Учебник - Механика. Методика решения задач - Русаков (1238761), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Ось X декартовой системы координат направим горизонтально, а ось Y – вертикально вверх. Определимся с моделямиматериальных объектов и явлений. Система тел «пушка + снаряд»является замкнутой вдоль оси X в течение интервала времени отмомента, предшествующего выстрелу пушки, до момента временисразу после выстрела, поскольку в соответствии с условиями задачи сил трения, действующих на тела системы, нет.II.
Запишем закон сохранения проекции импульса (3.13) наось X для выбранной системы тел и рассматриваемого интервалавремени:(3.41)mпυ п + mсυ сx = 0 .Здесь υп и υсx – проекции скоростей пушки и снаряда после выстрела на ось X.Проекция на ось X неизвестной скорости снаряда относительно лабораторной системы отсчета υсx связана с проекциямискорости пушки υп и относительной скорости снаряда υ0 следующим образом:υ сx = υп + υ 0 cos α .(3.42)Используем также заданное в условии задачи соотношениемежду массами снаряда и пушки:mп=k.(3.43)mс92МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧIII.
Решая систему уравнений (3.41) – (3.43), находим искомое выражение для проекции скорости пушки на ось X после выстрела:mс1= −υ0 cos αυп = −υ0 cos α.(3.44)mс + mп1+ kПодставляя в (3.44) значения физических величин, заданныхв условии задачи, получаемυп ≅ −0,14 м/сек .(3.45)Задача 3.2(Закон сохранения импульса)Две одинаковые тележки, на каждой из которых находится почеловеку, движутся без трения по инерции навстречу друг другу попараллельным рельсам.
Когда тележки поравнялись, с каждой изних на другую перепрыгнул человек в направлении, перпендикулярном к движению тележек. В результате первая тележка остановилась, а скорость второй стала равна V. Найти модули первоначальных скоростей тележек V1 и V2 , если масса каждой тележкиравна М, а масса каждого человека – m .РешениеI. В соответствии с общей схемой решения задач на законысохранения определимся с моделями материальных объектов и явлений. Пренебрегая сопротивлением воздуха, будем считать, чтоскорость каждого человека сразу после прыжка равна его скоростинепосредственно перед приземлением на другую тележку.На рис.
3.4 показано состояние системы тел для трех моментов времени: t1 – непосредственно перед прыжком, t2 – момент,когда оба человека находятся в полете, t 3 – сразу после приземления.На рис. 3.4 также изображена выбранная система координатXY, жестко связанная с рельсами, и обозначены скорости всех телв указанные моменты времени.На временном интервале (t1, t2) будем рассматривать две системы тел: «первый человек + первая тележка» и «второй человек + вторая тележка». Поскольку человек прыгнул в направлении,перпендикулярном движению тележки, то после отрыва от тележкипроекция его скорости на ось X (совпадающую с направлениемГлава 3.
Законы изменения импульса и механической энергии93движения первой тележки; см. рис. 3.4) равна скорости тележкипосле его прыжка.XYV12xV1V12xV12yV22xV22xV2t = t1V22yVt = t2t = t3Рис. 3.4На временном интервале (t2, t3) также рассмотрим две системы тел: «первый человек + вторая тележка», «второй человек + первая тележка».Поскольку все внешние по отношению к рассматриваемымсистемам тел силы (силы тяжести и силы реакции рельсов) направлены перпендикулярно направлению оси X, то эти системы телзамкнуты в направлении данной оси, и для них выполняется законсохранения проекции импульса на соответствующих им временныхинтервалах.II.
Запишем законы сохранения проекции импульса для выбранных систем тел и выбранных временных интервалов.Система тел «первый человек + первая тележка, временнойинтервал (t1 , t2 ) :( M + m)V1 = MV12 x + mV12 x .(3.46)Из уравнения (3.46) следует, что скорость тележки после прыжкачеловека не изменится:V12 x = V1 .(3.47)Аналогичный вывод можно сделать и для второй тележки,рассматривая тот же временной интервал и систему тел «второйчеловек + вторая тележка»:94МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧV 22 x = V 2 .(3.48)Система тел «второй человек + первая тележка, временнойинтервал (t 2 , t 3 ) :MV1 − mV2 = 0 .(3.49)В (3.49) учтено, что первая тележка остановилась после приземления второго человека.Для системы тел «первый человек + вторая тележка» и тогоже временного интервала имеем:mV1 − MV2 = −(m + M )V .(3.50)III. Решая систему уравнений (3.49) – (3.50), находим искомые модули скоростей тележек в начальный момент времени:mMV1 = V, V2 = V.(3.51)M −mM −mПроанализируем полученное решение.
