Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 167
Текст из файла (страница 167)
Отсюда и следует, что В" = В„, Допустим теперь, что уровень о' состоит из а„, а уровень в'„— из д„слившихся простых энергетических подуровней. Такие уровни называются кратны.ии, а целые числа а и а„— их кратностями. Вероятность перехода атома с уровня Ж на каждый простой подуровень в„меньше вероятности перехода на кратный уровень Ж, в й„раз, т. е.
она равна иВ'/д,. Аналогично, вероятность перехода с уровня Ж„на простой подуровень Ж будет иВ„/д . Но по доказанному эти вероятности равны между собой. Поэтому для кратных уровней соотношение (119.2) заменится на В,",/д,. = В,/й'„или д„В"„=д.В„. (119.3) 706 ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ [ГЛ. Х Так как спектральная плотность излучения и (ь[) не зависит от того, какие атомы использованы для ее вычисления, то для простоты расчета энергетические уровни К„, Ь' можно считать простыми. Тогда с учетом формулы Больцмана — =ехр( — "„, ") у й„— и„ из (119.1) получим и (и\щи) и(ы и) = ьхр !(Ƅ— 5 )((ит)! — [ (119.4) где а (ы „) = А„"(В„. Сравнение этого выражения с формулой Вина (116.10) показывает, что разность 5„— 5 должна быть линейной функцией частоты, т. е.
Ƅ— о„=йь[ „, (119.5) В предельном случае низких частот (или высоких температур) и[м )иТ и([ь „)= аьчии Но в этом случае применима формула Рэлея — Джинса, так что аьн (119.6) Подставим теперь выражения (119.5) и (119.6) в формулу (1!9,4). При этом индексы т и и можно опустить, так как в нашем выводе уровни энергии Ж и Ж„можно взять произвольными.
Тогда получится формула Планка (118.6). Из универсальности функции (118.6) следует, что и постоянная й, введенная посредством соотношения (119.5), также универсальна. Формула (1!9.5), определяющая частоту излучаемого света прп квантовых переходах между энергетическими уровнямн, называется правивом частот Бора.
Заметим еще, что если бы не учитывать индуцированное излучение, т. е. положить В"„' и (ьз,) = О, то вместо формулы Планка получился бы ее предельный случай — формула Вина (1!8.11). Отсюда следует, что формула Планка с неизбежностью приводит к заключению о суи[еппвовании индуцированного излучения. При низких температурах индуцированное излучение, очевидно, несущественно по сравнению со спонтанным. Вот почему в области низких температур, когда 1)а(ЛТ ~~ 1, справедлива формула Вина.
707 спонтлнноп и индунировлннок излучинип ЗАДАЧИ $ н91 1. Определить среднее число фотонов и в единице объема полости, заполненной равновесным (черным) излучением, при температуре Т. Ответ, йзТз Г хзе «2йзТз 7 1 ! ) 2«зТз я=язпз з з) 1 „,-«бх= дз и з ~1+2з + 3з + "' ' язпзсз о ЛгТ= — = — =0,902867 см К. 2пйс лс ~х йх лс Для функции ф (Л, Т) максимум получается при Л = Л,, причем = 8, где $ — корень уравнения (с — 4) ей + 4 = О, т, е, я = 3,920690, Таким обра. зом, Л,Т = 0,368967 см К. Следовательно, Лз ( Л,, 7. Равновесное излучение заключено в полости, стенки которой поддер. живаются при постоянной (абсолютной) температуре Т, Вычислить флуктуации внергии о такого излучения в объеме 1' в спектральном ивтервале (а, ю + сш), пользуясь формулами 1) Вина, 2) Рэлея — Джинса, 3) Планка, и интерпретировать полученные результаты с точки зрения корпускулярных и волновых представлений о свете, где Т вЂ” температура в кельвннах, 2. В полости с зеркзльными стенками находится изотропное излучение с средней плотностью п фотонов в единице объема, Определить среднее число фо- тонов г, ежесекундно ударяющихся об единицу площади стенки, 1 Ответ, з = — пс.
