Учебник - Механика. Методика решения задач - Русаков (1238761), страница 20
Текст из файла (страница 20)
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ138Для нахождения скорости шарика относительно трубки воспользуемся (4.75):υ' = ω r '2 −l 2 ⋅ eX ' ,(4.79)где eX ' − единичный вектор вдоль оси X'.Скорость шарика относительно лабораторной инерциальнойсистемы отсчета в соответствии с (4.8) может быть записана в виде:υ = [ωr ′] + υ′ = −ωr ' e Z ' + ω r '2 −l 2 ⋅ eX ' ,(4.80)где eZ' − единичный вектор вдоль оси Z'.
Следовательно, искомыймодуль скорости шарика относительно лабораторной системы отсчета равен:υ = ω 2r '2 −l 2 .(4.81)Задача 4.91(Поступательно движущаяся неинерциальная система отсчета)Однородный цилиндр массой m скатывается без проскальзывания с клина массой M и углом при основании α , стоящего нагладкой горизонтальной поверхности. Найти ускорение клина.РешениеI. Задачу решаем в неинерциальной системе отсчета, связанной с клином, оси которой X' и Y' направим вдоль горизонтальнойи вертикальной поверхностей клина соответственно (см. рис. 4.12 и4.13).RY'Y'N− ma 0FтрmgαMgРис. 4.12Fтр− Ma0X'X'NРис.
4.13На цилиндр действуют четыре силы: сила тяжести mg, силатрения покоя Fтр (качение происходит без проскальзывания) и сила1Задачи 4.9 и 4.10, а также задачу 2 для самостоятельного решения рекомендуем решать после ознакомления с содержанием Главы 6.Глава 4. Движение материальной точки в неинерциальных системах139нормальной реакции N со стороны клина, а также переносная силаинерции − ma0 (рис.
4.12), обусловленная движением клина относительно лабораторной инерциальной системы отсчета с ускорением a0 , направленным в отрицательном направлении оси X'. Силойсопротивления воздуха пренебрегаем.На клин действуют: сила тяжести Mg, силы нормальногодавления N и трения покоя Fтр со стороны цилиндра, сила нормальной реакции опоры R и переносная сила инерции − Ma0 (рис. 4.13).II.
Запишем уравнение движения центра масс цилиндра впроекциях на оси выбранной системы координат:ma x ' = N sin α − Fтр cos α + ma0 ,(4.82)ma y ' = N cos α + Fтр sin α − mg ,(4.83)где ax ' , a y ' – проекции ускорения a центра масс цилиндра, для которых можно записать:a x ' = a cos α , a y ' = − a sin α .(4.84)Уравнение вращательного движения (см. (6.30) в Главе 6)цилиндра относительно оси, совпадающей с его осью и направленной за плоскость чертежа (см. рис.
4.12), имеет вид:mr 2ϕ&& = Fтр r ,(4.85)2где ϕ&& – угловое ускорение цилиндра, r – его радиус. При записи(4.85) учтено известное выражение для момента инерции J цилиндmr 2,ара относительно оси, совпадающей с осью цилиндра – J =2также равенство нулю моментов сил инерции, нормальной реакциии тяжести относительно указанной оси.Из условия качения без проскальзывания получаем уравнение связи ускорения оси цилиндра (совпадающего с ускорениемцентра масс a) с его угловым ускорением:(4.86)a = ϕ&&r .Запишем также уравнение движения клина в проекции на осьХ':0 = − N sin α + Fтр cos α + Ma0 .(4.87)МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ140III. Решая совместно уравнения (4.82) – (4.87), получаем выражение для модуля ускорения клина:mg sin 2αa0 =.(4.88)3M + m(1 + 2 sin 2 α )Следовательно, искомое ускорение клина относительно лабораторной инерциальной системы отсчета равно:mg sin 2αa0 = −eX ,(4.89)3M + m(1 + 2 sin 2 α )где eX − единичный вектор лабораторной инерциальной системыотсчета, совпадающий с направлением оси X' неинерциальной системы отсчета.Задача 4.10(Поступательно движущаяся неинерциальная система отсчета)Цилиндр массой m и радиусом R находится на расстоянии Lот правого края доски.
Доска начинает двигаться с ускорением aвлево (рис. 4.14), при этом цилиндр катится по доске без проскальзывания. С какой скоростью Vцм относительно доски будет двигаться центр масс цилиндра в тот момент, когда он будет находиться над краем доски?NaFтр− maX'mgРис. 4.14РешениеI. Задачу решаем в неинерциальной системе отсчета, связанной с доской.
Направим ось X' системы координат противоположноускорению доски. На цилиндр в процессе движения действуют четыре силы: сила тяжести mg , сила нормальной реакции опоры N ,сила трения покоя Fтр (проскальзывания при качении нет) и пере-носная сила инерции − ma . Силой сопротивления воздуха пренебрегаем.Глава 4. Движение материальной точки в неинерциальных системах141II. Запишем уравнение движения центра масс цилиндра впроекции на ось Х':m&x&' = ma − Fтр .(4.90)Уравнение вращательного движения (см. (6.30) в Главе 6)цилиндра относительно оси, совпадающей с его осью и направленной за плоскость чертежа (см.
