Учебник - Механика. Методика решения задач - Русаков (1238761), страница 16
Текст из файла (страница 16)
3.12, совпадает с направлением оси X.По условию задачи гантели движутся по гладкой горизонтальной поверхности, следовательно, центр масс системы тел, состоящей из двух гантелей, движется с постоянной скоростью, исистема отсчета, связанная с центром масс, является инерциальной.υ2DuCAυ1CXABBРис. 3.11DX'uРис. 3.12Поскольку рассматриваемая система тел замкнута, а соударение абсолютно упругое, то выполняются законы сохранения механической энергии и импульса для этой системы в любой из выбранных систем отсчета.II.
В лабораторной системе отсчета гантели движутся поступательно со скоростями υ1 и υ2, следовательно, скорость центрамасс (см. Главу 3) равнаυ −υυцм = 1 2 ,(3.102)2а скорости шариков uA , uB , uC и uD в системе центра масс определяются выражениями:υ +υuA, B = υ1 − υцм = 1 2 = u ,(3.103)2υ +υuC, D = −υ 2 − υцм = − 1 2 = −u .(3.104)2Как видим, в системе центра масс гантели сближаются с равнымипо величине скоростями (см. рис. 3.12).Силы, действующие на шарики A и C со стороны стержней втечение малого времени соударения, не изменяют их импульс иГлава 3. Законы изменения импульса и механической энергии107кинетическую энергию на этом интервале времени.
Запишем законы сохранения импульса и механической энергии для шариков A иC на интервале времени ("до соударения", "сразу после соударения") в системе центра масс:muA + muC = mu A′ + muC′ ,(3.105)muA2 muC2 muA′2 muC′2+=+,(3.106)2222где uA′ и uC′ – скорости шариков A и C сразу после соударения, m –масса каждого из шариков.На указанном интервале времени скорости шариков B и D неизменяются и равны скоростям первоначального поступательногодвижения гантелей:uB′ = u , uD′ = −u .(3.107)III. Решим систему уравнений (3.103) – (3.106) относительноскоростей шариков A и C после соударения:uA′ = −u , uC′ = u .(3.108)На рис.
3.13 и рис. 3.14 изображены скорости шариков в системе центра масс до соударения и сразу после него в соответствиис (3.103), (3.104), (3.107) и (3.108).uuABDCuuРис. 3.13uuX'DCuABX'uРис. 3.14Как видим, после соударения шарики A и C изменяют своискорости на противоположные, в результате гантели начинаютвращаться вокруг собственных центров масс, причем угловые скорости вращения гантелей совпадают. Через время половины оборота произойдет второе соударение гантелей (см. рис. 3.15).МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ108CuuDACuuBuBuDX'uuAРис. 3.15X'Рис. 3.16Скорости uD′′ и uB′′ , приобретаемые шариками D и B послевторого соударения гантелей, определяются уравнениями, аналогичными (3.105), (3.106), и становятся равными:uD′′ = −u , uB′′ = u .(3.109)Скорости шариков A и C не изменяются в результате второгосоударения и равны скоростям первоначального поступательногодвижения гантелей (см. рис. 3.16):uA′′ = u , uC′′ = −u .(3.110)Как видим, скорости шариков каждой гантели становятсяравными после второго соударения, следовательно, гантели начинают двигаться поступательно, сохраняя направление и величинускорости первоначального движения.
Рис. 3.17 иллюстрирует последнее утверждение в системе отсчета, связанной с центром масссистемы.CuCυ2BCυ2BBDX'DuAAРис. 3.17Xυ1Рис. 3.18DAυ1Рис. 3.19В лабораторной системе отсчета скорости гантелей υ1′′ и υ 2′′после второго соударения равны:υ1′′ = u + υцм = υ1 ,(3.111)υ 2′′ = −u + υцм = −υ 2 .(3.112)Глава 3. Законы изменения импульса и механической энергии109Итак, две одинаковые гантели, скользящие по гладкой горизонтальной поверхности навстречу друг другу со скоростями υ1 иυ2 испытывают абсолютно упругое соударение, в результате которого каждая начинает вращаться вокруг собственного центра масс,причем угловые скорости вращения гантелей одинаковы и по величине, и по направлению.