4 3. Решить предыдущую задачу в предположеаии, что излучение равновес- ное, а температура стенок полости равна Т. Какое среднее число фотонов )У будет выходить ежесекундно нз полости через отверстие в стенке полости площадью з = 1 см', если Т = 1000 К? йзТз йзТз О т в е т, и ~ 2,404 — Ф =0,6 - "1,5 ° !бен дзпзсч з ' дзпзсз 4. В какой области спектра равновесного (черного) излучения при темпе- ратуре Т = 300 К интенсивность иадуцированного излучевия превосходит ин- тенсивность спонтанного? О т в е т, Если Л .
ЬсДйТ !п 2), то интенсивность индуцированного излу- чения становится равной или большей интенсивности спонтанного. При Т = 300 К получаем Л ) 692 мьм. 5. При какой температуре равновесного (черного) излучения индуцирован- ное излучение в видимой области (Л = 550 нм) превосходит спонтанное? О т в е т, Т > 'пс)(яЛ!п 2) ~ 3,8. 1Оз К. б. Среднее число фотонов в единице объема равновесного (черного) излуче- ния, приходящееся на интервал частот (пь ю+ бы) или на соответствующий ему интервал длин волн (л, л+ йл), можно представить в виде гадж = г" (иь т) ггю = = ф (Л, Т) г)Л, где Т вЂ” температура излучения.
Найти положение максимумов функций 7 (ы, Т! и ф (Л, Т) при фиксированной температуре Т, Ответ, Для фуннции 7(пч Т) максимум получается при ЬыЦЬТ) = х, где х — корень уравнения (х — 2) е" + 2 = О, т, е, х = 1,593624, Соответствую- щая длина волны Лг находится из соотноц~ения 708 ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ (ГЛ. Х Р е ш е н и е. Применяя к (97,15) формулы Вина, Рэлея — Джинса и Планка, получим Л~'=~йы (Вни), пзсз йпе=ЬЕТ= — Оз (Рэлей — Джинс), Рюзею (1 19.7) (119.8) пзсз Ь8~ = Вйы+ — олз (План к). ршз~йо (119.9) Формула (119.7) имеет такой же вид, что и формула (97.7) для флукт)ации числа частиц ндеальнога газа.
Ее можно было бы получить из корпуснулярных представлений, рассматривая излучение как газ независимых частиц. Напротив, формчла (1!9.8) соответствует волновым представлениям о свете. Здесь флуктуации возникают из-за суперпознцни волн различных частот. Формула (119.9) соответствует синтезу обоих представлений. 8. Освещенность Е, создаваемая звездой первой 'величины на поверхности Земли при нормальном падении света, составляет пасло 1О ' лк. Можно ли объяснить мерцание звезд квантовылги флуктуациялги свегаз Р е ш е н и е. Среднее число фотонов, попадающее от звезды в зрачок глаза в одну секунду, Я 6, 10за 10за ЕАз /Й/с где А — механический эквивалент света, плошадь зрачка глаза з принята равной 0,5 см', а длина волны л =. 550 нм.
В рассматриваемой области спектра с хорошим приближением можво пользоваться формулой Вина, а потому 1 г= ЛМз=бг, --- р ЛУ2 1Π— т. )У Отсюда видно, что квантовые флуктуации света к мерцанию звезд не имеют отношения, ГЛАВА Х1 ЛАЗЕРЫ И НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА $ 120. Принципы работы лазера 1.
Спонтанное излучение некогерентно. В этом случае атомы источника излучают свет независимо друг от друга Фазы волн, испускаемых различными атомами, их поляризация и направления распространения никак не связаны между собой. Обычные источники света — пламена, лампы накаливания, газоразрядные трубки, люминесцентные лампы и пр. — излучают некогерентно. В них свечение вызывается либо столкновениями между атомами, совершающими тепловое движение, либо электронными ударами. Правда, в таких источниках наряду со спонтанным происходит и индуцированное излучение. Однако оно возбуждается некогерентным спонтанным излучением, а потому и само некогерентно.
