Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 158
Текст из файла (страница 158)
Поскольку У = сопз1, координаты и время при движении частицы получают приращения йх = с(у = «(у', с(г = «(г', с(1 = лх'+ $~л/,, ж'+ рх'/0» р» ~ ' у~ й» Разделив первые три соотношения на последнее и замечая, что с(х/с(1 = О„дх'/0(1' = О,', получим Эти формулы и выражают правило сложения.сгардстей в релятивистской кинематике. При медленных движениях, когда можно пренебречь квадратичными величинами Р»/с» и О,'Р'/с», они переходят в нерелятивистские формулы О»=а»+1, О«=ау, О«е О»» получающиеся нз преобразования Галилея.
Е П01 СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЯ В ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ б65. получим ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (гл. ~х 2. Для исследования формул (1!0.1) удобно принять за единицу скорость света с, введя безразмерные величины р, = О„/с, =.о,'/с, ... Тогда Р+Р р РР~ 1 — Р' ~ В~У~ — В' 1+ба( '+ба 1+ййк Все скорости по величине не могут превосходить с, а соответствующие им безразмерные величины Р, й„', ... — единицы. Возникает, однако, вопрос, не может ли в результате (физического) сложения двух скоростей получиться скорость, превосходящая с? Ответ на этот вопрос должен быть отрицательным. Для доказательства рассмотрим сначала случай сложения параллельных скоростей, когда направления векторов е' и У совпадают или прямо противоположны.
Результирующая скорость в этом слу чае полностью определяется первой формулой (110.1) или эквивалентной ей первой формулой (110.2). Так как р и р,' не превосходят единицы, то их можно представить в виде р = 1)т д, р„' = 1(т д;, где аргументы гиперболических тангенсов б и д„' могут принимать любые вещественные значения.
Тогда первая формула (110,2) запишется в виде Й 1Ь+!Й д 1+~ив ш б." Сравнивая ее с формулой сложения гиперболических тангенсов й(б,„б) йд~+йд 1+в э в б." видим, что результирующую безразмерную сиорость также можно представить гиперболическим тангенсом ()„= (й 6„, причем д„=б;+д. (110.З) Это значит, что (физическое) сложение параллельных скоростей сводится к алгебраическому сложению аргументов соответствующих им гиперболических тангенсов. Но при любых значениях аргументов гиперболический тангенс по абсолютной величине не может превосходить единицы.
Следовательно, каковы бы ни были (параллельные) скорости составляющих движений, при их (физическом) сложении не может получиться скорость„превосходящая с. Если одна из складываемых скоростей равна с, то при сложении ее с любой другой скоростью получится также с. В этом и проявляется специфичность скорости света как предельной скорости, которую нельзя превзойти, сколько бы ни ускорять движение тела.
Для завершения доказательства остается исследовать случай, когда складываемые скорости взаимно перпендикулярны. Без ограничения общности можно считать, что скорость и' направлена З НМ СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕП В ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ езг вдоль оси У'. Тогда, полагая вформуле(110.2) р' = р,' = О, получим 5.=(), ~,=КУ~-~*, ~.=~. Квадрат (безразмерной) скорости в системе О будет (-;)'= й+й=~ +Е,'(1-5) Придав р постоянное, но произвольное значение, будем рассматривать величину (о/с)' как функцию аргумента 5".
Производная этой величины (1 — ()2) ~ О, а потому функция (о/с)' возрастает с возрастанием 5„'. Она достигает максимума при рР' = 1, который равен 1. Прн всех остальных значениях Ц отношение (о/с)' не может превосходить единицы. Это и доказывает, что при сложении перпендикулярных скоростей также не может получиться скорость, превосходящая с. 3.
Когда складываемые скорости параллельны, то индекс х можно опустить и написать (110.4) Если )/ ч." с, то в этой формуле можно ограничиться первыми степенями по )/. В этом приближении о = (О'+ 1/) (1 — ' —,) ж и' + (1 — — "„,, ) )/. (110.5) Применим последнюю формулу к распространению света в жидкости, равномерно движущейся со скоростью г'.
Скорость света относительно неподвижной жидкости будет о' = с/и, где и — показатель преломления жидкости. Предполагая, что свет распространяется в направлении течения жидкости, найдем его скорость и относительно «неподвижной» системы отсчета. Для этого подставляем в формулу (110.5) о'/с = 1/и и находим = '+~1 — — „',) )/. (П0.6) Формула (110.6) была получена еще Френелем в 1818 г, Он исходил из представления, что эфир увлекается движущимися телами, однако не полностью, а частично. Лорентцв электронной теории вновь пришел к формуле (110.6). Но истинный смысл ее был установлен только в теории относительности. Формула (110.6) была экспериментально подтверждена Физо в 1851 г.
