Принсхейма (1859 — 191?), Курльбаума. 2. Гипотеза Планка состоит в том, что излучение и поглощение света веществом происходит не непрерывно, а конечными порциямн, называемыми квантами иета или квантами энергии. Получим формулу Планка тем же методом, который применялся при выводе формулы Рэлея — Джинса. Тогда гипотезу Планка удобно взять в следующей форме: энергия гармонического осциллятора может принимать не произвольные, а только избранные значения, образующие дискретный ряд: О, Ф„, 28„, 36„..., где ʄ— определенная величина, зависящая только от собственной частоты ы осциллятора.
Здесь под осциллятором понимается не только частица, могущая совершать гармонические свободные колебания, но, например, н стоячая волна определенной частоты в полости. Если осциллятор изолирован, то по истечении достаточно длительного времени он потеряет всю свою энергию на излучение и перейдет на наиннзший энергетический уровень с энергией Ж = О. Но если осциллятор находится в полости, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре, то наряду с излучением будут происходить и акты поглощения, в результате которых возбуждаются и высшие энергетические уровни, Установится вполне определенное состояние детального равновесия, в котором число актов излучения в среднем рацио числу обратных актов поглощения.
В этом состоянии будут возбуждены все энергетические уровни, но с различными вероятностями. И все, что требуется для нахождения функции и (ы, Т), — это определить средшою энергию 6 осциллятора в этом состоянии статистического равновесия. Такая задача уже была решена нами (см. т.
П, 3 85). Приведем еще раз это решение в несколько измененной форме. По теореме Больцмана вероятности возбуждения энергетических уровней осциллятора О П81 ФОРМУЛА ПЛАНКА пропорциональны величинам 1, е-а Ам е — галет Поэтому СО ~ «я,е — ламет л=! ле лх л=! =80 ~Ч ! е-лх «=О " е —.Виет Х' «=О где введено обозначение х ='Я,ПТ.
Значение знаменателя определяется формулой Е лх 1 1 — е-х' л=е Числитель находится дифференцированием этой формулы по х ПЕ-л"— е — х (1 — е-х)«л л=! и следовательно, (118.! ) е" — ! ламет ! ' Подставив это значение в формулу (11?,8), найдем ОО' !Еа ил=в плел еа !Ат (118.2) 1 Же!е! !' ее ), „ле,,апет ! '( Т /' (118.3) Но ЖО есть характеристика толью саеюго осе(аллялюра, а потом~у не может зависеть от температуры Т вЂ” макроскопического пара- Перейдем в этой формуле к пределу ФО-л О.
Тогда ее 1*т ж ж1+ е'ОИТ, а потому 8= 'ЛТ. Получается классическое выражение для средней энергии осциллятора. Формула (1!8.2) в рассматриваемом предельном случае переходит, следовательно, в формулу Рэлея — Джинса. Этого и следовало ожидать, так как переход к пределу се-+ 0 фактически означает возвращение к классическому рассмотрению, когда энергия осциллятора меняется не дискретными порциями, а непрерывно. Однако Планк, и это привело его к великому открытию, поставил вопрос, что получится, если предельный переход 68 — 0 не. производить. Величину ЖО он определил из требования, чтобы выражение (1!8.2) удовлетворяло общей термодинамической формуле Вина (116.10). Приравняв (118.2) и (118.10), видим, что это требование сводится к выполнению соот- ношения тепловое излучения [ГЛ.
Х метра, определяющего состояние вещества и излучения. Величина Ж, может зависеть только от собственной частоты [ь осциллятора. В таком случае, чтобы левая часть равенства (118.3) была функцией только аргумента [ь?Т, необходимо и достаточно, чтобы ~0 й[ь (118.4) где й — постоянная. Она универсальна, поскольку в правой части (118.3) стоит универсальная функция 7'(ь[!Т) аргумента [ь!Т, Величина Й называется постоянной Планка. Ее численное значение по современным данным равно й = (1,0545887 + 0,000005?) 10мп зрг с = (1,0545887'+ 0,0000057) АЙ!О '1 Дж ° с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
