Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 166
Текст из файла (страница 166)
(118.5) Сам Планк пользовался постоянной й =— 2Л)1 = (6,626176 [- 0,000036) 10-" зрг с (6,626176 '+ 0,000036) 10™ Дж с, (118.5а) Если теперь выражение (118.4) подставить в (118.2), то и получится формула Планка а~1,воны 1' (118.6) Формулу Планка обычно пишут в переменных у, Т[ 8льчв ! и,=— вь глт а также в переменных Х, Т: зньс 1 ик=— 11 еьикьг — 1 (118.7) (118.8) й[ь[нТ'~ 1„ получается формула и в — ЕОУ(ЬГ -= а~,з (118.
10) (118.11) К формуле такого вида в 1896 г. пришел Вин на основе некоторых произвольных допущений. Для высоких частот (ультрафиолет) формула Вина прекрасно согласуется с опытом. Однако в области низких частот (инфракрасная область спектра) она дает совершенно неверные результаты, При низких частотах, когда 7[[ь[нТ ~' 1, (118.9) формула (118.6) переходит в формулу Рзлея — Джинса (117.8). В другом предельном случае высоких частот, когда ФОРМУЛА ПЛАНКА З ив1 701 здесь применима формула Рэлея — Джинса. Первоначально Планк и искал эмпирическую формулу, которая бы при низких частотах совпадала с формулой Рэлея — Джинса и непрерывно переходила в формулу Вина в области высоких частот.
/,е Если ввести безразмерную переменную х = лы)лТ, то формулу (118.6) можно записать в виде ЫТ» хе и„= —... — „. (118.6а) При введении другой безразмерной переменной х = = ИТ111с получится ЗЛАеТ» 1/хе их = — . (1!8.8а) лесе е!М вЂ” 1 Графики функций хе УФ=— е» 1!хе Ух=в еп» Й (' Фе есе ит~ (' хее» ех песе,) ехр (Яее7АТ) — 1 п»е»а»,) 1 — е " о О (введена безразмерная переменная интегрирования х = йееЯТ).
Разложив знаменатель 1 — е" в ряд и интегрируя, получим для последнего интеграла х'е-"(1+е-"+е-'"+...) дх=6~1+ы+ 3,+...) = 1,, а представлены на рис. 343 и 344. Пунктирные линии на тех же рисунках представ. !7 г лт ляют те же функции, если Йо их аппроксимировать по и формулам Вина и Рэлея— Рис. 343. Джинса, 3. Пользуясь формулой Планка, уточним значения постоянных в законах Стефана — Больцмана (115.4) и Вина (116.14), а также (116.15). Очевидно, что зти законы должны быть следствиями формулы Планка, так как последняя является частным случаем общей термодинамической формулы Вина (116.9). Согласно формуле Планка, интегральная плотность энергии равновесного излучения в вакууме равна 702 тепловое излечение 1гл.
х зззез а ез4з и= Т' = — — Т', 15сзаз 15 сзаз (118.12) т. е. получается закон Стефана — Больцмана (115.4), в котором по- стоянная а выражена через одни только фундаментальные постоян- ныег,йище. зз Л~ .0,5 Рис. 344, На практике более удобна формула для энергетической свети- мости Б излучающей абсолютно черной поверхности. Это есть интегральный лучистый поток, излучаемый наружу во всех направлениях (т.
е. в телесный угол 2п) единицей площади такой поверхности в единицу времени. Она связана с яркостью В излучающей поверхности соотношением Я = пВ = пу (см. 2 22) нли, ввиду формулы (112.5), Я = си!4. (Эта формула вполне аналогична выражению для среднего числа молекул газа, ударяющихся в единицу времени об единицу площади стенки сосуда, в который газ заключен, см. т, 11, з 75.) Подставив сюда выражения (!18.12), получим Б=оТ', (118 !3) где езЬз 2лзаз а= —,„, = 15с,з=(5,57032-+0,0007!) 1О-' Вт м-' К '.
(1!8.14) Величина о называется постоянной Стефана — Болье(мана. так как по известной формуле сумма последнего ряда в скобках равна пз/90. Таким образом, 703 ФОРМУЛА ПЛАНКА % нв! 4. Найдем теперь постоянную Ь в законе смещения Вина (116.14). Для этого надо найти значение А = Л, для которого функция (118.8) при постоянном Т обращается в максимум. Введем безразмерную переменную 5 = йс/ИТ и выразим через нее функцию (!18 8).
Тогда, как легко убедиться, задача сводится к отысканию минимума функции (ез — 1)/5в. Приравняв нулю первую производную этой функции по (), получим уравнение е-З+- — 1 = О, (118.15) корень которого (1 = 4,9651142. Поэтому Ь = 7 Т = йс/(й5) = (2,897790 +- 0 000090) 10-в м К. (118.16) Если вместо А пользоваться частотой вв, то закон Вина надо писать в виде (!16.15). Тогда положение максимума, как нетрудно убедиться„ будет определяться уравнением (3 — 5) ез — 3 = О, (118.!7) где (У = йа/йТ = йс/АЬТ, т.
е. р имеет тот же смысл, что и в предыдущем случае. Корень этого уравнения 5' = 2,8214393. Если снова перейти к длинам волн, то максимуму функции и соответствует длина волны А', определяемая условием Х' Т = йс/(й5'). (118. 18) Таким образом, максимум на кривой частот сдвинут в длинноволновую сторону относительно максимума на кривой длин волн и притом так, что А' /А = 5/р' ж 1,76.
