Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 159
Текст из файла (страница 159)
Однако изложение относящихся сюда вопросов электродинамики потребовало бы слишком 670 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ !Гл. !х ь много места, а потому мы ограничимся только рассмотрением процессов столкновения. 2. Для решения поставленной задачи проще и логичнее всего воспользоваться понятием четырехмерного вектора (или, короче, 4-вектора) в пространстве Минковского. Каждое еточечное» событие в таком пространстве характеризуется совокупностью четырех координат х, у, г, т = — сй При переходе от системы отсчета 3 к системе отсчета 5' разности координат двух точек преобразуются по формулам ах' =, Ьу'=ау, аг'=аг, Ьт' ==, (111,1) ьх — р ат... ат — р ах У~ — р» ' как это следует из (105.12). Напомним, что квадрат интервала между рассматриваемыми точками есть инвариант: ат» — стх» — Лу» — йг» = 1пч.
(111. 2) Мы воспользовались частным преобразованием Лорентца (105.!2), в котором предполагается, что координатные оси Х, У, 2 параллельны осям Х', У', 2', а система В' движется относительно 3 вдоль оси Х. Можно было бы взять любую ориентацию осей и любое направление движения, но это только усложнило бы запись, ничего не меняя по существу. Назовем четырехмерным вектором совокупность четырех величин А„, А„, А„А„которые при переходе от одной системы отсчета к другой преобразуются так же, как разности координат двух точек в пространстве Минковского, т. е. Величины А„, Аю А, называются пространственными, а А„— временной составляющей четырехмерного вектора. Пространственные составляющие мы объединим в обычный трехмерный вектор А и будем обозначать четырехмерный вектор через (А, А,).
Из тождественности законов преобразования (1!1.1) и (111.3) следует, что четырехмерный вектор (А, А,) обладает инвариантом: А,' — А' = 1пч. (111А) Если какой-либо закон природы записан в четырехл»ерной векторной форме (А, А,) = (В, В,), то он лорентц-ковариантен, так как обе части написанного равенства при преобразовании Лорентца преобразуются одинаково. Четырехмерная векторная форма эквивалентна двум уравнениям: А = В и А, = В,.
Этим замечанием мы и воспользуемся для решения поставленной задачи. Именно, мы постулируем, что закон сохранения импульса и энергии можно записать в виде равенства четырехмерных векторов. Задача состоит в том, чтобы найти вид этих векторов. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА 'ч пц 3. Рассмотрим частицу, движущуюся со скоростью и относительно неподвижной системы отсчета 3. Пусть йэ' — ее перемещение за время й( = йтlс.
Эти величины, образуют четырехмерный вектор (йг с йг). Очевидно, он останется четырехмерным вектором и после умножения его составляющих на одну и ту же постоянную. Возьмем в качестве таковой тейтум где т, — некоторая постоянная, а сс-с~Т вЂ” ЖЯ вЂ” ~ ю является инвариантом. Тогда получим четырехмерный вектор т, Я, с „-;-) = т (и, с), (111.5) где введено обозначение т = (111.6) ) ! Р2/сз Допустим теперь, что частица движется медленно, так что величиной тР/с' можно 'пренебречь.
Возьмем в качестве т, массу частицы, как она определяется в нерелятивистской механике. Тогда пространственная составляющая четырехмерного вектора (П!,5) будет т,п. Вектор т,е в ньютоновской механике называется импульсом. Поэтому в релятивистской механике естественно определить импульс выражением Р=тп = у 1 — сс!сс (111.7) е'=те' = (11! .9) У1 — с*~сс ' Величина Ж называется полной энергией частицы. Для покоящейся частицы т = т„так что (111.9) переходит в е, = т,с'. (111.10) Величина Ж, называется энергией покоя частицы.
поскольку в пределе при малых скоростях оно переходит в нерелятивистское выражение т,п. Величина т, называется массой покоя, а т — массой движения или релятивистской массой. Таким образом, (Р, тс) есть четырехмерный вектор, а величина (п1с)' — Р'— его инвариант.
Значение этого инварианта легко найти: при о = О он обращается в (т,с)', а потому (тс)' — Р' = (т,с)'. (111,8) Остается выяснить физический смысл временной части четырехмерного вектора (111.5). Для этого замечаем, что йР1йг есть сила, 'действующая на частицу. Работа этой силы на перемещении и й( равна йА = е йР = Р йР(т или на основании (111.8) йА = с' йт.