Через время, равное времени половиныоборота гантелей, происходит второе соударение, после котороговосстанавливается первоначальное поступательное движение гантелей со скоростями υ1 и υ2 (рис. 3.18 и 3.19).Задача 3.9(Абсолютно упругое столкновение)Частица массой m1 и импульсом p1 налетает на вторую покоящуюся частицу массой m2 и испытывает с ней абсолютно упругое столкновение. Найти импульсы p1′ и p′2 этих частиц послестолкновения, в результате которого вторая частица отлетает подуглом ϑ к первоначальному направлению движения налетающейчастицы.РешениеВыберем направление оси X лабораторной системы отсчета,совпадающим с направлением импульса налетающей частицы (см.рис.
3.20).p2′p1ϑβXp1′YРис. 3.20Поскольку система рассматриваемых частиц является изолированной, и нет внутренних диссипативных сил, воспользуемсязаконами сохранения импульса (3.12) и механической энергии(3.40).МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ110II. Запишем законы сохранения импульса и механическойэнергии на интервале времени ("до столкновения", "сразу послестолкновения"):p1′ + p2′ − p1 = 0 ,(3.113)p1′2p′ 2p2(3.114)+ 2 − 1 =0.2m1 2m2 2m1Закон сохранения механической энергии (3.114) записан сучетом связи между импульсом материальной точки и ее кинетичеp2ской энергией E k =.2mIII.
В результате решения системы уравнений (3.113) и(3.114) с учетом( p1 ⋅ p′2 ) = p1 p′2 cosϑ ,(3.115)находим модули импульсов частиц после соударения:4m1m2(3.116)p1′ = p1 1 −cos 2 ϑ ,(m1 + m2 ) 22m2p1 cos ϑ .(3.117)(m1 + m2 )Для определения направления импульса первой частицы после соударения найдем угол β между ее импульсом и осью X(рис.
3.20). Для этого запишем закон сохранения импульса (3.113) впроекции на ось Y:p1′ sin β − p′2 sin ϑ = 0 .(3.119)Из (3.119) с учетом (3.116) и (3.117) получим:⎛ p′⎞β = arcsin⎜⎜ 2 sin ϑ ⎟⎟ =′⎝ p1⎠p2′ =⎛m2 sin 2ϑ= arcsin⎜⎜ (m + m ) 2 − 4m m cos 2 ϑ121 2⎝⎞⎟.⎟⎠(3.120)Задача 3.10В гладком вертикальном цилиндре под поршнем массой Mпрыгают вертикально, абсолютно упруго ударяясь о дно цилиндраи поршень, N легких маленьких шариков массой m << M каждый.Глава 3. Законы изменения импульса и механической энергии111Общая масса шариков равна массе поршня.
Во сколько раз изменится расстояние между равновесным положением поршня и дномцилиндра, если массу поршня увеличить в два раза? Считать модули скоростей шариков у дна цилиндра одинаковыми.РешениеI. Направим ось X декартовой системы координат, жестко связанной с цилиндром,вертикальновниз(см.υ1рис. 3.21).
Будем считать в соответствии сусловием, что маленьких шариков настолько много, что дрожанием поршня вυ0результате соударений с шариками можно пренебречь. Поскольку шарики малы,не будем учитывать соударения между Xними.Рис. 3.21II. Запишем закон сохранения механической энергии произвольного шарика на интервале временимежду последовательными его соударениями с дном цилиндра ипоршнем:22mυ 0mυ1= mgH +.(3.121)22где υ0 и υ1 – модули скоростей шарика у дна цилиндра и поверхности поршня соответственно, H – расстояние между дном цилиндраи поршнем.В результате соударения с поршнем проекция импульса шарика на ось X изменяется на величинуΔp = 2mυ1 .(3.122)За время t0 между двумя последовательными ударами произвольного шарика о поршень произойдет N соударений всех шариков с поршнем.
Изменение импульса механической системы, состоящей из N шариков, за время t0 равно импульсу средней на данном интервале времени силы F, действующей на поршень со стороны шариков:ΔpN = Ft0 .(3.123)В соответствии со вторым законом Ньютона запишем условие равновесия поршня:Mg − F = 0 .(3.124)112МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧПоскольку в поле сил тяжести Земли движение шариков происходит с постоянным ускорением g, модули скоростей произвольного шарика у дна цилиндра и поверхности поршня связаны соотношением:tυ 0 = υ1 + g 0 .(3.125)2III. Решим систему уравнений (3.121) – (3.125) относительнорасстояния H между дном цилиндра и поршнем:υ 2 (mN + 2M )mNH= 0 ⋅.(3.126)2g (mN + M ) 2При увеличении массы поршня в два раза расстояние H2 между дном цилиндра и поршнем, находящимся в новом равновесномсостоянии, становится равным:υ 2 (mN + 4M )mNH2 = 0 ⋅.(3.127)2 g (mN + 2 M ) 2Следовательно, при увеличении массы поршня расстояниемежду равновесным положением поршня и дном цилиндра изменится в k раз:H(mN + 4M )(mN + M ) 2k= 2 =.(3.128)H(mN + 2M )3Учитывая, что по условию задачи mN = M, окончательно получим:20k=.(3.129)273.4.
Задачи для самостоятельного решенияЗадача 1Три лодки одинаковой массой m идут в кильватер (друг задругом) с одинаковой скоростью υ . Из средней лодки одновременно в переднюю и заднюю лодки бросают со скоростью u относительно лодки грузы массой m1. Каковы будут скорости лодок после переброски грузов? Изменением импульса и механическойэнергии воды, а также силами трения пренебречь.m1m1Ответ: υ1 = υ +u , υ 2 = υ , υ3 = υ −u.m + m1m + m1Глава 3. Законы изменения импульса и механической энергии113Задача 2На гладкой горизонтальной поверхности лежат два одинаковых шарика массами m0, соединенные невесомой пружинкой жесткостью k и длиной l0 в недеформированном состоянии. В один изшариков попадает летящая горизонтально вдоль оси пружины соскоростью υ пуля массой m и застревает в нем.
Найти максимальное и минимальное расстояние между шариками в процессе ихдвижения.m0.Ответ: lmax = l0 + Δl, lmin = l0 – Δl, где Δl = υm(m0 + m)(2m0 + m)kЗадача 3С концов платформы массой М и длиной l, которая можетперемещаться без трения, навстречу друг другу бегут два зайцамассами m и 2m с постоянными относительно платформы скоростями.
Второй заяц (массой 2m) бежит в два раза быстрее первого.На сколько сместится платформа, когда второй заяц добежит до ееконца?3mОтвет: x =l.2(3m + M )Задача 4На нити, прикрепленной к воздушному шару массой M, свободно висящему в воздухе, сидит жук массой m, который начинаетдвигаться с постоянной относительно нити скоростью U вверх. Определить скорости шара и жука относительно Земли.mMU , υж =U.Ответ: υш = −m+Mm+MЗадача 5На неподвижной тележке находятся два человека. В какомслучае тележка приобретет большую скорость: если люди спрыгнут с тележки одновременно или друг за другом в одном направлении?Ответ: тележка приобретет большую скорость, если люди спрыгнут друг за другом.114МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 6Три упругих шара одинакового радиуса с массами m1, m2 и m3находятся на одной прямой. Двигаясь с некоторой скоростью, первый шар массой m1 испытывает центральное соударение cо вторымпокоящимся шаром массой m2. Чему должна быть равна масса второго шара, чтобы после его соударения с третьим покоящимся шаром скорость последнего была максимальной?Ответ: m2 = m1m3 .Задача 7На горизонтальной поверхности лежит клин массой M с длиной основания a.
Второй клин массой m и длиной основания b < aначинает соскальзывать с поверхности нижнего клина из положения, изображенного на рисунке. Наbкакое расстояние и в какую сторонуmпереместится нижний клин к моментукасания верхним клином горизонMaтальной поверхности? Силами тренияпренебречь.m( a − b) .Ответ: влево на Δx =m+MЗадача 8Частица массой m испытала столкновение с покоящейся частицей массой М, в результате которого первая частица отклониласьна угол π/2, а вторая частица стала двигаться в направлении, составляющим угол α = 30° с первоначальным направлением движения налетающей частицы. Как изменилась кинетическая энергиясистемы этих двух частиц после столкновения, если M/m = 5?ΔE k1 ⎡m⎤ 2=1−+ sin 2 α ⎥ = .Ответ:E0kcos 2 α ⎢⎣ M⎦ 5Задача 9Частица массой m1 испытала абсолютно упругое центральноестолкновение с покоящейся частицей массой m2. Определить относительное изменение кинетической энергии налетающей частицы.Глава 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
