Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 164
Текст из файла (страница 164)
е. йр,!йх = О. Таким образом, при всех температурах максимум получается при одном и том же значении аргумента х. Отсюда следует, что при повышении температуры максимум функции ил г=„„,г смещается в сторону более коротких волн и притом так, что выполняется соотношение (116. 14) Л„,Т = Ь = сопз(.
Измерения дают: Ь = 0,2898 см К. Этот результат, определяющий смещение максимума излучения при изменении температуры Т, называют законом Вина в его специальной форме. В точках максимума функции ил (Т) и иА (Т') относятся как пятыв степени абсолютных температур Т и Т'. Функция и„ (а, Т) при постоянной температуре Т также обращается в максимум при какой-то частоте ы = в .
Частота в не равна 2псй, так как речь идет о максимумах различных функций и (ы) и иА (Л). При изменении температуры излучения положение максимума смещается, но при этом имеет место соотношение (116,16) которое является другой формой закона смещения Вина (116,14). сальной функции ~р (ы/Т) или г' (ы/Т) только одного аргумента а'Т. Отсюда следует, что если известно спектральное распределение в равновесном излучении при какой-либо произвольной температуре Т', то с помощью форлгулы (116.9) или (116.10) можно найти ваго распределение при всякой другой температуре Т.
В переменных Л, Т, как это следует из соотношения (112.2), формулам (1!6.9) и (1!6.10) могкно придать вид иА = Т'чг, (ЛТ), (116.11) и, = —,. р, (ЛТ), 1 (! 16.12) ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ (гл. х 4. Выведенный ранее закон Стефана — Больцмана является следствием общей формулы (116.9). Действительно, вводя обозначение х = ОО1Т, из этой формулы при постоянной Т находим СС ССС СО -( .с =т (т( — '~(с -т ) т~ )с - т', О О где а = — ~ ср (х) ах — универсальная постоянная. О й 117. Формула Рэлея — Джинса 1.
Результатами, изложенными в предыдуших параграфах, исчерпывается все, что могла даОь феноменологическая термодинамика в проблеме теплового излучения. Ее оказалось недостаточно для решения основной проблемы теории теплового излучения: определения функции и (ОО, Т) или функции 1 (ОО, Т), связанной с ней соотношением (112.6). Для этого оказалось необходимым привлечь статистические методы и учесть клонтовые свойства вещества и излучения. Первая попытка теоретического решения указанной проблемы была предпринята в 1887 г. В. А. Михельсоном (1860— 1927). В то время, как показало последующее развитие физики, правильное решение рассматриваемой проблемы было, конечно, невозможно.
Заслуга Михельсона состоит в том, что он привлек внимание физиков к одной нз важнейших проблем, решение которой положило начало квантовой физики. Общий метод теоретического определения функции и (ОО, Т) в рамках классической физики, не связанный с модельными представлениями, был указан в 1900 г. Рэлеем и через пять лет более подробно развит Джинсом (1877 — 1946). Рэлей и Джинс применили к равновесному излучению в полости теорему классической стати. стической механики о равномерном распределении кинетической внергии по степеням свободы.
Согласно этой теореме, в состоянии статистического равновесия на кавкдую степень свободы приходится в среднем кинетическая энергия '(,'ЛТ, где й = 1,38 10 " эрг! К— постоянная Больцмана. Если степень свободы колебательная, то надо учесть еще потенциальную энергию. В случае гармонических колебаний среднее значение потенциальной энергии равно также '/,нТ (см. т. П, Э 63). Таким образом, в состоянии статистического равновесия на каждую колебательную степень свободы приходится средняя энергия, равная йТ.