Схема его опыта в усовершенствованном виде, какой ему придал Майкельсон в 5886 г., показана на рнс. 336. Луч от источника 8 раздваивается разделительноф пластинкой Р. Один луч на Рнс. 336 изображен сплошной, а другой — пунктирной линией. . Затем лучи проходят через трубки, в которых течет вода. Один луч вдет в направлении, а другой против течения воды. Из-за различия теория относитнльности !гл. гх скоростей лучей относительно неподвижных стенок трубки между ними при выходе из прибора возникает разность хода, изменяющаяся с изменением скорости течения К Сначала наблюдается интерферен.ция между лучами прн неподвижной, а затем при текущей воде.
Рис. 330. По смещению интерференпионных полос можно измерить разность хода, возникающую при течении, а по ней и разность скоростей о — с/и. Следовательно, о' (ь + 6Х) = о' (ь) + — — )», ~«(й с или В формуле (1!0Л) под о' надо понимать, конечно, не о' ()«), а и' (Х+ 6)»), При этом второе слагаемое в правой части (1!0.5) в рассматриваемом приближении следует оставить без изменения. В результазе получим с 7 1 ) Нп! о = — + ~ ! — — — — — - ! У. л ( л «П() (110.7) Наличие добавочного члена, обусловленного дисперсией, было экспериментально подтверждено Зееманам в !9!4,г. Нелишне подчеркнуть, что допплрровское изменение длины волны относится к системе отсчета 5', в которой вода неподвижна. Течение воды не сказывается на длине волны в «неподвижной» системе Б, так что оба ингерферирующих луча при выходе из прибора (рис.
330) имеют одну и л«у жа длину волны. Только благодаря этому н возможна интерференция„ 4. Лорентц э электронной теории обобщил формулу (1!0,0), учтя дисперсию света. Формулу Лорентца легко получить и в теории относительности. Надо только учесть допплеровское изменение длины волны, возникающее при течении воды, Обозначим через )» длину световой волны (в вакууме) в «неподвижной» системе отсчета Я, а через )«+ 6)» — в системе 5', относительно которой вода неподвижна. Допплеровское изменение длины волны бь в первом порядке по У определяетсн.выражением бб9 «И1] РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА $ 111.
Релятивистская механика 1. Если какой-либо закон природы представлен в виде А = В, причем при переходе от одной системы отсчета к другой величины А и В остаются неизл]енными, то эти величины и самый закон называются инвариантными относительно этого перехода, Более общим является понятие ковариантности. Если при переходе от одной системы отсчета к другой величины А и В хотя и не остаются неизменными, но преобразуются одинаково, то закон А =- В сохраняется и в новой системе отсчета. В этом случае говорят, что закон А = В ковариантен относительно рассматриваемого преобразования систем отсчета.
Часто термин «инвариантность закона> употребляют в смысле его коварнантности. До теории относительности допустимыми считались только еалилеевы преобразования координат. Относительно этих преобразований уравнения механики Ньютона были ковариантны (инвариантны), тогда как уравнения электродинамики Максвелла — Лорентца — не ковариантны. Теория относительности показала, что от галилеева преобразования надо отказаться и заменить его преобразованием Лорентца. Тогда принцип относительности требует, чтобы законы природы были ковариантнь] относительно преобразования Лорентца. Зтому требованию уравнения электродинамики удовлетворяют, а уравнения механики Ньютона не удовлетворяют.
Поэтому механика Ньютона должна быть изменена. В ньютоновской механике сила, действующая на тело в какой-то момент времени, определяется положением всех взаимодействующих тел в тот же момент. Но в теории относительности понятие «тот же момент времени> зависит от выбора системы отсчета, Невозможно автоматически преобразовать каждый закон сил ньютоновской механики в лорентц-ковариантную форму. Допустимы .Только такие теории, из которых может быть исключено понятие действия на расстоянии. Такая возможность существует в теории столкновений.
Последняя исходит из идеализированного представления, что взаимодействие имеет место только в продолжение того промежутка времени, когда расстояние между телами или точечными частицами бесконечно мало по сравнению с размерами самих тел или другими характерными расстояниями, определяющими характер процессов столкновения. До и после этого бесконечно малого промежутка времени тела движутся свободно. К процессам столкновений применимы законы сохранения импульса и энергии, но им надо придать лорентц-ковариантную форму. Это и является целью настоящего параграфа. дальнодействие можно исключить также при рассмотрении движения электрически заряженных частиц в электромагнитных полях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
