Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 119
Текст из файла (страница 119)
чп к его проекции на направление волновой нормали. А вычисление такой проекции можно провести в точности так же, как и вычисление групповой скорости в изотропной среде. Отличие иь от о обусловлено дисперсией волн, т. е. зависимостью нормальной скорости о от частоты [ь.
Дисперсия в равной мере свойственна и изотропным, и анизотропным средам. Специфика распространения световых волн в кристаллах обусловлена не столько дисперсией, сколько отличием направлений волновых нормалей и лучей. Чтобы не вводить излишних усложнений, пренебрежем совсем дисперсией, т. е. будем считать кристаллы недиспереирующими. Тогда йlдХ = О, а потому иь — — оЖ, илн ин = о. Но иь —— (ий[), так что (и[т[) = о.
2. Наряду с поверхностью нормалей, введенной в предыдущем параграфе, введем еще лучевую поверхность, называел[ую иногда также волновой поверхностью. Для этого из произвольной точки О во всевозможных направлениях будем проводить лучи и откладывать на них величины лучевой скорости в этих направлениях. Геометрическое место концов отложенных отрезков есть замкнутая поверхность, которая и называется лучевой поверхностью.
Если лучевую поверхность и поверхность нормалей строить из общего центра О, то между этими двумя поверхностями существует простая и важная связь. Для установления этой связи умножим формулу (81.3) на к и придаднм ей вид (ий) = [ь. (81.4) Отсюда следует, что бесконечно малые изменения величин и, й, ь[ связаны соотношением (и бк) + (й би) = 6ь[. По определению групповой скорости (и бк) = 6ю. Следовательно, ()[[ би) = О, или (Жби)=О. (8!.5) Но и есть радиус-вектор лучевой поверхности, а потому всякий бесконечно малый вектор би лежит в плоскости, касательной к этой поверхности в соответствующей точке касания.
Поэтому из формул (81.5) и (81.3) следует, что касательная плоскость к лучевой поверхности перпендикулярна к соответствующей волновой нормали и отсекает на ней отрезок, ровный нормальной скорости волны. Отсюда в свою очередь следует, что лучевая поверхность есть огибающая плоских волн, распространившихся из ее центра за единицу времени в различных направлениях. Этими теоремами и устанавлк" вается искомая геометрическая связь между лучевой поверхностью и поверхностью нормалей.
Можно также сказать, что касательна плоскость к лучевой поверхности есть фронт волны, соответствующий лучу, проведен ному в точку касания. В таком виде теорема допускает простую 3 гп ЛУЧИ И ВОЛНОВЫЕ НОРМАЛИ интерпретацию. Действительно, лучевая поверхность есть поверхность равных фаз, до которой световое возмущение от точечного источника доходит в течение одной секунды. Малый участок такой поверхности может рассматриваться как плоский.
Если размеры участка очень велики по сравнению с длиной волны, то его распространение в течение ближайшего времени будет с достаточной точностью подчиняться законам геометрической оптики. Согласно этим законам, участок должен распространяться как безграничная плоская волна в направлении луча, причем лучевая и нормальная скорости будут связаны соотношением (81.3). Отсюда непосредственно следует, что волновой фронт есть касательная плоскость к лучевой поверхности. Эта простая интерпретация не может, однако, заменить строгое доказательство. В ее основе лежит утверждение, что расходящийся пучок, исходящий из точечного источника, ведет себя совершенно так же, как система не зависящих друг от друга плоских волн, распространение которых чисто геометрически представляется с помощью лучевой поверхности. Впервые (1852 г.) Ламе (1795 — !870) указал, что здесь необходимо решить сложную математическую задачу: точно представить волновой комплекс, исходящий в авизотропной среде из одного точечного центра (аналог шаровой волны в пзотропной среде).
Ламе решил эту задачу для упругой анизотропной среды. При этом он действительно (при исключении продольных' волн) пришел к френелевой форме лучевой поверхности. В электромагнитной теории аналогичный вопрос сводится к решению задачи о поле точечного диполя Герца, помещенного в однородную анизотропную среду. 3. Все изложенное выше справедливо для любых волн в анизотропных средах.
Специфичность электромагнитных волн в кристаллах состоит в том, что для них направление луча совпадает с направлением вектора Пойнтинга. Докажем это утверждение для рассматриваемого нами случая недиспергирующих кристаллов. В этом случае лучевая скорость вдоль волновой нормали равна ин '= = ой/ =- оай//о, или на основании формулы (75.8) им= О,в (РЕ) й/г (8!.6) Найдем теперь составляющую лучевой скорости и~ = й до/дй, перпендикулярную к волновой нормали. Умножая формулу (80.6) на йа, представим ее в виде Аа а а Дифференцируя это соотношение по йь получим — л.'в Ааваа/М ч' а Оа 0 сл — аа л,в (ел — ва)а а констАллооптнкА 1гл.
тм или, е учетом соотношений дй„lдй, = б,а и 4 = йй(о Из формулы (80.5) находим оо — а' со (АГа)7 ' ~~~ (оо — а')э сс (Рй)о а После подстановки этих значений в предыдущее соотношение и перехода к векторной форме получим со (МЕ) 17 о0' Следовательно, и=ил+и~= ооо ((7гЕ) д7 — (р7Е) Н)= опо "1ЕРН~. (81.7) Согласно первой формуле (75.5), а по формуле (75.8) АР' сэ (РЕ) = с'Н', так что (81.8) В результате получим - нлЕН1 Таким образом, лучевая скорость и, а сией и самый луч действи- тельно направлены вдоль вектора Пойнтинга.
