Учебник - Механика. Методика решения задач - Русаков (1238761), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Работа потенциальных силПотенциальная сила F p – сила, работа которой не зависитот вида траектории, а только от начального и конечного положенийточки приложения силы. Работа потенциальной силы по замкнутойтраектории равна нулю1.Потенциальные силы, действующие на тела системы, могутбыть внутренними F p,in и внешними F p, ex .Центральные силы – силы, направленные вдоль прямой, соединяющей точку их приложения с единым силовым центром, величина которых зависит только от расстояния до этого центра:rF (r ) = F (r ) ,(3.22)rгде r – радиус-вектор точки приложения силы относительно силового центра, а r = r – расстояние от этой точки до силового центра.Центральные силы потенциальны.
Рассмотрим два случая.1. Одиночная центральная сила.Если выбрать начало системы отсчета S в силовом центре O(см. рис. 3.2), то работа силы (3.21) при физически бесконечно ма1Здесь и далее рассматриваются только стационарные потенциальные силы, которые явно не зависят от времени, а только от координат тел системы, которые сами могут зависеть от времени.Глава 3.
Законы изменения импульса и механической энергии85лом перемещении точки ее приложения относительно выбраннойсистемы отсчета равна:rd A = F (r ) ⋅ d r = F (r ) ⋅ d r = F (r ) d r .(3.23)rЗдесь учтено, что∂r∂r∂rxd x + yd y + zd z r ⋅dr=. (3.24)dr = d x+ d y + d z =∂x∂y∂zrx2 + y2 + z 2ZSF (r ) = F (r)rdrrrαdrOXYРис. 3.2. Центральная сила с неподвижным относительно системыотсчета S силовым центром OРабота центральной силы при конечном перемещении ее точки приложения равнаr2A12 = ∫ F (r ) d r = f (r2 ) − f (r1 ) ,(3.25)r1где f (r ) – первообразная функции F (r ) .Как видим, работа центральной силы с неподвижным относительно системы отсчета жестко связанной с силовым центромзависит лишь от расстояний до силового центра.2.
Парные центральные силы.Парные центральные силы – это две силы, F1 и F2 , которые одинаковы по величине, противоположно направлены вдольпрямой, соединяющей точки приложения этих сил (см. рис. 3.3) –F1 = − F2 , и величины которых зависят только от расстояния междуточками их приложения Для парных центральных силrr12 = r2 − r1 , F12 = − F21 = F ( r12 ) 12(3.26)r12МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ86и работа этих сил зависит лишь от расстояния между точками ихприложения:d A = δ A12 + δ A21 = F12 ⋅ d r2 + F21 ⋅ d r1 = F12 ⋅ (d r2 − d r1 ) =r= F12 ⋅ d r12 = F (r12 ) 12 ⋅ d r12 = F (r12 ) d r12 .(3.27)r12ZSF12 ( r12 )r12 (t )F21 ( r12 )OXYРис. 3.3. Взаимная ориентация парных центральных силПостоянные силы потенциальны (однородное силовое полепотенциально):2A12 = ∫ F ⋅ d r = F ⋅ (r2 − r1 ) .(3.28)1Силы упругости потенциальны. При упругом взаимодействии двух произвольно движущихся материальных точек упругаясила, действующая на одну из материальных точек, в общем случаене является потенциальной, а обе – потенциальны, поскольку ониявляются парными и центральными.Б. Работа непотенциальных силНепотенциальные силы F np − силы, работа которых зависит не только от начального и конечного положений точки приложения силы, но и от вида ее траектории.Силы трения (см.
п. 2.1.2.В в Главе 2) являются непотенциальными силами.Работа силы трения может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от взаимной ориентации силы и перемещения материальной точки, на которую она действует.Глава 3. Законы изменения импульса и механической энергии87Работа пары сил трения покоя, возникающих при взаимодействии двух тел, равна нулю2:dA = Fп1 ⋅ dr1 + Fп2 ⋅ dr2 == (Fп1 + Fп2 ) ⋅ dr1 = (Fп1 − Fп1 ) ⋅ dr1 = 0 .(3.29)Здесь использован третий закон Ньютона (Fп2 = − Fп1 ) и условиенеподвижности одного тела относительно другого dr2 = dr1 .Работа пары сил трения скольжения всегда отрицательна:dA = Fск1 ⋅ dr1 + Fск2 ⋅ dr2 = Fск1 ⋅ dr1 − Fск1 ⋅ dr2 == Fск1 ⋅ (dr1 − dr2 ) = Fск1 ⋅ υотн dt < 0 ,(3.30)где υотн – скорость движения первого тела относительно второго.При записи (3.30) использован третий закон Ньютона (Fск2 = − Fск1 )и закон Амонтона–Кулона для определения направления силы трения скольжения (см.
