Главная » Просмотр файлов » Учебник - Механика. Методика решения задач - Русаков

Учебник - Механика. Методика решения задач - Русаков (1238761), страница 10

Файл №1238761 Учебник - Механика. Методика решения задач - Русаков (Учебник - Механика. Методика решения задач - Русаков) 10 страницаУчебник - Механика. Методика решения задач - Русаков (1238761) страница 102020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

2.8t(2.59)МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ62На рис. 2.8 изображены полученные зависимости скоростейбруска и доски от времени.Задача 2.5(Прямая задача динамики)Найти закон движения материальной точки, движущейся воднородном и постоянном силовом поле с начальной скоростью υ0,направленной под произвольным углом α к силе F.РешениеI. Выберем систему координат так, Yкак показано на рис. 2.9, при этом началосистемы координат совпадает с положеυ0нием материальной точки в начальный Fαмомент времени.II.

Запишем уравнения движения OXматериальной точки в проекциях на осиРис. 2.9выбранной системы координат:dυm x = 0,(2.60)dtdυ ym=F.(2.61)dtIII. Проинтегрируем уравнения (2.60) и (2.61), используя начальные значения скорости υ x (0) = υ0 sin α и υ y (0) = υ0 cos α :υ x (t ) = υ0 sin α ,(2.62)Ft.(2.63)mИнтегрируя уравнения (2.62) и (2.63) с учетом начальныхзначений координат x0 = 0 и y0 = 0, получаем закон движения материальной точки в координатной форме:x(t ) = υ0 sin α ⋅ t ,(2.64)υ y (t ) = υ 0 cos α +Ft 2.(2.65)2mИсключив время из уравнений (2.64) и (2.65), получим уравнение траектории материальной точки – уравнение параболы:y (t ) = υ 0 cos α ⋅ t +Глава 2.

Динамика материальной точки и простейших систем63Fx 2 + ctg α ⋅ x(2.66)2m(υ 0 sin α ) 2Таким образом, в однородном силовом поле материальнаяточка движется по параболе.y=Задача 2.6Тело небольших размеров движется по поверхности неподвижного клина с углом при основании α . В начальный моментвремени скорость тела равнялась υ0 и составляла угол ϕ0 с ребромклина (см. рис. 2.10).ϕ0υ0αРис. 2.10Коэффициент трения тела о поверхность клина μ = tgα .Найти установившуюся скорость скольжения тела.РешениеI. Выберем систему координат так, как показано на рис. 2.11(вид сбоку) и рис. 2.12 (вид сверху на поверхность клина). Ось Xнаправим вдоль наклонной плоскости параллельно ребру клина(рис.

2.12). При этом ось Y направим по наклонной плоскости перпендикулярно ребру клина, а ось Z перпендикулярно наклоннойповерхности клина (рис. 2.11).NFтрYmgXFтрϕ(t)mgsinαυ(t)ZYРис. 2.11Рис. 2.12МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ64На рис. 2.11 и 2.12 изображены также силы, действующие натело в процессе движения: сила тяжести mg, сила нормальной реакции опоры N и сила трения скольжения Fтр.Скорость тела υ(t) составляет с осью X угол φ(t) (см.рис. 2.12), который является функцией времени.II. Запишем уравнение движения тела в проекциях на выбранные оси системы координат:dυm x = − Fтр cos ϕ ,(2.67)dtdυ ym= mg sin α − Fтр sin ϕ ,(2.68)dt0 = − N + mg cos α .(2.69)Используем закон Амонтона – Кулона (см.

п. 2.1.2.В) для силы трения скольжения и учтем заданную в условии задачи связькоэффициента трения μ с углом α при основании наклоннойплоскости:Fтр = μN = tgα ⋅ N .(2.70)Запишем тригонометрические функции угла φ, выразив ихчерез проекции скорости тела:υyυx, sin ϕ =.(2.71)υυIII. Получена полная система уравнений (2.67) – (2.71) дляопределения проекций скорости тела на оси выбранной системыкоординат, решить которую в общем виде достаточно сложно из-заналичия в ней двух связанных нелинейных дифференциальныхуравнений. Однако нет необходимости находить закон измененияскорости тела. По условию задачи требуется определить установившуюся скорость тела, т.е. значение скорости в то время, когдасумма сил, действующих на тело, станет равной нулю.Рассмотрим изменение характера движения тела со временем. В плоскости движения на тело действуют две силы: сила трения скольжения и проекция силы тяжести.

Из (2.69) и (2.70) получим выражение для силы трения:Fтр = mg sin α .(2.77)Как видим, модуль силы трения равен величине проекции силытяжести на наклонную плоскость. Действующие на тело силы буcos ϕ =Глава 2. Динамика материальной точки и простейших систем65дут поворачивать вектор скорости тела до тех пор, пока он не совпадет по направлению с осью Y. Следовательно, ускорение обратится в ноль, когда сила трения будет направлена противоположносоставляющей силы тяжести в плоскости движения тела.

