Учебник - Механика. Методика решения задач - Русаков (1238761), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Упругие силыЕсли после прекращения внешнего воздействия деформированное тело восстанавливает свою форму и размеры, то деформация называется упругой.Закон Гука. При малых упругих деформациях величина деформации пропорциональна величине вызывающей ее силы.В частности, при деформации растяжения (сжатия) упругогостержня (пружины, резинового шнура) деформация стержня пропорциональна величине вызывающей ее силы, действующей вдольстержня:1Δl = F .(2.5)kЗдесь k – коэффициент жесткости (упругости) стержня, Δl = l − l0– удлинение стержня, l и l0 – длина стержня в деформированном инедеформированном состояниях (см. рис. 2.2).Если сила, действующая на стержень, направлена противоположно указанному на рис.
2 направлению, то упругий стержень испытывает сжатие. При этом Δl < 0 и F в формуле (2.5) следует считать проекцией силы F на ось X системы координат, изображенной на рис. 2.2.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ48Yl0d0dFlXРис. 2.2. Удлинение стержня под действиемпродольной силыПри деформации растяжения (сжатия) однородного упругогостержня с постоянным вдоль стержня сечением относительное удлинение стержня ε пропорционально нормальному напряжению σ:1ε= σ.(2.6)EЗдесь E – модуль Юнга материала, из которого сделан стержень,FΔlε=– относительное удлинение стержня, σ =– нормальноеSl0напряжение, S – площадь поперечного сечения стержня.Заметим, что для однородного упругого стержня с постоянным вдоль стержня сечением коэффициент жесткости (упругости)этого стержня связан с модулем Юнга соотношением:Sk = E.(2.7)LВ случае растяжения (сжатия) стержня уменьшаются (увеличиваются) его поперечные размеры.
При этом отношение относительного поперечного сжатия стержня к его относительному удлинению зависит только от материала стержня и называется коэффициентом Пуассона:μ=−ε⊥.ε(2.8)d − d 0 Δd=– относительd0d0ное изменение поперечных размеров стержня, d и d0 – поперечныйлинейный размер стержня в деформированном и недеформированном состояниях (см. рис.
2.2).Здесь μ – коэффициент Пуассона, ε ⊥ =Глава 2. Динамика материальной точки и простейших систем49При деформации стержня возникают внутренние упругие силы Fупр , действующие между его частями, которые стремятся вернуть стержень в недеформированное состояние. Напряжение упругих сил равноFσ упр = упр .(2.9)SРассмотрим слой стержня с координатами границ x и x + dxвдоль стержня (см.
рис. 2.3).ξ(x)ξ(x+dx)σ(x)σ(x+dx)xx+dxXРис. 2.3. Смещение границ выделенногослоя стержняВ результате действия внутренних упругих сил возникаетсмещение левой ξ(x) и правой ξ(x+dx) границ выделенного слоя.Тогда относительная продольная деформация ε этого слоя равнаξ ( x + dx) − ξ ( x) ∂ξε=== ξ x' .(2.10)dx∂xЗакон Гука в этом случае принимает видσ упр ( x) = Eε = Eξ x' .(2.11)В случае деформации слоя изменяются его поперечные размеры. При этом отношение поперечной к продольной деформацииопределяется коэффициентом Пуассона в соответствии с (2.8).При ускоренном движении стержня под действием внешнейсилы, вызывающей его деформацию, возникают неоднородныевдоль стержня напряжения упругих сил.
В этом случае возникающие неоднородные деформации по-прежнему определяются выражениями (2.11), (2.8).50МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧВ. Силы тренияСила трения – составляющая силы непосредственного взаимодействия тел при соприкосновении вдоль плоскости соприкосновения.Сила нормального давления (реакции опоры) – составляющая силы взаимодействия тел при непосредственном соприкосновении вдоль направления нормали к плоскости соприкосновения.Силы вязкого (внутреннего) трения Fв – силы трения, возникающие при движении тела в вязкой (жидкой или газообразной)среде.При малой величине скорости υ движения тела относительносредыFв = −ηυ ,(2.12)где η – коэффициент вязкого (внутреннего) трения.Сила вязкого трения покоя равна нулю: Fвп = 0 .Силы сухого трения Fc – силы трения, возникающие принепосредственном соприкосновении твердых тел.Силы трения покоя Fп – силы сухого трения, возникающиев отсутствие относительного движения взаимодействующих тел.Сила трения скольжения Fcк – сила сухого трения, возникающая при относительном движении взаимодействующих тел.Закон Амонтона – Кулона – эмпирический закон, описывающий свойства сил сухого трения:1) модуль силы сухого трения покоя может принимать значения от нуля до некоторого своего максимального значения:0 ≤ Fп ≤ Fmax ;2) модуль силы сухого трения скольжения равен максимальному значению модуля силы сухого трения покоя: Fcк = Fmax ;3) модуль силы сухого трения скольжения пропорционаленмодулю силы нормального давления:Fcк = μN ,(2.13)где μ – коэффициент (силы сухого) трения, не зависящий от силынормального давления, а только от вещества и состояния поверхностей трущихся тел;Глава 2.