Энергия частицы найдется интегрированием этого выражения по т. Если постоянную интегрирования положить равной нулю, то получится формула 672 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 1гл. ~х Формула (111,9), впервые в общем виде полученная Эйнштейном, устанавливает взаимосвязь между массойи энергией, Кинетическая энергия частицы определяется выражением К=и — Ео=(т то)с (1 1 1.1 1) При медленных движениях это выражение переходит в обычную Формулу д = 7отоо Импульс и энергия теперь объединены в четырехмерный вектор (Р, тс)=(Р, 8!с), (111.12) называемый вектором импульса — энерг.ш.
Его иивариантом относительно преобразования Лорентца является () — ) — Ро = (т,с)' = 1пч. с) (111.13) Тем самым в теории относительности законы сохранения импульса и энергии перестают быть независимыми законами, а объединяются в единый закон сохранения четырехмерного вектора импульса— энергии. Его называют также законом сохранения импульсов энергии. Остается ответить на два вопроса.
Во-первых, почему при вычислении работы сила была определена так же, как в нерелятивистской механике, т. е. как производная йР7й0 Во-вторых, почему энергия всегда определяется с точностью до несущественной произвольной постоянной, здесь же оиа определена однозначной Ответ на оба вопроса, в сущности, один и тот же. Ои состоит в том, что иа величину Ь,, вычисленную выше и названную полной энергией, было наложено требование, чтобы она (после деления на с) была временной компонентой четырехмерного вектора (111.5).
Если энергию не определить однозначна, то она этому требованию удовлетворять ие будет. Для системы невзаимодействующих частиц, а также частиц, взаимодействующих только при столкновениях, четырехмерный вектор импульса — энергии определяется как сумма четырехмерных векторов импульса — энергии этих частиц, При этом в теории относительности достигается однообразная трактовка упругих н неупругих столкновений. Независимо от характера столкновения сохраняется трехмерный вектор импульса системы. Следовательно, должна сохраняться и энергия„как (умноженная иа с) временная компонента четырехмерного вектора. Вместе с энергией сохраняется и релятивистская масса. Только при упругих и неупругих столкновениях она по-разному распределяется между массой покоя и массой, связанной с иинетической энергией макроскопического движения. Например, при столкновении двух одинаковых неупругих шаров, движущихся с одинаковыми скоростями навстречу друг другу, исчезновение иинетической энергии макроскопического движения РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА $ нц (т, е, переход его во внутреннее молекулярное движение) проявляется в эквивалентном увеличении массы покоя системы: масса нагретого шара больше, чем масса такого же холодного шара.
Прн упругих же столкновениях остаются неизменными и масса покоя, и масса, связанная с кинетической знергией макроскопического движения. Существуют частицы (фотоны, нейтрино), для которых масса покоя равна нулю. Для них связь (111.13) между энергией и импульсом имеет вид (111.14) Р = Ж?с. Такие частицы всегда движутся со скоростью с. Иначе, как видно из формул (111.?) и (111.9), импульс и энергия таких частиц обра- щались бы в нуль. здддчи 1. Две одинаковые частицы движутся в лабораторной системе навстречу друг другу с одной и той же скоростью о.
Найти относительную скорость У каждой вз них относительно другой. Какой энергией 8' в лабораторной системе отсчета должна обладать одна из частиц, чтобы получить ту же относительную скорость, если вторая частица (мишень) неподвнжиат (Принцип действия ускорителя на встречных пучках.) Р е ш е н и е. По теореме сложения скоростей 2о 1+ оз/сз Искомая полная энергия, которую надо было бы сообщить одной частице, равна Жэ где йэ — энергия покоя частицы. Фактическая энергия, которой обладает частица, б=бз/г' 1 — оз1сз.
Отсюда нетрудно получить Ж =2 — -8„ й'з (111.15) оа а для кинетической энергии (в-з )( =2( — — б.). (,йэ (111 16) (!(ругов решение см. в т. 1, й 28.) 2. Вывести формулу, являющуюся релятивистским обобщением формулы циолковского [см. т. 1, й 2!) Хля движения ракеты. Считать, что скорости ракеты и газовой гтруи направлены шголь одной прямой. Р е ш е н и е. На основании законов сохранения импульса и энергии лго+глгаэогаэ=сопз! лг+л1гю =сонэ( где щ и т„,з — релятивистские массы ракеты и газов, а о и о„,з — их скорости в произвольный момент времени, Газы, уже покинувшие ракету, не влияют на ее движение. Поэтому можно считать, что в рассматриваемый момент времени щгьз = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