Если массы тележекразные, то (3.51) дает однозначный ответ на вопрос задачи. В случае, когда M = m обе тележки останавливаются (V = 0). При этомначальные скорости тележек могут быть любыми по величине, норавными друг другу: V1 = V2 .Задача 3.3(Движение тел с переменной массой)По двум горизонтальным рельсам движутся с постояннойскоростью υ0 = 1 м/с без трения (по инерции) две одинаковые тележки массой M0 = 100 кг каждая. В некоторый момент времениt0 = 0 на обе тележки сверху непрерывной струйкой начинает сыпаться песок так, что масса сыплющегося песка растет линейно позакону m = kt, где k = 10 кг/с.
В первой тележке есть устройство длянепрерывного выброса всего ссыпанного на нее песка в направлении, перпендикулярном скорости тележки. Из второй тележки песок не выбрасывается. Как будут зависеть от времени скорость иперемещение каждой тележки? За какое время каждая тележкапройдет расстояние L = 9 м?РешениеI. В соответствии с общей схемой решения задач на законысохранения рассмотрим особенности процессов для обеих тележек.В обоих случаях система тел «тележка + ссыпающийся на нее завремя dt песок» является замкнутой в направлении движения те-Глава 3.
Законы изменения импульса и механической энергии95лежки, следовательно, можно использовать закон сохранения проекции импульса. Выберем системы координат так, как показано нарис. 3.5.II. Закон сохранения проекции импульса на ось X для системы тел «тележка + ссыпающийся на нее за время dt песок» и интервала времени [t, t + dt] в обоих случаях имеет вид:M (t )υ (t ) + d m ⋅ 0 = (M (t ) + d m )(υ (t ) + d υ ) .(3.52)Здесь M(t) и υ (t ) – мгновенные значения массы и скорости тележки в момент времени t; dm – приращение массы тележки за малыйпромежуток времени dt, dυ – приращение скорости тележки.Рис. 3.5Из условия задачи следует, что(3.53)dm = kdt .Аналогично тому, как это было сделано в теоретическом введении при рассмотрении движения тел с переменной массой, пренебрежем в (3.52) членами второго порядка малости:0 = M (t )dυ (t ) + υ (t )dm .(3.54)Следовательно:dυk dt.(3.55)=−υ (t )M (t )Далее рассмотрим движение каждой тележки в отдельности.Тележка №1.
В соответствии с условием задачи масса первойтележки не меняется со временем (M(t) = M0), поэтому, интегрируя(3.55), получим:kυln 1 = −t.(3.56)M0υ0Таким образом, зависимость скорости первой тележки отвремени имеет вид:МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ96υ1 (t ) = υ0e−ktM0.(3.57)Закон движения первой тележки получаем, интегрируя (3.57):kktt−t−t⎞M 0υ0 ⎛⎜M0M0 ⎟x1 (t ) = ∫ υ1 (t ) d t = ∫ υ0 edt =1− e.(3.58)⎟k ⎜00⎠⎝Воспользовавшись законом движения (3.58), находим время,за которое первая тележка пройдет расстояние L = 9 м:M1t1 = 0 ln(3.59)≅ 23,0 с.Lkk1−M 0υ0Тележка 2. В соответствии с условием задачи для массы второй тележки можно записать:M (t ) = M 0 + kt ,(3.60)и уравнение (3.55) принимает вид:k dtdυ2=−.(3.61)υ 2 (t )M 0 + ktПосле интегрирования (3.61) получаем:υM0ln 2 = ln.(3.62)υ0M 0 + ktЗависимость скорости второй тележки от времени имеет вид:M0υ 2 = υ0.(3.63)M 0 + ktИспользуя (3.63) находим закон движения второй тележки:ttM 0υ0Mυ ⎛kt ⎞⎟⎟ .x2 = ∫ υ 2 (t ) d t = ∫d t = 0 0 ln⎜⎜1 +(3.64)+MktkM00⎝⎠00Воспользовавшись законом движения (3.64), находим время,за которое вторая тележка пройдет расстояние L = 9 м:Lk⎞M ⎛t2 = 0 ⎜ e M 0υ 0 − 1⎟ ≅ 14,6 с.(3.65)⎟k ⎜⎠⎝III.
Проанализируем полученное решение. Масса второй тележки увеличивается со временем, поэтому при падении на нееочередной порции песка ее скорость уменьшается медленнее, чемГлава 3. Законы изменения импульса и механической энергии97скорость первой тележки. Графики зависимостей координат тележек от времени показаны на рис. 3.6.x, м2150x1max1100L5000100200t, с300400Рис. 3.6В соответствии с (3.58) координата первой тележки асимптоMυтически стремится к значению x1 max = 0 0 = 10 м. Скорость втоkрой тележки также уменьшается со временем, однако ее координата будет все время увеличиваться.Задача 3.4(Движение тел с переменной массой)Ракета поддерживается в воздухе на постоянной высоте спомощью жидкостного ракетного двигателя.
Начальная масса ракеты (с топливом) равна M0 = 105 кг, а скорость выбрасываемыхвертикально вниз газов равна u = 2600 м/с. Найти расход топливаμ(t) и массу выброшенных ракетой газов в первую секунду полета.РешениеI. Выберем систему координат, связанную с поверхностьюЗемли, ось X которой направим вертикально вверх. Для анализаусловия равновесия будем использовать закон изменения импульсадля системы тел «ракета + вылетевшие из нее газы». На эту систему тел действует внешняя сила – сила тяжести.II.
Закон изменения проекции импульса (см. (3.7)) ракеты запишем в видеM (t ) ⋅ 0 − d m ⋅ u = − M (t ) g d t .(3.66)Здесь M(t) – масса ракеты в момент времени t;МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ98dm = μ (t )dt –(3.67)изменение массы ракеты за малый промежуток времени dt.Дополним это уравнение условием сохранения суммарноймассы ракеты и вылетающего газа:(3.68)dM +dm = 0.III. Решим полученную систему уравнений (3.66) – (3.68) относительно расхода топлива μ (t ) .Исключая из системы уравнений массу ракеты M и массу истекающих их нее газов m, получаем дифференциальное уравнениеотносительно μ (t ) :ud μ (t ) = − μ (t )dt .(3.69)gРешаем (3.69) методом разделения переменных:gln μ (t ) = − t + const ,(3.70)uμ (t ) =g− tuAe.(3.71)Константу интегрирования A в (3.73) определяем из уравнения (3.66), записанного для начального момента времени:M g(3.72)A = μ (0) = 0 .uВ результате получаем искомое выражение для расхода топлива:gM0g − u te .(3.73)uМассу газов, выброшенных ракетой за время t, находим в результате интегрирования μ (t ) по времени:μ (t ) =gt⎛− t⎞m(t ) = ∫ μ (t )dt = M 0 ⎜1 − e u ⎟ .(3.74)⎜⎟0⎝⎠uПри t <<масса выбрасываемых газов оказывается проgпорциональна времени их истечения:gm(t ) ≅ M 0 t .(3.75)uГлава 3.
Законы изменения импульса и механической энергии99u 2600≅c ≅ 260 c , воспользуg9,8емся выражением (3.75) для нахождения искомой массы выброшенных ракетой газов в первую секунду полета:g(3.76)m(t ) t =1 c ≅ M 0 t≅ 384.6 кг.u t =1 cПоскольку по условию задачиЗадача 3.5(Закон изменения механической энергии)Два шарика с одинаковой массой m, соединенные нерастянутой пружинкой длиной l0, лежат на гладкой горизонтальной поверхности. На один из шариков начинает действовать постояннаясила F, направленная вдоль оси пружинки. Через некоторое времядлина пружинки становится максимальной и равной lmax. Определить коэффициент упругости пружинки k.РешениеПриложим силу F к переднему по направлению действия силы шарику (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
