Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 162
Текст из файла (страница 162)
При тепловом излучении она, очевидно, совпадает с поверхностной яркостью тела (см. 5 22). Значит, излучательная способность абсолютно черного тела подчиняется закону Ламберта (см. з 22). Обратное, конечно, ие справедливо. Закон Ламберта может выполняться и для не абсолютно черных тел. Закон Кирхгофа позволяет полнее исследовать этот вопрос.
Согласно этому закону, Е„= А е, а потому тело будет излучать по закону Ламберта, если его поглощательная способность не зависит от направления поглощаемого излучения. Так как для непрозрачного тела энергия падающего света равна сумме энергий поглощенного и рассеянного света, то, очевидно, закону Ламберта будет подчиняться излучение всяких тел, равномерно рассеивающих падающий свет во все стороны, независимо от его направления. Такие тела называются абсолютно матовыми. Итак, тепловое излучение абсолютно матовых тел следугпг закону Ламберта. На эту связь закона Ламберта с законом Кирхгофа указал В. А, Ульянин (1863 — !930) в 1897 г., хотя его рассуждения и были несколько сложнее приведенных здесь.
$ 114. Формула Кирхгофа — Клаузиуса Найдем теперь плотность .энергии и удельную интенсивность равновесного излучения в прозрачной однородной изотропной среде с показателем преломления и. Такое излучение устанавливается $ !141 ФОРМУЛА КИРХГОФА — КЛАУЗИУСА в замкнутой полости, заполненной рассматриваемой средой, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре. В точности такое же излучение установится в среде и в том случае, когда она заполняет только часть полости. Предположим, что часть полости заполнена рассматриваемой средой, а в другой находится вакуум.
Равновесное излучение как в среде, так и в вакууме совершенно не зависит от формы и свойств поверхности, вдоль которой среда граничит с вакуумом. Не меняя окончательного результата, можно принять, что эта граница плоская и гладкая. Излучение в среде не зависит и от ее размеров. Поэтому среду можно считать настолько протяженной, чтобы при сколь угодно малом коэффициенте поглощения световой луч, вступивший в среду, успел полностью поглотиться, не достигнув стенок полости. Тогда обмен энергией между средой и вакуумом будет происходить только в результате отражения и преломления излучения на рассматриваемой границе. Такой обмен подчиняется принципу детального равновесия и не может нарушить состояние равновесия излучения как в среде, так и в вакууме. Из этого условия и можно найти соотношение между плотностью энергии иь и удельной интенсивностью Р излучения в вакууме с такими же величинами и и ( в среде.
(В этом параграфе все величины, относящиеся к вакууму, снабжены нулем в индексе, а все величины в среде оставлены без индекса.) У и~а Ввиду выполнения принципа чь детального равновесия, рассуждение достаточно провести не для всего излУчениЯ, а только длЯ пРо- =1' гь В извольной части его, заполняющей интервал частот 4ь, и1 + 4(4ь. Через единичную площадку границы раздела в единицу времени из вакуума в пределах телесного угла 4ЬУ дьгь падает лучистый поток Ф, = = 1„4(йь 4(ы соз 1р„где 1РА — Угол о и'44 падения (рис.
340). Согласно прин- Рис. 340. ципу детального равновесия, должен существовать такой же лучистый поток, распространяющийся в обратном направлении. Он состоит из двух потоков. Первый поток возникает в результате отражения потока Ф. и равен (1 — А )1'„4((гь 4(в соз 4РФ Второй поток возникает в результате преломления потока Ф„приходящего снизу из среды. Так как в силу формул Френеля коэффициенты отражения на границе раздела при прямом и обратном ходе лучей одинаковы, то второй поток будет А„l„г((4 4(ы сов гь, где 4Р— угол преломления, а 4((ив тЕЛЕСНЫй УГОЛ В СРЕДЕ, ПЕРЕХОДЯЩнй ПРИ ПРЕЛОМЛЕНИИ В 4((гь, Сокращая на 4(еь запишем условие детального равновесия !гл, х тепловое излтчвнив в виде (1 — А ) 1' созфой()ч+Ав1чсозфй()=1;,созфой()ч, или 1 созфйй = СсозфеЖ),.
В качестве !й, возьмем (не изображенный на рис. 340) телесный угол, заключенный между коническими поверхностями, образующие которых составляют с нормалью к границе раздела углы !р, и ф, + йфы т. е. й(), = 2п з!пф,йф,. Аналогично, Ю = 2п з!пф йф. Тогда 1„соз ф з ! и ф йф = 1' соз ф„з !и !р, гуры В силу закона преломления з!пф, = пгйп ф, так что соз ф, йф, = = псоз <р йф. Поэтому 1 $!и ф = п1ч 3! и ры Отсюда в силу того же закона преломления 1 =аз!о. (114. 1) Эта формула и решает поставленную задачу. Она была получена Кирхгофом в 1860 г, и независимо от него Клаузиусом в 1864 г..
Ее называют формулой Кирхгофа — Клаузиуса. В вакууме величины 1' и и" связаны соотношением (112.6), т. е. си"„= 4п1,",. В среде оно заменяется на о„ри„= 4п1„, где о„р — групповая скорость. Следовательно, и„=и" п' —. (114.2) ьгр Для недиспергирующих сред и„=пи . з о (114.3) Соотношениям (1!4.1) и (114.3) можно придать другую, легче запоминаемую форму, глубокий смысл которой выяснится при рассмотрении проблемы методами статистической физики (см. $ 117). Для этого заметим, что и = Е,/Х. Тогда (!14.1) и (114.3) преобразуются в Лг1„= ) 1!', (114А) ) (ио (1 14. 5) Соотношение (114.4) означает, что в равновесном излучении попшки лучистой энергии через квадратную плон(адку со стороной, равной длине волны Х (в рассматриваемой среде), отнесенные к единице телесного угла, в направлении нормали к плон!адке одинаковы для всех сред и зависят только от их температуры.
