Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 163
Текст из файла (страница 163)
Чтобы быть уверенным, что оно сохранится равновесным и во время адиабатического процесса, когда задвижка встав- твоввмл и злкон смешания винл $ пб! , лена, введем внутрь цилиндра черную пылинку, роль которой была выяснена в пункте 1 9 112. На изотерме 1 — 2 (рис. 341) дно цилиндра контактирует с нагревателем. Количество тепла, переданное нагревателем на этой изотерме, равно 4 4 Я1=и1($'и $'1)+и'1(кл (' 1) = 3 и16 в г1) Количество тепла, отданное холодильнику на изотерме 3 — 4, Я, = = '1аи,(1/, — К,).
По теореме Карно а и( — гд т, ''2 ив($и $~! т! На адиабатах 2 — 3 и 4 — 1 в силу (115.1) выполняются соотношения Зн мз из/4 зи и, ~', = и, 1'„, 1', = и, 1~,. Отсюда а потому и,1Т( = и(Т„'= сопз1. Следовательно, и =аТ', (115.4) где а — универсальная постоянная. Но это есть икая форма закона Стефана — Больцмана. Результат (115.4) можно получить короче, если к равновесному излучению применить общую термодинамнческую формулу (115.5) Подставив сюда У = Ри (Т), У = '/,и (Т), придем к тому жедифференцнальному уравнению, интегрированием которого была получена формула (1!5.4). Однако мы не хотели пользоваться формулой (1!5.5), 9 116. Теорема и закон смещения Вина 1. Важные результаты в термодинамике излучения были получены Вильгельмом Вином (1864 †19) в 1893 †18 гг, Вин доказал, что равновесное излучение, заключенное в оболочке с идеально отражающими стенками, будет оставаться равновесным при квазистатическом сжатии или расширении оболочки.
Для наших целей при доказательстве теоремы Вина достаточно ограничиться оболочкой сферической формы. В этом случае, ввиду сферической симметрии системы, отпадает необходимость специально доказывать, что в ходе процесса изотропия излучения все время сохраняется.
Сожмем излучение квазистатически от начального объема Кл до конечного 1',. При этом будет совершена работа про- ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ тив сил светового давления, н энергия излучения в оболочке увеличится. Спектральный состав излучения также изменится, из-за эффекта Допплера. Допустим, что в результате этого излучение перестанет быть равновесным. Введем внутрь оболочки в конечном состоянии бесконечно малую черную пылинку, поглощающую и излучающую свет.
По истечении достаточно длительного времени она превратит неравновесное излучение в оболочке в равновесное. — необратимый процесс, идущий самопроизвольно. Обратный процесс превращения равновесного излучения в неравновесное, разумеется, сам собою идти не может. Когда излучение внутри оболочки станет равновесным, не убирая пылинку, начнем бесконечно медленно адиабатичееки расширять оболочку, доведя объем излучения до исходного значения у',.
После этого удалим пылинку. Энергия пылинки бесконечно мала, а потому ее наличие мозкет сказаться на общей энергии излучения в полости также бесконечно мало. С другой стороны, давление нзотропного излучения зависит только от интегральной плотности энергии излучения и, но не от его спектрального состава. Поэтому работа, которую совершит световое давление при расширении оболочки, будет с точностью до.бесконечно малой величины равна внешнеи работе, совершенной над излучением при его сжатии.
Отсюда следует, что в результате сжатия и последующего расширения энергия, а с ней и температура излучения не изменятся. 'Система совершила круговой процесс, в ходе которого она ие получала и не отдавала тепло, а общая работа, произведенная ею, равна нулю. Значит, в окружающих телах не произошло ника. ких изменений, а потому рассматриваемый круговой процесс обра. тим. Но это невозможно, так как одна из стадий этого кругового процесса по нашему предположению необратима.
Следовательно, это предположение неверно, н теорема Вина доказана. 2. Значение теоремы Вина — методическое. Действительно, адиабатически и квазистатически меняя объем равновесного излучения в оболочке с идеально зеркальными стенками, можно получить равновесное излучение произвольной плотности, а следовательно, и температуры. Энергию (и температуру) этого излучения можно найти, вычислив работу, совершенную над ним в этом процессе. Его спектральный состав найдется, если вычислить допплеровское изменение частоты излучения при его отражении от движущейся оболочки. Тем самым будет установлено определенное соответствие между параметрами равновесного излучения в начале процесса и на любой стадии его.