Эта теорема сводит задачу нахождения функции и„(ю, Т) к определению числа степеней свободы излучения в полости. Поскольку равновесное излучение в полости не зависит от ее формы и ФОРмулА Рэлвя джинсА материала стенок, можно предположить, что полость имеет форму куба с идеально отражающими стенками. са чтобы излучение в полости было равновесным, можно ввести в нее бесконечно малую черную пылинку, как это делалось в предыдущем параграфе при доказательстве теоремы Вина. ' 2. Чтобы лучше уяснить метод определения числа степеней свободы, рассмотрим этот вопрос сначала не для векторного электромагнитного поля, а для скалярного волнового поля, например для продольных акустических волн.
В такой постановке этот вопрос имеет и самостоятельный интерес, например в теории теплоемкости твердых тел Дебая. Волновое поле будем характеризовать какой-то функцией )с(г, !), удовлетворяющей волновому уравнению дс1/ дсу дсУ 1 дсу ' + .+ х —,— =О. дх' ду- дгх с" ди (11?.1) Предположим, что на стенках полости функция у' обращается в нуль. Тогда (а также и при других граничных условиях) по тео. реме Фурье функция У'(г, !) может быть представлена суперпозицией стоячих волн. Координатные оси Х, У, л направим параллельно ребрам кубической полости. Так как граничные условия должны удовлетворяться на гранях х = О, у = О, г = О и на параллельных им граня» полости, то каждая стоячая волна должна представляться функцией с рсхзделяющилсися переллеыныжи, т, е. 1с = Х (х) У (у) 2 (г) ехр (сес!).
Отсюда 1 дсУ 1 Лсх' 1 дсУ Фс Гдх' Х дхс ' '''' 1с ди сс' Подставив эти выражения в уравнение (117.1), получим 1ЛсХ ! И' 1дсг Ф Х дхс + У Вус + Х дгс сс Левая часть этого уравнения есть сумма функций от х, у, г соответственно, т. е. от различных переменных. Оца равна постоянной «с'!е'. Это может быть тогда и только тогда, когда каждая из этих функций сама постоянна, т.
е. 1 АХ с !их!с с 1 ась Х дхс хс !с дух = У> 2 с!гс =у =у = =у где с)„с)„, д, — постоянные, удовлетворяющие условию у" +уе+ ус у ех ' (117.2) Решение первого уравнения запишем в виде Х = а(п (в г + 6„), где 6„— постоянная интегрирования. Второй постоянной интегри- 694 теплОВОе излучение !гл. х рования служит амплитуда, которую без потери общности можно опустить. На грани полости х = О функция Х должна обращаться в нуль, т. е, яп 5, = О. Также не теряя общности, можно положить 5„=- О. На противоположной грани х = 1, где 1 — длина ребра кубической полости, функция Х также должна обращаться в куль, а потому гйп я,! = О.
Такие же результаты получаются и для координат у и г. Следовательно, Г =а(пг?,хз(од, дз!од,ге'~', (117,3) где д„1 = т,п, д„1=т«п, д,1= т«а, (! 17А) а т», т„, т, — целые числа. Все их можно считать положительными, так как введение отрицательных чисел не приводит к новым, линейно независимым решениям. В выражение (!17.3) можно было бы ввести еще постоянную амплитуду, зависящую от т„т„, т„но для наших целей в этом нет надобности. Это выражение и представляет общий вид стоячей волны в полости. Каждой тройке целых положительных чисел т„„лт„, гл„удовлетворяющей условиям (!17.4), соответствует одна стоячая волна.
Число возможных стоячих волн бесконечно велико. Будем рассматривать д„, д„, д, как прямоугольные координаты точки трехмерного «пространства волновых векторов» «7. Эти «изображающие точки» расположатся в узлах кубической решетки, элементарная ячейка которой есть кубик с длиной стороны Лд„= = (лЛ)Лл» = яд и объемом (лЛ)». Решетка заполняет только по. ложительный октант пространства волновых векторов, так как все координаты д„, д„, д, положительны. Объем части шара радиуса д, лежащей в этом октанте, равен "1»(4п!3) д» = (п15) (г», Число изображающих точек в нем и будет равно числу Е стоячих волн, волновые числа которых не превосходят д = 2Ы),.