Динамика материальной точки и простейших систем514) сила сухого трения скольжения направлена противоположно направлению скорости относительного движения тел υотн :Fcк ↑↓ υотн .(2.14)Силовое поле – область пространства, где действуют силыданной природы, в общем случае зависящие как от времени, так иот координаты и скорости движения материальной точки –F (t , r , υ) .2.2. Основные типы задач и методы их решения2.2.1. Классификация задач динамикиПрямая задача динамики – найти закон движения тела илисистемы тел, если известны силы, действующие на эти тела.Обратная задача динамики материальной точки – найтидействующие на тело или систему тел силы, если известны законыдвижения этих тел.Большинство задач содержат в себе элементы как прямой,так и обратной задач динамики.
Как правило, одна из этих задачимеет основное, другая – подчиненное по отношению к условиюзадачи значение.2.2.2. Общая схема решения задач динамикис помощью законов НьютонаI. Определиться с моделями материальных объектов и явлений.1. Нарисовать чертеж, на котором изобразить рассматриваемые тела.2. Выбрать систему отсчета и изобразить на чертеже ее систему координат (из соображений удобства).3. Изобразить и обозначить все силы и необходимые кинематические характеристики системы.4.
Выбрать модели тел и их движения (если это не сделано вусловии задачи).II. Записать полную систему уравнений для искомых величин.1. Записать уравнения движения в проекциях на оси координат для всех тел системы.52МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ2. Использовать третий закон Ньютона, если это не было сделано ранее в п. 3.3. Использовать законы, описывающие индивидуальныесвойства сил:а) закон всемирного тяготения,б) закон Гука,в) закон Амонтона – Кулона и т.д.4. Записать уравнения кинематических связей.5. Использовать результаты ранее решенных задач и особыеусловия задачи.III.
Получить искомый результат в аналитическом и численном видах.1. Решить систему полученных уравнений.2. Провести анализ решения (проверить размерность и лишние корни, рассмотреть предельные и частные случаи, установить область применимости).3. Получить численный результат.Примечания.В случае решения задач на динамику материальной точки впп. I.3 – II.1 речь идет о характеристиках материальной точки, ап. II.2 надо опустить.В случае решения задач на динамику простейших механических систем в пп. I.3 – II.2 речь идет о характеристиках и уравнениях движения тел и силах, действующих между телами рассматриваемой системы.Пункты II.1 – II.4 (в том числе II.3.а – II.3.в) можно выполнять в той или иной последовательности в зависимости от решаемой задачи.2.3.
Примеры решения задачЗадача 2.1(Машина Атвуда)Через блок, подвешенный к потолку перекинута нить. К концам нити прикреплены два груза массами m1 и m2. Определить ускорения тел.Глава 2. Динамика материальной точки и простейших систем53РешениеРешение данной задачи (и всех последующих) будем проводить в соответствии с предложенной схемой решения задач динамики.I. Выберем систему координат так, как показано на рис. 2.4, иизобразим на нем действующие на тела системы силы: силы тяжести и силы, действующие со стороны нитей.Выберем модели тел и их движений. Грузы считаем материальными точками, подвешенными на невесомой и нерастяжимойнити, перекинутой через невесомый абсолютно твердый цилиндрический блок.
Будем считать, что грузы движутся вертикально, нитьне проскальзывает относительно блока, сопротивления воздуха итрения в оси блока нет.II. Запишем уравнения движениядвух грузов в проекции на ось X (см.Tрис. 2.4) и уравнение кинематическойсвязи, являющееся следствием нерастяжимости нити:Tвm1a1 = m1 g − T1 ,T1 T2m2 a2 = m2 g − T2 ,(2.15)T1mнga1 + a2 = 0.T2Здесь a1 и a2 – проекции ускоренийTнгрузов на ось X, T1 и T2 – модули сил,действующих на грузы со стороны ниm1gXm2gти.Докажем постоянство модуля сиРис. 2.4лы натяжения нити вдоль всей ее длины в условиях данной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
