Учебник - Механика. Методика решения задач - Русаков (1238761), страница 50
Текст из файла (страница 50)
рис. 9.13).L0XРис. 9.13II. Запишем уравнение стоячей волны (см. (9.53)):ξ (t , x) = C cos(kx + ψ 0 ) cos(2πνt + ϕ0 ) .(9.138)Поскольку у закрытого конца трубы частицы не испытываютсмещения из положения равновесия, то в любой момент времени:ξ (t ,0) = C cos(ψ 0 ) cos(2πνt + ϕ0 ) = 0 .(9.139)Частицы, находящиеся вблизи открытого конца трубы, испытывают одинаковое максимальное смещение из положения равновесия. При этом не происходит изменение плотности воздуха. Следовательно, в соответствии с (9.34), можно записать:∂ξ (t , x)Δρ=−= 0.(9.140)∂x x = Lρ x=LПодставляя результат дифференцирования (9.138) по x в(9.140), получим:∂ξ (t , x)= kC sin (kL + ψ 0 ) cos(2πνt + ϕ 0 ) = 0 .(9.141)∂x x = LIII.
Решая совместно систему уравнений (9.139) и (9.141) длялюбого момента времени, получим:⎛ 2πν ⎞(9.142)cos⎜L⎟ = 0 .⎝ c⎠Следовательно, искомые частоты нормальных колебанийчастиц воздуха в трубе, на которых резонирует труба, равны:cν n = (2n + 1), n = 1, 2, 3, ….(9.143)4LЗаметим, что такими же собственными частотами обладаетстержень, закрепленный с одного конца (см. табл. 9.1).362МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧДля длин стоячих волн, соответствующих этим нормальнымколебаниям, можно записать:λ4Lλn =или L = (2n + 1) n .(9.144)42n + 1Полученное соотношение (9.144) означает, что при образовании стоячей волны в трубе, закрытой с одного конца, на длине трубы должно "укладываться" нечетное число четвертей длин волн.Подставляя численные значения заданных в условии задачифизических величин, входящих в (9.143), получим искомые значения частот, на которых будет резонировать труба:ν n = (50 + 100n) Гц .9.4.
Задачи для самостоятельного решенияЗадача 1Найти волновой вектор k и скорость ñ упругой волны, в которой смещение частиц среды меняется по закону:ξ = ξ 0 cos(ωt − αx − βy − γz ) , заданному в декартовой системе координат.Ответ: k = αe x + βe y + γe z , c = ωα 2 + β 2 + γ 2 , где e x , e y , e z –орты декартовой системы координат.Задача 2Упругая продольная волна распространяется вдоль стержня сплотностью ρ = 4,0 г/см3 и модулем Юнга E = 100 ГПа.
Найти скорость υ частиц среды в точках, где относительная деформациястержня ε = 0,01 .Ответ: υ = −eε E ρ , где e − единичный вектор вдоль направления распространения волны; υ = 50 м/с .Задача 3Изотропно излучающий точечный источник звука, мощностькоторого N = 0,1 Вт, находится в центре полого кругового цилиндра радиусом R = 1 м и высотой h = 2 м. Полагая, что стенки цилиндра полностью поглощают звук, найти среднее значение потокаГлава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты363энергии J звуковой волны, падающей на боковую поверхность цилиндра.Ответ: J = N1 + (2 R h ) = 0,07 Вт.2Задача 4Человек с хорошим слухом может слышать звук с колебанием давления до ΔP = 10 −4 Па при частоте ν = 2 кГц.
Найти амплитуду смещения частиц воздуха ξ 0 в такой волне. Атмосферноедавление считать равным P = 105 Па, плотность воздухаρ = 1,3 кг/м3 и показатель адиабаты γ = 1,4 .ΔPОтвет: ξ 0 =≅ 1,9 ⋅10 −11 м .2πν γ PρЗадача 5В однородной среде распространяется плоская экспоненциально затухающая гармоническая упругая волна. Найти разностьфаз колебаний в точках, где амплитуды смещения частиц средыотличаются на η = 1%, если коэффициент затухания δ = 0,42 м–1 идлина волны λ = 50 см.Ответ: При Δϕ = −(2π δλ ) ln(1 − η ) ≅ 2πη δλ ≅ 0,3 рад.Задача 6Медный стержень длиной L = 50 см закреплен в середине.Найти частоты продольных собственных колебаний в диапазонечастот от 20 до 50 кГц. Модуль Юнга для меди E = 1,2·1011 Н/м2, аплотность ρ = 8,9⋅103 кг/м3.E⎛1 ⎞11⎞⎛Ответ: ν n =⎜ n + ⎟ = 7.34⎜ n + ⎟ кГц; четыре колебания сρ⎝2⎠l2⎠⎝частотами 25,7; 33,0; 40,4 и 47,7 кГц.Задача 7Две струны, сделанные из одного материала, имеют одинаковую длину и натяжение.
Как относятся периоды их собственныхколебаний, если диаметр одной струны в два раза больше диаметрадругой.364МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧОтвет: Период колебания тонкой струны в 2 раза меньше.Задача 8Стержень с закрепленными концами имеет длину L = 3 м. Встержне возбуждается звуковая волна, основная частота которойравна ν0 = 700 Гц. Какова скорость звука c в стержне? Какие обертоны может иметь звук, издаваемый стержнем?Ответ: c = 2ν 0 L = 4200 м/с; обертоны – ν n = nν 0 , где n = 2, 3 ….Задача 9В незакрепленном алюминиевом стержне длиной L = 1 мвозбуждается поперечная упругая волна. Найти частоты собственных колебаний стержня в диапазоне частот от 1 кГц до 10 кГц.Плотность алюминия ρ = 2,7⋅103 кг/м3, а модуль сдвига G = 26 ГПа.G nОтвет: ν n =⋅ = 3,1 n кГц; три колебания с частотами 3,1; 6,2ρ Lи 9,3 кГц.Задача 10Гидролокатор подводной лодки, всплывающей вертикально,излучает короткие звуковые импульсы длительностью τ0.
Найтискорость U всплытия лодки, если длительность сигналов, принятыхприемником гидролокатора после отражения от горизонтальнойповерхности дна равна τ, а скорость распространения ультразвука вводе равна c.τ −τ 0Ответ: U = c.τ +τ0365ЛитератураЛИТЕРАТУРАУчебники1. А. Н.
Матвеев. Механика и теория относительности. − М. Изд.дом «Оникс 21 век», 2003. − 432 с.2. В. А. Алешкевич, Л. Г. Деденко, В. А. Караваев. Механика. − М.:Изд. центр «Академия», 2004. − 480 с.3 С. П. Стрелков. Механика. − СПб.: «Лань», 2005. − 560 с.4. Д. В. Сивухин. Общий курс физики. В пяти томах. Т. 1.Механика. − М.: ФИЗМАТЛИТ / МФТИ, 2005. − 559 с.5. С. Э. Хайкин. Физические основы механики.
− СПб.: «Лань»,2008. − 768 с.6. И. И. Ольховский. Курс теоретической механики для физиков. −СПб.: «Лань», 2009. − 576 с.7. В. В. Мигулин, В. И. Медведев, Е. Р. Мустель, В. Н. Парыгин.Основы теории колебаний. − М.: Наука, 1978. − 392 с.Сборники задач1. Сборник задач по общему курсу физики. В пяти книгах. Кн. I.Механика. Под ред. И.
А. Яковлева. − М.: ФИЗМАТЛИТ; ЛАНЬ,2006. − 240 с.2. И. Е. Иродов. Задачи по общей физике. − СПб.: «Лань», 2006. −416 с.3. Сборник задач по общему курсу физики. В трех частях. Ч. 1.Механика. Термодинамика и молекулярная физика. Под ред.В. А. Овчинкина.
− М.: Изд-во МФТИ, 2002. − 448 с.Учебные пособия1. Методика решения задач механики. Под ред. А. Н. Матвеева. −М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1980. − 160 с.2. Л. П. Авакянц, Р. Э. Шихлинская, А. П. Штыркова. Разработкасеминаров по механике и теории относительности. Под ред.А. Н. Матвеева.
Изд-во Моск. ун-та, 1984 г. 148 с.3. Л. П. Авакянц, Р. Э. Шихлинская, А. П. Штыркова. Разработкасеминаров по механическим колебаниям и волнам в упругойсреде. Под ред. А. Н. Матвеева. Изд-во Моск. ун-та, 1986 г. 76 с.366МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧСправочная литература1. Физическийэнциклопедическийсловарь.Гл.ред.А. М. Прохоров.
− М.: «Советская энциклопедия, 1984. − 944 с.2. Физическая энциклопедия. В пяти томах. − М.: «Советскаяэнциклопедия, 1988 − 1998. − 3538 с.3. Физические величины: Справочник. Под ред. И. С. Григорьева иЕ. З. Мейлихова. − М.: Энергоатомиздат, 1991. − 1232 с.Учебное изданиеРУСАКОВ Вячеслав СерафимовичСЛЕПКОВ Александр ИвановичНИКАНОРОВА Елена АлександровнаЧИСТЯКОВА Наталия ИгоревнаМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧОформление переплета: Е.В. БрылинаПодписано в печать 15.12.2009 г.Формат 60х90.16.
Объем 23 п. л. Тираж 500 экз.Заказ №Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова119991, ГСП1, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2Отпечатано в Типографии МГУ им. М.В. Ломоносова.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