Так как векторы Е и Н взаимно перпендикулярны, то 1ЕЩ = ЕНз, где в — единич- ный вектор в направлении луча. С учетом этого сЕ и ам иа — в. 0 (81.9) При доказательстве предполагалось, что скалярное произведение (ФЕ) не равно нулю. Если (ФЕ) = О, то вектор Е параллелен одной из диэлектрических осей кристалла. В этом случае теорема очевидна. 4. Обоснование понятия луча и определение его направления были даны выше через групповую скорость в анизотропной среде.
й(ы не воспользовались сразу теоремой Пойнтинга, чтобы показать, что это понятие и его общие свойства не специфичны для эвп ЛУЧИ И ВОЛНОВЫЕ НОРМАЛИ 803 электромагнитных волн, а относятся к волнам любой физической природы. Кроме того, теорема Умова — Пойнтинга строго доказана для потоков энергии только через замкнутые поверхности.
Локализация потока энергии в пространстве требует дополнительнйх соображений. Такая локализация не вызывает затруднений в рамках применимости геометрической оптики, т. е. в той же области, к которой относится понятие луча. Тогда теорема Умова — Пойнтинга открывает наиболее простой н общий метод для решения всех вопросов, связанных с понятием луча. Пусть, например, А — участок плоского волнового фронта, вырезаемый диафрагмой, поставленной на пути распространения электромагнитной волны (рис. 288). Если размеры участка велики по сравнению с у длиной волны, то справедлива геометрическая оптика. Надо только определить направление световых лучей.
С этой целью л построим на основании АВ цилиндр АВА'В', образующие которого совпадают с направлениями вектора Пойнтинга. Тогда поток электромагнитной энергии через боковую поверхность цилиндра будет тож- Рис. 288. дественно равен нулю. Останутся только потоки через основания АВ и А'В'. Энергия, втекающая через АВ, целиком выйдет через А'В'.
Но так же ведут себя и световые лучи геометрической оптики. Поэтому направления лучей и вектора Пойнтинга должны совпадать и притом не только в случае недиспергирующах сред (как предполагалось в доказательстве, приведенном выше), но и в случае сред, обладающих дисперсией. 5. Двойственность, характерная для кристаллооптики, о которой говорилось в начале этого параграфа, в электромагнитной теории выражается общим положением, называемом теоремой обращения.
Эта важная теорема помогает ориентироваться в обилии сложных формул кристаллооптики, давая руководящую нить при установлении внутренних связей между ними. Выражаясь упрощенно, можно сказать, что теорема обращения сокращает вдвое число формул и теорем кристаллооптики, подлежащих запоминанию. Для вывода этой теоремы умножим первое уравнение (75.5) векторно на в. Получим Из (8!.3) следует и (Мв) = О. Исключая ()Чв), найдем и — "(ЛР) Таким же путем можно получить Š— — (ЛЩ, Таким образом, 50$ ЛУЧИ И ВОЛНОВЫЕ НОРМАЛИ аап (81. 16) В каждом направлении в кристалле могут распространяться два линейно поляризованных луча, вообще говоря, с различными лучевыми скоростями и, и и,.
Электрические векторы в этих двух лучах взаимно перпендикулярны. Лучевая поверхность, как и поверхность нормалей, состоит из двух слоев. Это есть поверхность четвертого порядка. Рассмотрим ее сечения координатньпии плоскостями ХУ, УЯ и ЯХ. При этом можно воспользоваться прежним рис. 287, так как качественно сечения лучевой поверхности координатными плоскостями не отличаются от соответствующих сечений поверхности нормалей. Отличия, трудно передаваемые чертежом, лучше выразить словами или математическими формулами. При сечении поверхности нормалей получаются круги и овалы. Сечениями лучевой поверхности будут круги и эллипсы. Сечение плоскостью ХУ.
Луч з лежит в плоскости ХУ, т. е. э, = О. Лучевая скорость может иметь два значения: (81.15) Скорость и, не зависит от направления луча. Ей соответствует круговое сечение лучевой поверхности. Скорость и, меняется с изменением направления луча. Соответствующее сечение имеет форму вллипса. Действительно, уравнение рассматриваемого сечения в векторной форме имеет вид г = и,в, откуда з„= х/и„э„= уlи,. Подставляя эти значения в (81.15), получаем ха Ва — +, =1, ьр к т.
е. уравнение эллипса с полуосями ау и а . Ввиду соотношений (81.14) и, ~ и„так что круг находится целиком внутри эллипса. Вектор Е должен быть перпендикулярен к з. Из соображений симметрии ясно, что вектор Е одной волны параллелен оси х, а вектор Е другой волны параллелен плоскости ХУ. Первому направлению вектора Е соответствует круговое, второму — эллиптическое сечение лучевой поверхности. Сечение плоскостью УЯ. В этой плоскости лучевые скорости могут иметь два значения: 1 э эг (81.17) Скорость и, не зависит от направления луча.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