Дальнейшее движение будет происходить с постоянной скоростью υуст, направленной вдоль оси Y.Таким образом, достаточно найти уравнение, связывающеепроекцию скорости тела на ось Y с модулем его скорости. Для этого преобразуем полученную систему уравнений (2.67) – (2.71) квиду:dυ xυ= − x g sin α ,(2.72)dtυdυ y ⎛ υ y ⎞= ⎜1 − ⎟⎟ g sin α .(2.73)dt ⎜⎝υ ⎠Производную от модуля скорости по времени представим в виде:()υ dυ υ dυdυ d=υ x2 + υ y2 = x ⋅ x + y ⋅ y .υ dtdt dtυ dtПодстановка (2.72) и (2.73) в (2.74) приводит к уравнению:(2.74)dυ ydυ=−.(2.75)dtdtИнтегрируя (2.75) с учетом начальных условий ( υ (0) = υ0 ,ϕ (0) = ϕ0 ), получаем:υ = −υ y + υ0 (1 + sin ϕ 0 ) .(2.76)Подставляя υ = υy = υуст в (2.76), находим искомый модуль скорости установившегося движения:υ уст =υ0(1 + sin ϕ 0 ) .(2.78)2Проанализируем полученное выражение для установившейсяскорости в двух частных случаях.Если φ0 = π/2 (начальная скорость тела направлена вниз понаклонной плоскости), то υуст = υ0.

Следовательно, движение теласразу происходит с постоянной скоростью, поскольку действующие на него силы скомпенсированы.66МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧПри φ0 = –π/2 скорость установившегося движения равнаυуст = 0. Начальная скорость, направленная вверх по наклоннойплоскости, приводит к равнозамедленному движению.

При этом ипроекция силы тяжести, и сила трения скольжения направленыпротивоположно скорости. Через некоторое время скорость телаобращается в ноль. Сила трения становится силой трения покоя именяет направление на противоположное. Движения вниз по наклонной плоскости не происходит, т.к. максимальное значение силы трения покоя в условиях данной задачи совпадает по модулю созначением проекции силы тяжести на наклонную плоскость.Задача 2.7Стальной шарик радиуса r начинает двигаться в сосуде, заполненном глицерином, под действием силы тяжести. Найти зависимость скорости шарика от времени υ(t), а также определить скорость установившегося движения шарика υуст.

Коэффициент вязкого трения в глицерине равен η, плотность глицерина – ρ1, плотность стали – ρ2. Считать, что сила вязкого трения определяетсяформулой Стокса: Fв = 6πrυη .РешениеI. Выберем систему координат, связанную с сосудом, так, какпоказано на рис. 2.13. Начало координат совместим с положением шарика в момент наYFАчала его движения. В соответствии с услови- Fвем задачи начальная скорость шарика равнанулю: υ (0) = 0 .II. Запишем уравнение движения шариmgка в проекциях на ось X системы координат:ma = mg − Fв − FA ,(2.79)Xгде Fв – сила вязкого трения, а FA – силаРис. 2.13Архимеда.Используем закон Архимеда и формулу Стокса, описывающие свойства этих сил:FA = ρ1 gV ,(2.80)Fв = 6πrυη .(2.81)Глава 2.

Динамика материальной точки и простейших систем674Здесь V = πr 3 – объем шарика.3Выразим также массу шарика через его плотность:m = ρ 2V .(2.82)III. Подставляя (2.80) – (2.82) в уравнение движения (2.79),получаем:dυρ 2V= (ρ 2 − ρ1 )Vg − 6πrυη .(2.83)dtДля решения уравнения (2.83) приведем его к видуdυ (ρ 2 − ρ1 )6πrη=g−υ = A − Bυ(2.84)ρ2ρ 2Vdtи сделаем замену переменных:(2.85)A − Bυ = z .Дифференцируя (2.85) по времени, получаем:dυ d z.(2.86)−B=dt dtС учетом (2.86) выражение (2.84) принимает следующий вид:dz= − Bz .(2.87)dtРешим полученное уравнение методом разделения переменных с учетом начального значения скорости υ (0) = 0 :z = Ae − Bt .(2.88)Используя формулу (2.85), вернемся к старой переменной υ:Aυ = 1 − e − Bt .(2.89)BПодставив значения констант A и B из (2.84), а также значение V, получим выражение для скорости шарика:⎛2r 2 ⎛⎜9η ⎞ ⎞(2.90)1 − exp⎜⎜ − 2 t ⎟⎟ ⎟ .υ = (ρ 2 − ρ1 )g⎜⎟9η ⎝⎝ 2r ρ 2 ⎠ ⎠2r 2 ρ 2При t >>скорость движения шарика практически не9ηизменяется и равна2r 2υ уст = (ρ 2 − ρ1 )g.(2.91)9η()МЕХАНИКА.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ68Задача 2.8Брусок скользит по гладкой горизонтальной поверхности соскоростью υ0 и по касательной попадает в область, ограниченнуюзабором в форме полуокружности (рис. 2.14). Определить время,через которое брусок покинет эту область. Радиус кривизны забораR, коэффициент трения скольжения бруска о поверхность забора μ.Размеры бруска много меньше R.РешениеτI. Выберем произвольную инерциальную систему отсчета, жестко υnсвязанную с забором. Изобразим нарисунке тангенциальную ось, заданNυ0ную ортом τ , направленную вдольFтрскорости движения бруска, и нормальную ось, заданную ортом n , наРис.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,65 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6488
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее