Учебник - Механика. Методика решения задач - Русаков (1238761), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Законы изменения импульса и механической энергииОтвет:115ΔE k4m1m2=.kE0(m1 + m2 )2Задача 10Частица массой m1 испытала абсолютно упругое столкновение с покоящейся частицей массой m2. Определить относительноеизменение кинетической энергии налетающей частицы, если в результате столкновения она отскочила под прямым углом к своемупервоначальному направлению движения.ΔE k2m1Ответ:=.km1 + m2E0Задача 11После абсолютно упругого столкновения частицы массой m1с покоящейся частицей массой m2 обе частицы разлетелись симметрично относительно направления первоначального движенияпервой частицы, и угол между их направлениями разлета α = 60°.Найти отношение масс этих частиц.mОтвет: 1 = 2 .m2Задача 12При бомбардировке атомов гелия α-частицами с энергиейEα 0 = 1 МэВ найдено, что налетающая частица отклонилась на уголϕ = 60° по отношению к первоначальному направлению полета.Считая удар абсолютно упругим, определить энергию атома гелияE He и α-частицы E α после соударения.Ответ: EHe = Eα0 sin 2ϕ = 0,75 МэВ , Eα = Eα0 cos 2ϕ = 0,25 МэВ .МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ116ГЛАВА 4ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА. СИЛЫ ИНЕРЦИИ4.1. Теоретический материалРассмотрим две системы отсчета S и S', движущиеся произвольно друг относительно друга. Зададим движение системы отсчета S' относительно системы S зависимостями от времени радиус-вектора R(t ) начала системы отсчета S' и угловой скоростивращения ω(t ) системы S' вокруг своего начала отсчета (рис. 4.1).ω(t )S'SR(t )r (t ) Mr ′(t )O'OРис.
4.1. Взаимная ориентация осейкоординатпроизвольнодвижущихся систем отсчетаS и S'.dαdαγdccO'Рис. 4.2. Изменение произвольного вектора c , жесткосвязанного с телом отсчета системы S'.Физически бесконечно малый поворот системы отсчета S' (втом числе и тела отсчета) описывается вектором dα (рис.
4.2). Направление этого вектора совпадает с осью поворота и согласноправилу буравчика задает направление поворота, а его модульdα ≡ ⎪dα⎪ равен углу поворота.Найдем скорость изменения произвольного вектора c , жестко связанного с телом отсчета системы S'. В соответствии с рис. 4.2модуль изменения вектора c равен:dc = dα ⋅ c ⋅ sin γ ,(4.1)следовательноdc = [dα, c ](4.2)иГлава 4. Движение материальной точки в неинерциальных системах117⎡ dα ⎤c& = ⎢ c ⎥ ≡ [ωc ] ,(4.3)⎣ dt ⎦dαгде ω ≡– угловая скорость вращения.dtЗапишем радиус-вектор r (t ) произвольной материальнойточки M относительно системы S через радиус-вектор R(t ) началасистемы отсчета S' относительно системы S и радиус-вектор r ′(t )материальной точки M относительно системы S′ (рис.
4.1):(4.4)r (t ) = R(t ) + r ′(t ) .Продифференцируем обе части уравнения (4.4) по временипри постоянных ортах системы S. В соответствии с определениемскорости и ускорения материальной точки (см. Главу 1), а такжеугловой скорости вращения системы отсчета, получим:∂ ( x ′i ′ + y ′j ′ + z ′k ′)υ = r& S = R& + r&′ S = V +=S∂tS⎛ ∂i ′∂j ′∂k ′ ⎞⎟== V + x& ′ S' i ′ + y& ′ S' j ′ + z& ′ S' k ′ + ⎜⎜ x ′+ y′+ z′∂t S∂t S ⎟⎠⎝ ∂t S()= V + υ′ + (x′[ωi ′] + y′[ωj ′] + z′[ωk ′]) = V + υ′ + [ωr ′] ,∂[ωr ′]a = υ& S = V& + υ& ′ S +=S∂t S= A + a ′ + [ωυ′] + [ω& r ′] + [ω, υ′ + [ωr ′]] =(4.5)= A + a ′ + 2[ωυ′] + [ω& r ′] + [ω[ωr ′]] .(4.6)Здесь нижние индексы S и S' означают дифференцирование припостоянных ортах систем S и S′ соответственно, V – скорость и A– ускорение начала отсчета системы S′ относительно S.В результате мы получили взаимосвязь (формулы сложения)радиус-векторов r (t ) и r ′(t ) , скоростей υ(t ) и υ′(t ) , а также ускорений a (t ) и a ′(t ) материальной точки относительно двух произвольно движущихся относительно друг друга систем отсчета S и S':r = R + r′ ,(4.7)[ω43υ =V+2r ′] +υ{′= υпер + υ′ ,(4.8)14переноснаяотносительнаяМЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ118a = A + [ω& r ′] +′]][1ωω4r34[214444центростре244мительное443[2+ 21ω3υ′] +Кориолисаa{′=относительноепереносное= aпер + a Кор + a ′ .(4.9)Здесь υпер = V + [ωr ′] – переносная и υ′ – относительная скоростидвижения материальной точки; aКор = 2[ωυ′] – ускорение Корио-aцс = [ω[ωr ′]]–центростремительное,aпер = A + [ω& r ′] + [ω[ωr ′]] – переносное и a ′ – относительное ускорения материальной точки.Если материальная точка покоится относительно системы S',тоr = R + r′ ,(4.10)[ω4υ = υпер = V+2r ′] ,(4.11)143лиса,переноснаяa = aпер = A + [ω& r ′] +′]][1ωω4r34[2(4.12)центростремительное14444244443переносноеУравнение движения материальной точки относительнонеинерциальной системы отсчетаПусть система отсчета S является инерциальной (см.
Главу 2). Запишем уравнение движения материальной точки M, на которую действуют силы F i , относительно системы отсчета S – 2-ойзакон Ньютона:ma = ∑ Fi .(4.13)iПодставим в уравнение (4.13) полученное выражение (4.9)для ускорения материальной точки относительно произвольнодвижущейся системы отсчета S' и несколько его преобразуем:mA + m[ω& r ′] + m[ω[ωr ′]] + 2m[ωυ′] + ma ′ = ∑ Fi ,ima′ = ∑ Fi − mA − m[ω& r ′] − m[ω[ωr ′]] − 2m[ωυ′] ,14243 14243iцентробежная14444244443 Кориолисапереносная(4.14)Глава 4. Движение материальной точки в неинерциальных системахma ′ = ∑ Fi + Fпер + FКор .119(4.15)iВ результате мы получили уравнение движения материальной точки относительно в общем случае неинерциальной системыотсчета S'.
Как видим, в неинерциальной системе отсчета такжеможно использовать второй закон Ньютона, если к "материальным" силам, действующим на материальную точку со стороны материальных тел, добавить так называемые силы инерции:переносную –Fпер = − mA − m[ω& r ′] − m[ω[ωr ′]] = − mA − m[ω& r ′] + Fцб ,(4.16)14243центробежнаяКориолиса –FКор = −2m[ωυ′] .(4.17)Заметим, что силы инерции вызваны не взаимодействием материальных объектов, а выбором неинерциальной системы отсчета,относительно которой рассматривается движение тел.
В отличие от"материальных" сил для сил инерции нельзя указать тела, со стороны которых они действуют, следовательно, к ним не применимтретий закон Ньютона (см. Главу 2).Переносная сила инерции связана как с ускоренным движением начала системы отсчета S', так и с вращением этой системыотносительно инерциальной системы отсчета. Сила Кориолиса возникает только при движении материальной точки относительновращающейся неинерциальной системы отсчета S'.Любую задачу можно решать как в инерциальной, так и в неинерциальной системах отсчета, пользуясь либо уравнениями движения, либо законами сохранения (см. Главу 3).
При этом необходимо учитывать силы инерции, их импульс и работу точно так же,как и для "материальных" сил – сил взаимодействия материальныхобъектов.4.2. Основные типы задач и методы их решения4.2.1. Классификация задачБольшинство задач на движение тел в неинерциальных системах отсчета можно условно отнести к следующим типам задачили их комбинациям. Задачи на движение тел в:МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ1201) поступательно движущейся неинерциальной системе отсчета,2) вращающейся неинерциальной системе отсчета.4.2.2.
Общая схема решения задач механики внеинерциальных системах отсчета с использованиемзаконов НьютонаI. Определиться с моделями материальных объектов и явлений.1. Нарисовать чертеж, на котором изобразить рассматриваемые тела.2. Выбрать неинерциальную систему отсчета и изобразить начертеже ее систему координат (из соображений удобства).3.
Изобразить и обозначить все силы, в том числе и силыинерции, а также необходимые кинематические характеристики системы.4. Выбрать модели тел и их движения (если это не сделано вусловии задачи).II. Записать полную систему уравнений для искомых величин.1. Записать уравнения движения в проекциях на оси координат выбранной неинерциальной системы отсчета для всехтел системы.2. Использовать третий закон Ньютона для материальныхсил, если это не было сделано ранее в п. 3.3.
Использовать законы, описывающие индивидуальныесвойства сил.4. Записать уравнения кинематической связи.5. Использовать результаты ранее решенных задач и особыеусловия задачи.III. Получить искомый результат в аналитическом и численном видах.1. Решить систему полученных уравнений.2. Провести анализ решения (проверить размерность и лишние корни, рассмотреть характерные случаи, установитьобласть применимости).3. Получить численный результат.Глава 4. Движение материальной точки в неинерциальных системах121Примечания.В случае решения задач на динамику материальной точки впп. I.3 – I.5 речь идет о характеристиках материальной точки, ап. II.2 надо опустить.В случае решения задач на динамику простейших механических систем в пп. I.3 – II.2 речь идет о характеристиках и уравнениях движения тел и силах (в том числе силах инерции), действующих между телами рассматриваемой системы.Пункты II.1 – II.4 можно выполнять в той или иной последовательности в зависимости от решаемой задачи.4.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