Испускаемый свет характеризуется. большей или меньшей степенью беспорядка. Максимальный беспорядок достигается в равновесном излучении в полости. В пем представлены всевозможные фазы и частоты, всевозможные направления колебаний, всевозможные направления распространения света.
Если заимствовать терминологию пз акустики и радиотехники, то можно сказать, что указанные источники света генерируют не правильные или упорядоченные волны, а шумы, пригодные только для освещения, грубой сигнализации, получения изображений, фотографирования и пр., но не для передачи речи, телевидения и т. д., осуществляющихся посредством радиоволн, излучаемых радиостанциями. Однако можно создать и когерентно излучающие всточпики света, в которых бы различные атомы излучали волны согласованно, подобно радиостанциям, т. е, с одинаковыми частотами, фазами, поляризацией и направлением распространения.
Такие источники открыли широкие возможности для разнообразных научных и технических применений. Они называются оптическими кеантовьиии генераторами или лазерами. Слово «лазер» образовалось из первых букв полного английского названия «Е!яЬ! агпРППса1юп Ьу з1!гпп!а!ед егп!за!оп о1 габ!а1!оп», что в переводе означает: усиление света посредством индуцированного излучения. Созданию лазеров предшествовало изобретение мазеров, т.
е усилителей микроволн, работающих также на принципе нндуцирован ного излучения. Поэтому первоначально лазеры назывались олти- 710 ЛАЗЕРЫ И НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА 1гл. х! йЛ1 „=(В1й7,— В1й1,) и (а) —,". Коэффициенты Эйнштейна В.,' и В', связаны соотношением д,В', = = а,В1, где'д, н д, — кратности уровней 8, и Ж,. Используя это соотношение, перепишем предыдущее уравнение в виде йМе — ~ — ' — — ~ д В,и(а) —. !Ув Ф1 9 Лх Р (120. 1) Чтобы при распространении в среде волна усиливалась, необходимо выполнение условия 1) 1 (120.2) ез е1 ческими мазерами. Подробное рассмотрение устройства и работы лазеров и мазеров дается в квантовой электронике, Здесь, в оптике, мы ограничимся только кратким изложением принципов работы лазеров. Лазер работает на принципе индуцированного излучения.
Допустим, что на атом падает фотон с энергией йи = Ж, — Ж„где с", и 1, — какие-либо два энергетических уровня атома. Если атом находится на нижнем уровне В„то пада1ощий фотон может поглотиться. Если же атом находится на верхнем уровне В„то может произойти вынужденный переход на нижний уровень Ж, с испусканием второго фотона. Индуцированно нзлученный фотон характеризуется не только той есе частотой в (как и при спонтанном излучении), но также теми жв фазой, поляризацией и направлением распространения. Вместо одного падающего фотона получается два тождественных фотона. Эта особенность индуцированного излучения и используется в лазерах. 2.
Рассмотрим теперь не единичный атом, а среду из атомов. Обозначим через Ж, и 1У, числа атомов в единице объема на уровнях 6, и 8, соответственно. Допустим, что в среде распространяется плоская моиохроматическая волна, частота которой определяется условием йв = е, — Ю,. За время й1 = дх/о, где о — скорость распространения, а йх — расстояние, пройденное волной, с нижнего уровня на верхний переходит в среднем и (ы) В',М, Ш атомов и такое же число фотонов поглощается. Из-за индуцированного излучения с верхнего уровня на нижний перейдет и(в) В,'М,д( атомов и родится такое же число фотонов той же поляризации и направления распространения, что и у рассматриваемой волны. Фотоны, излученные спонтанно, а также фотоны, индуцированные другими волнами, можно не учитывать„так как среди них только ничтожная часть распространяется в нужном направлении и обладает нужной поляризацией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