(2.14) в Главе 2).3.1.3. Энергия механической системыПотенциальная энергия механической системы E p – физическая величина, равная сумме работ потенциальных сил, действующих на тела системы, при изменении положения тел системы впространстве из данного (состояние 1) в любое наперед заданное(состояние 0), называемое нулем отсчета потенциальной энергии:d E p = −∑ Fi p ⋅ d ri = − d Ap ,(3.31)i1100E p = E1p − E0p = ∫ d E p = − ∫ d Ap = A1p→0 .(3.32)Поскольку потенциальные силы могут быть внутренними ивнешними, то в общем случае потенциальная энергия равна суммепотенциальных энергий взаимодействия тел системы друг с другом(конфигурации системы) E p, in и с внешними по отношению к системе телами (во внешних полях, которые должны быть стационарны) E p,ex :2Это утверждение справедливо для любой пары сил, возникающихпри взаимодействии двух неподвижных относительно друг друга тел.МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ88()⎞⎛d E p = −⎜⎜ ∑ Fi p,in ⋅ d ri + ∑ Fi p,ex ⋅ d ri ⎟⎟ = − d Ap,in + d Ap,ex =i⎠⎝ i= d E p,in + d E p,ex ,(3.33)pp,inp,exp,inp,exE1 = E1 + E1 = A1→0 + A1→0 .(3.34)Кинетическая энергия материальной точки – физическаявеличина, равная:mυ 2Ek =.(3.35)2Кинетическая энергия механической системы – сумма кинетических энергий материальных точек, из которых состоит механическая система:mυ2E k = ∑ Eik = ∑ i i .(3.36)2iiМеханическая энергия системы – сумма кинетической ипотенциальной энергий механической системы:E = Ek + Ep .(3.37)Закон изменения механической энергии системы – изменение механической энергии системы равно работе внутреннихFi np,in и внешних Fi np,ex непотенциальных3 сил:⎛⎞d E = −⎜⎜ ∑ Fi np,in ⋅ d ri + ∑ Fi np,ex ⋅ d ri ⎟⎟ =i⎝ i⎠np,innp,exnp= − δA+ δA= δA ,(3.38)или для конечного интервала времениΔE = ΔAnp .(3.39)Этот закон является в механике Ньютона "теоремой" и можетбыть получен из второго и третьего законов Ньютона.Закон сохранения механической энергии системы – еслиработа всех непотенциальных сил равна нулю, то механическая(3)Если при записи потенциальной энергии механической системы была учтена работа не всех потенциальных сил, то при использовании закона изменениямеханической энергии системы эту работу необходимо добавить к работе непотенциальных сил в (3.34).Глава 3.
Законы изменения импульса и механической энергии89энергия системы относительно инерциальной системы отсчета сохраняется:4ΔE ≡ E (t2 ) − E (t1 ) = 0 или E (t1 ) = E (t2 ) .(3.40)Закон сохранения механической энергии системы являетсяпрямым следствием закона ее изменения (3.39).Консервативная система – механическая система, для которой сохраняется ее механическая энергия.3.1.4. Столкновение телУдар (соударение) – кратковременное взаимодействие телпри непосредственном соприкосновении, при котором изменениемположения этих тел в пространстве за время их соударения можнопренебречь.Абсолютно упругий удар – удар, при котором кинетическаяэнергия тел до соударения равна кинетической энергии тел послесоударения.Абсолютно неупругий удар – удар, при котором соударяющиеся тела приобретают одинаковую скорость после соударения.3.2.
Основные типы задач и методы их решения3.2.1. Классификация задачБольшинство задач на законы сохранения (или изменения)для механической системы можно условно отнести к следующимтипам задач или их комбинациям:1) закон сохранения (или изменения) импульса,2) закон сохранения (или изменения) механической энергии,3) движение тел с переменной массой (с использованием закона изменения импульса),4) абсолютно упругое соударение тел (с использованием законов сохранения импульса и механической энергии),5) абсолютно неупругое соударение тел (с использованиемзакона сохранения импульса).4В случае, когда под потенциальной энергией системы понимается потенциальная энергия ее конфигурации, закон сохранения механической энергии фор-90МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ3.2.2.
Общая схема решения задачI. Определиться с моделями материальных объектов и явлений.1. Нарисовать чертеж, на котором изобразить рассматриваемые тела.2. Выбрать систему отсчета и изобразить на чертеже ее систему координат (из соображений удобства).3. Изобразить и обозначить все силы и необходимые кинематические характеристики системы.4. Провести анализ действующих на тела системы сил (потенциальные и непотенциальные силы), используя законы,описывающие их индивидуальные свойства.5. Выбрать модели тел и их движения (если это не сделано вусловии задачи).6. Выбрать механическую систему и рассматриваемый интервал (начальный и конечный моменты) времени.II.
Записать полную систему уравнений для искомых величин.1. Выбрать законы сохранения и записать их в выбраннойсистеме отсчета для выбранной механической системы ивыбранного интервала времени в рамках выбранной модели.2. Записать уравнения кинематических связей.3. Использовать результаты ранее решенных задач и особыеусловия задачи.III. Получить искомый результат в аналитическом и численном видах.1. Решить систему полученных уравнений.2. Провести анализ решения (проверить размерность и лишние корни, рассмотреть характерные случаи, установитьобласть применимости).3. Получить численный результат.Примечание.Пункты I.6 – II.2 в случае необходимости выполняются неоднократно.мулируется так – если работа внешних сил и внутренних непотенциальных силравна нулю, то механическая энергия системы сохраняется.Глава 3.
Законы изменения импульса и механической энергии913.3. Примеры решения задачЗадача 3.1(Закон сохранения импульса)Ствол игрушечной пушки направлен под углом α = 45° к горизонту. Найти скорость пушки сразу после выстрела, если она незакреплена и может скользить по абсолютно гладкой поверхности.Модуль скорости снаряда относительно пушки сразу после выстрела равен υ0 = 2,2 м/с, а его масса в k = 10 раз меньше массы пушки.РешениеДля решения задачи воспользуемся общей схемой решениязадач механики с помощью законов сохранения.I. Выберем систему отсчета, связанную с горизонтальной поверхностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