Применим этот метод к равновесному излучению в сферической Оболочке с идеально зеркальными стенками. При бесконечно медленном адиабатическом расширении или сжатии оболочки.излучение в ней все время будет оставаться равновесным, так что его можно в любой момент времени характеризовать определенной температу- $1161 ТЕОРЕМА И ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ НИНА рой Т. Выделим внутри оболочки произвольный луч, падающий на оболочку под углом б (рис. 342). Время между двумя последовательными отражениями этого луча равно Лс = (2г!с) созб. За это время радиус оболочки г получает приращение Лг = г Лй При каждом отражении происходит допплеровское изменение частоты, определяемое формулой Асс 21 сорб 2лс сосо Ас сс с сА1 если пренебречь квадратом бесконечно малой радиальной скорости г расширения оболочки. Относительное изменение частоты Лси'си определяется только относительным изменением Лг,т радиуса оболочки.
Такая же формула получится и в том случае, когда за время изменения радиуса оболочки на Лг произойдет не одно, а много отражений светового луча. Требуется только, чтобы выполнялось условие Лг ~ г. При бесконечно медленном расширении величины Лг и Лси можно заменить их'дифференциалами, т.е. написать с си сс — + — =О.
С1 С (116.1) Это означает, что реальный процесс, в котором последовательные отражения отде- Рис. 342. лены друг от друга малыми, но все же конечными промежутками времени, при расчетах заменяется идеализированной схемой, в которой эти отражения следуют друг за другом непрерывно во времени. Интегрируя уравнение (! 16.1), получим ссг сопз1. (116.2) Так как г к'11', то этот результат можно записать также в виде сии)г = сопз(. (116.3) В таком виде он справедлив для полости произвольной формы. А поскольку он получен для бесконечно медленного процесса, величина гс')г является адиабатическим инвариантозс. Комбинируя его с ранее полученными адиабатическими инвариантами (!15.1) и (115,3), получим новые адиабатические инварианты.
Так, из формул (115.1) и (116.3) следует — „= сопз1, (116.4) или на основании закона Стефана — Больцмана -м- = сопз1. (116.5) бзо [гл. я теплОВОе излучениг Аналогично, формулы (116.3) и (116.3) дают ив Лв — = сопз!. щ4 (116.6) Таким образом, при квазистатнческом расширении или сжатии равновесного излучения в полости с зеркальными стенками каждая квазимонохроматическая составляющая излучения ведет себя независимо от остальных составляющих и меняется так, что величины <о<1<, и<в< и и йв'в' остаются постоянными, т.
е. являются адцабатическими инвариантами. По теореме Вина при таком процессе излучение все время остается равновесным. Такое же излучение можно было бы получить в неподвижной оболочке, нагревая или охлаждая ее стенки. Поэтому полученные результаты можно представить как свойства только самого равновесного излучения, не связывая их ни с каким конкретным процессом. Сформулируем их следующим образом. Изменим любым способом температуру равновесного излучения от Т до Т', чтобы излучение оставалось равновесным. Каждой частоте в излучения в начальном состоянии приведем в'соответствие такую частоту в' в конечном состоянии, чтобы и/Т = = и'/Т' и, следовательно, йв/Т = йв'/Т'.
Тогда плотности лучистой энергии в этих состояниях будут связаны соотношениями и и' в< в<' (116.7) ивлв ив Вв' (116.8) Эти результаты составляют содержание так называемого закона смешения Вина в его наиболее оби!ей <рорме. 3, Из формулы (116.8) получаем и„(в, Т) = — — и„' (в', Т') = — и„'~ — в, Т'~. Это соотношение справедливо прн любом значении температуры Т', а потому величина справа от Т' не зависит, Величине Т' можно придать любое значение, представив полученное соотношение в виде и (в, Т) Т<Ч (т)' (116'9) где <р (в/Т) — универсальная </<ункция аргумента в<Т. Ввиду соотношения и/Т = в'/Т', тот же результат можно записать в виде ив (в, Т) = ьУ/ ( т (116,10) где / (в/Т) — (7" /в')з <р (е/Т) — новая универсальная функция того же аргумента в!Т.
Тем самым определение универсальной функции ив (в, Т) двух аргументов сведено к задаче нахождения универ- теоРемА н зАкон смешения вннА $1гы где цг, (ЛТ) и ~, (ЛТ) — новые универсальные функции При фиксированной температуре Т величина иА становится функцией только длины волны Л. Эта функция ие может возрастать монотонно, а должна иметь максимум. В противном случае интегральная плотность излучения =)(,), „„МЛ о (116.13) пе могла бы оставаться конечной. Длину волны в максимуме обо- значим через Л . Если ввести обозначение х = ! Т, то для опреде- ления положения максимума получится уравнение йцгл(йЛ = Т йф,!йх = О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