Подавляющее число волн очень короткие, для ннх величина д очень велика по сравнению с длиной п?1 ребра элементарного кубика. Поэтому число стоячих волн в указанном октанте шара найдется делением его объема на объем элементарного кубика. Таким путем получается асимптотическая формула (я/6) д» К Р м» я»,Ч» 6л» 6я» «»? ' (11?.5) где $' = 1» — объем полости.
Она справедлива, когда сторона кубической полости очень велика по сравнению с длиной волны 1. = = 2пл?. Можно доказать, что формула (1!7.5) остается верной и для полости произвольной формы, хотя в этом случае стоячие волны и не будут представляться выражениями вида (1!7.3), Дифференцируя (117.5), получим (г= в ° Ф'М= ~я.. (117.6) ;эпя бэб ФОРМУЛА РЭЛЕЯ вЂ” ЛЖННСА Вта асимптотнческая формула дает число стоячих волн в интервале частот А», 2» + 2(»2. Она, разумеется, справедлива только для достаточно широких интервалов 0»2, когда дЛ>) 1. 3.
Рассуждения существенно не изменятся и в случае векторного (электромагнитного) поля. В этом случае вектор Е и его прямоугольные составляющие Е„Е„, Е, удовлетворяют прежнему волновому уравнению (117.1). Для полости с идеально зеркальными стенками граничные условия требуют обращения в нуль тангенциальных составляющих вектора Е на стенках полости. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: х=1, у=1, г = 1. при х=-О и при у=О и при г=О и Е, =Е,=О Е,=Е„=О Е,=Е„=О Стоячая волна, удовлетворяющая этим условиям, имеет вид Е, = й п (в,х+ р„) з ш агу й п д,г е '"', Е„=йпу„хйп(у„у+фу) йпв,ге'"", Е,= йцв,х йп вуу йп (д,г+ф,) е'"', (У»»2 в(»2 '2' аня (117.7) На каждую стоячую волну в состоянии статистического равновесия приходится в среднем энергия Ж = 'нТ: одна половина ее— электрическая, другая — магнитная.
Записав энергию равновесного излучения в полости в спектральном интервале 'д»2 в виде Уи д»2, из формулы (117.7) получим (117,8) где в„у„, у, определяются прежними формулами (117.4). Что касается фаз ф„, фу, ф„то их можно было бы найти из граничных условий, которым на стенках полости удовлетворяют нормальные составляющие электрического вектора Е. Но для наших целей 'в этом нет необходимости, так как для определения величин 7 и Ы достаточно знать только значения, которые могут принимать составляющие в,, уу, в,. Однако по сравнению с предыдущим случаем выражения (117.5) и (117.6) надо удвоить, так как электромагнитные волны векторные и притом поаеречныв.
Кюкдому направлению распространения соответствуют две волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях, в результате суперпозицин которых может быть получена волна любой поляризации, распространяющаяся в том же направлении. Итак, для электромагнитного поля 696. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ Ггл. х Этот результат известен под названием форели Радея — Джинса, хотя он независимо и практически одновременно с Рэлеем был получен также Планком из столь же общих, но несколько других соображений (см. пункт 6). 4. Прежде чем обсуждать формулу Рэлея — Джинса, заметим, что в случае полости, заполненной изотропной средой, число стоячих волн будет определяться прежними формулами (117.5) и (117.6), если только в них величину с заменить скоростью света о в рассматриваемой среде (предполагается, что среда изотропная).
Отсюда следует, что числа Я и д2 в одном и том же интервале частоты, а с ни. ми и функция и„пропорциональны с'/о', т. е. кубу показателя преломления среды и. Но это есть закон Кирхгофа — Клаузауса, доказанный в э 114. Вывод справедлив при более общих предположениях, чем это сделано в тексте. Нет необходимости ссылаться на классическую теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