рис. 4.14), имеет вид:Jϕ&& = Fтр R ,(4.91)где ϕ&& – угловое ускорение цилиндра, R – его радиус. Моментинерции цилиндра Ј относительно указанной оси равенmR 2J=(4.92)2Из условия качения без проскальзывания получаем уравнение связи ускорения оси цилиндра (совпадающего с ускорениемцентра масс &x&′ ) с его угловым ускорением:&x&′ = ϕ&&R .(4.93)Запишем также кинематические соотношения при равноускоренном движении центра масс цилиндра относительно неинерциальной системы отсчета:(4.94)Vцм = &x&′t .&x&′t 2,(4.95)2При записи последних соотношений учтено, что движение начинается с нулевой начальной скоростью.III. Решая совместно уравнения (4.90) – (4.93), получаем выражение для ускорения центра масс цилиндра:2&x&' = a .(4.96)3Искомую скорость центра масс цилиндра в момент времени,когда он будет находиться над краем доски, получим из (4.94) –(4.96):4Vцм =aL .(4.97)3L=МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ1424.4. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 1С какой горизонтальной силой F следует двигать клин с углом α при основании и массой М, чтобы лежащий на нем брусокмассой m не перемещался относительно клина? Сила F направлена так, как показано на рисунке.FαКоэффициент трения скольжения между бруском и клиномравен μ .μ − tgαОтвет: F ≤ ( M + m) gпри μ > tgα , а при μ ≤ tgα про1 + μtgαскальзывание будет при любом значении модуля силы F.Задача 2С какой горизонтальной силой F следует двигать клин с углом α при основании и массой М, чтобы лежащий на нем брусокмассой m не перемещался относительно клина? Сила F направлена так, как показано на рисунке.FαКоэффициент трения скольжения между бруском и клиномравен μ .Ответ:tgα − μtgα + μпри μ < ctgα ;( M + m) g≤ F ≤ ( M + m) g1 + μtgα1 − μtgαГлава 4.
Движение материальной точки в неинерциальных системах( M + m) g143tgα − μ≤ F ≤ ∞ при μ ≥ ctgα .1 + μtgαЗадача 3Сплошной цилиндр скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости с углом α к горизонту. Наклонная плоскостьопускается в лифте с ускорением а0.
Определить ускорение оси цилиндра относительно наклонной плоскости.2Ответ: a = ( g − a0 ) sin α .3Задача 4Горизонтальный диск радиуса R вращают с угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей черезего край. По краю диска равномерно относительно него движетсячастица массой m. В момент времени, когда она оказывается намаксимальном расстоянии от оси вращения, сумма всех сил инерции Fин , действующих на частицу в системе отсчета, связанной сдиском, обращается в ноль. Найти зависимость модуля силы Fинот расстояния r от частицы до оси вращения.2⎛ 2R ⎞Ответ: Fин = mω 2 r ⎜⎟ −1 .⎝ r ⎠Задача 5Жесткие стержни образуют равнобедренный прямоугольныйтреугольник, который вращается с постоянной угловой скоростьюω вокруг вертикального катета АВ (см.ωрис.).
По стержню АС скользит безСтрения муфта массой т, связанная Впружиной жесткостью k с вершиной Атреугольника.Длинанерастянутойпружины l. Определить при какомзначении модуля угловой скорости ωмуфта будет в равновесии принедеформированной пружине? Будет лиАэто равновесие устойчивым?144Ответ: ω =МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧg 2mg, равновесие устойчиво, если kl >.l2Задача 6Из ружья произведен выстрел вверх (параллельно линии отвеса).
Географическая широта места ϕ = 60°, начальная скоростьпули V0 = 100 м/с. Определить насколько восточнее или западнееот места выстрела упадет пуля.Ответ: пуля отклонится к западу на расстояние4 V 3ω cos ϕx= ⋅ 0 2≈ 0,5 м.3gЗадача 7Поезд массой m движется вдоль меридиана на северной широте ϕ со скоростью V . Определить величину и направление силыбокового давления поезда на рельсы.Ответ: F = 2mVω sin ϕ (на правый по ходу поезда рельс).Задача 8На экваторе на рельсах стоит пушка.
Рельсы направлены сзапада на восток, и пушка может двигаться по ним без трения.Пушка стреляет вертикально вверх. Какую скорость будет иметьпушка после выстрела? Масса пушки М, масса снаряда m, длинаствола l. Считать, что в стволе снаряд движется с постоянным ускорением а.2mlω0Ответ: V =, ω0 – угловая скорость вращения Земли.M +mЗадача 9Под каким углом к вертикали надо произвести выстрелвверх, чтобы пуля упала обратно в точку, из которой был произведен выстрел? Начальная скорость пули V0 = 100 м/c, географическая широта места φ = 60°.Ответ: ствол ружья надо наклонить к востоку под углом2V ω cos ϕα= 0≈ 51′′ .3gГлава 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