Заметим еще, что, измерив на опыте величины с, а и Ь, можно по формулам (118.14) и (1!8.16) вычислить универсальные постоянные й и й, что и было впервые сделано Планком. После этого можно найти число Авогадро 'Ж = /7/й и элементарный заряд е = Р/А/, где /7— универсальная газовая постоянная, а Р— число Фарадея. Когда Планк производил эти вычисления, величины й, У и е были известны с малой точностью. Планк получил для них, а также для постоянной й значения, мало отличающиеся от современных. 5.
Формулу Планка можно также получить, рассматривая равновесное излучение в полости как фотонный газ, к которому применима статастака Бозе — Эйнштейна (см. т. П, Э 82). Особенность этого газа состоит в том, что в результате взаимодействия с веществом фотоны могут рождаться и уничтожаться.
Число их А/ в полости не остается постоянным, При равновесии оно устанавливается таким, что свободная энергия Р (Т, )7, /у) при заданных Т и у' обращается в минимум, а потому дР/дй/ = О. Но дР/дй/ есть химический потенциал 9 газа. Таким образом, для фотонов должно ТО4 ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 1гл. х быть р О. Поэтому общая формула Бозе — Эйнштейна (118.19) ехр 1(е1 — и)/ЙТ) — 1 определяющая среднее число частиц в 1-м квантовом состоянии, в случае фотонов переходит в формулу (! 18.20) Йчмг Число квантовых состояний в интервале частот (вз, м + до) определяется выражением (117.7). Умножив л на это число, на энергпк1 фотона йы и разделив на объем полости )г, получим формулу Планка (118.6). 9 119.
Спонтанное и индуцированиое излучение 1. В 1916 г. Эйнштейн дал новый вывод формулы Планка, основанный на представлениях Бора о механизме излучения. В этой работе было введено понятие индуцированного излучения— явления, на котором основан принцип действия лазера, Пусть 8„8м Кы ... — значения энергии, которые может принимать атом или вообще любая атомная система. Атом может самопроизвольно перейти из высшего энергетического состояния б„ в низшее 8 с испусканием света. Такое излучение называется спонтанным.
Если атом находится в световом поле, то последнее может вызывать переходы как с высшего уровня 8„на низший б„„ так и обратно с низшего Ж на высший Ж„. -Первые переходы сопровождаются излучением света. Оно и называется индуцированным (вынузсденныы) излучением. Обратные переходы сопровождаются поглощением света атомом. Имеются аналоги описанных явлений и в классической физике. Если атом рассматривать как колебательную систему, то в поле световой волны она будет совершать вынужденные колебания, В зависимости от соотношения фаз между колебаниями этой системы и светового поля амплитуда колебаний атома может как увеличиваться (поглощение света), так и уменьшаться (вынужденное излучение).
Эйнштейн применил к описанию процессов спонтанного и вынужденного излучения вероятностные мегподы. При этом для проблемы равновесного излучения не имеет значения, прису1ца ли ве-- роятность ансамблю физических объектов или самим элементарным законам, управляющим их поведением. Рассмотрим теперь много одинаковых атомов в световом поле. Последнее будем предполагать изотропным и неполярнзованным.
Тогда отпадает вопрос о зависимости коэффициентов, вводимых 705 спонткнноя и индяцияовлнноя излячяния $ ! !9] ниже, от поляризации и направления излучения. Пусть А!„ и А!„— числа атомов в состояниях 6 и 8„, причем состояния 6„ и 8„ могут быть взяты какими угодно из ряда допустимых состояний 6„ 8„8„... Среднее число переходов атомов из состояния 8„в состояние 8 ' в единицу времени из-за спонтанного излучения будет пропорционально исходному числу атомов А!„. Представим его в виде А„А!,. Эйнштейн постулировал, что из-за индуцированного излучения среднее число переходов между теми же уровнями будет по-прежнему пропорционально А!„, а также спектральной плотности излучения и (с!,) при частоте испускаемого света, соответствующей рассматриваемому переходу.
Обозначим это число через В'„"Л'„и (ы„,„). Аналогично, среднее число переходов с (уровня В на уровень 8ь из-за поглощения света представится как В" А!„и (!в „). Величины А'„", В,",', В,", называются козффиииентами Эйнштейна. Они являются характеристиками только самого атома и могут зависеть лишь от частоты о~„, 2. Допустим теперь, что поле излучения, в котором находятся атомь!, равновесное и имеет температуру Т. Тогда имеет место детальное равновесие, а потому А,/!/„+В„г/„и (о „)=В,"„г/„и(в! „). (!19.1) Если уровни энергии В„и 8„простые, а не кратные, то коэф.
фициенты Эйнштейна связаны соотношением В" =В„. (119.2) Действительно, будем повышать температуру системы. Коэффициенты Эйнштейна при этом меняться не будут, так как они от температуры ие зависят. Спонтанное же излучение будет играть все меньшую н меньшую роль по сравнению с индуцированным. Если им пренебречь, то условие детального равновесия примет вид В„А!„= В" А! . Но, согласно формуле Больцмана, при Т-~ со населенности уровней й/„и /!/ должны сравняться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