Это утверждение справедливо как для полного потока, так и для его монохроматических составляющих. Аналогично, соотношение (114.5) утверждает, ЗАКОН СТЕФАНА — ВОЛЬНМАНА $ !Щ что энергия равновесного излучения, локализованная в кубике с ребром, равным длине волны А, одинакова во всех иэотропных недиспергируюи(их средах и определяется только температурой среды. Зто утверждение относится также не только к полной плотности энергии, но и к ее монохроматическим составляющим.
$ 115. Закон Стефана — Больцмана 1. В Х1Х веке производились многочисленные исследования зависимости интегральной лучеиспускательной способности нагретых тел от температуры, т. е. величины, которая определяет суммарную энергию всех длин волн, излучаемых телами. Зти исследования приводили к противоречивым результатам. Основная причина расхождений была окончательно выяснена после установления закона Кирхгофа, так как излучение определяется не только температурой, но также составом тела и физическими свойствами излучающей поверхности.
А на эту сторону дела в экспериментальных исследованиях не обращалось должного внимания. Из эмпирически установленных законов следует отметить только результат, найденный в 1879 г. Стефаном (1835 — 1898). Он нашел, что для черных тел излучательная способность пропорциональна четвертой степени температуры. Через пять лет Больнмаи получил этот результат теоретически из термодннамических соображений и показал, что он абсолютно верен для абсолютно черных тел. Этот результат, получивший название закона Стефана — Больцмана, был подтвержден последующими опытами по излучению абсолютно черного тела. Вывод Больнмана и все последующие рагюты по теории теплового излучения существенно используют результаты Максвелла, предсказавшего и рассчитавшего давление света (см.
т. !(„э б!; т. 1! 1, Ч 145, а также задачу 2 к Э 84 этого тома). Для нзотропного излучения это давление равно Ю = Ч,и, где и — интегральная плотность лучистой энергии. К такому выражению должна приводить всякая релятивистская теория света, независимо от того, является лн она корпускулярной или волновой. До теории относительности этот результат, разумеется, не был известен, а результаты Максвелла не считались общепризнанными.
В частности, согласно нерелятивистской корпускулярной теории должно было бы быть ьч = '1,и, как это предсказывает кинетическая теория газов (см. т. !1, э 59). Поэтому опыты П. Н. Лебедева, впервые измерившего в 1900 г. световое давление, подтвердившие результаты Максвелла, имели основополагающее значение для всей термодинамики лучистой энергии. 2. Доказательство закона Стефана — Больнмана мы проведем методом циклов, так как таким путем попутно будут получены важные соотношения, используемые в дальнейшем. Допустим, что изотропное излучение произвольного спектрального состава зак- 686 тепловое излхчение !гл.
х лючеио в адиабатическую оболочку с абсолютно зеркальными стенками. Произведем над ним адиабатический квазистатический процесс, при котором объем У, ограниченный оболочкой, меняется бесконечно медленно. Чтобы быть уверенным, что во время этого процесса излучение все время остается изотропным, можно взять оболочку сферической формы (в следующем параграфе будет показано, что эта предосторожность является лишней). Внутренняя энергия излучения в оболочке равна иУ. При увеличении объема оболочки иа 4/У за счет этой энергии совершается работа У 4/У, так что б4 Л' = — 4/ (иУ). А так как для изотропного излучения Ф = '/,и, то этому уравнению можно придать вид 4~хи 4/У + У 4/и = = О. Отсюда следует, что во время процесса и У4л = сопз), (115,1) или УУ44з = сопз1. (! 15.2) Э то — уравнение адиаба4пь4 для изотропного излучения, совершенно аналогичное уравнению адиабаты Пуассона для идеального газа.
Постоянная адиабаты равна у '/4. В силу эффекта Допплера при адиабатическом сжатии или расширении излучения должен меняться его спектральный состйв. Допустим, например, что изотропное излучение занимает спектральный интервал в, м + 414а. В результате отражения от движущейся стенки частота ь4 и ширина интервала 4/м изменятся и сделаются Р равными 4а' и 4/4а'. При этом будет выполняться соотношение 4 4)4>, У4/3 и', 4)ьг' . У'4/3 сопз) 1115.З) 7 .У где У' и и' ° — объем и спектральг ная плотность энергии излучения частоты 4»' в конце процесса. 3.
Докажем теперь закон Стефа- 4/ на — Больцмана. Для этого произРкс. Зхц ведем над черным излучением цикл Карно. Допустим, что излучение заключено в цилиндре, боковые стенки и поршень которого идеально отражающие, а дно черное и может приводиться в тепловой контакт с нагревателем температуры Т, и холодильником температуры Т,. Излучение можно адиабатически изолировать с помощью идеально отража4ощей задвижки, вводимой сбоку для прикрытия черного дна цилиндра. В отсутствие задвижки, когда черное дно цилиндра приведено в тепловой контакт с нагревателем или холодильником, излучение в цилиндре, конечно, будет равновесным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
