Учебник - Механика. Методика решения задач - Русаков (1238761), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Общая схема решения задач кинематикиI. Определиться с моделями материальных объектов и явлений.1. Нарисовать чертеж, на котором изобразить рассматриваемые тела.2. Выбрать систему отсчета и изобразить на чертеже ее систему координат (из соображений удобства).Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем173. Изобразить и обозначить кинематические характеристикител.4.
Выбрать модели тел и их движения (если это не сделано вусловии задачи).II. Записать полную систему уравнений для искомых величин.1. Записать в проекциях на оси координат:а) законы движения,б) законы изменения скорости,в) законы изменения ускорения.2. Записать начальные условия.3. Записать уравнения кинематических связей.4. Использовать результаты ранее решенных задач и особыеусловия задачи (например, заданные соотношения междухарактеристиками системы).III. Получить искомый результат в аналитическом и численном видах.1.
Решить систему полученных уравнений.2. Провести анализ решения (проверить размерность и лишние корни, рассмотреть характерные случаи, установитьобласть применимости).3. Получить численный результат.Примечания.В случае решения задач на кинематику материальной точки впп. I.3 – II.2 речь идет о кинематических характеристиках материальной точки, а п. II.3 надо опустить.В случае решения задач на кинематику простейших механических систем в пп.
I.3 – II.2 речь идет о кинематических характеристиках тел рассматриваемой системы.Пункты II.1 – II.3 (в том числе II.2.a – II.2.в) можно выполнять в той или иной последовательности в зависимости от типа задачи.1.3. Примеры решения задачЗадача 1.1(Кинематика материальной точки)Скорость материальной точки зависит от ее положения в декартовой системе координат следующим образом: υ = ci + bxj , гдеМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ18c и b – положительные постоянные величины.
В начальный моментвремени радиус-вектор материальной точки равен нулю: r (0) = 0 .Определить:а) законы движения r (t ) , изменения скорости υ(t ) и ускорения a (t ) , тангенциальную aτ (t ) и нормальную an (t ) проекции ускорения;б) уравнение траектории y(x) материальной точки;в) радиус кривизны траектории ρ (t ) ;г) угол ϕ (t ) между скоростью υ(t ) и ускорением a (t ) .РешениеСледуем общей схеме решения задач кинематики материальной точки и простейших систем.I. По условию задачи движение происходит в плоскости XY,образованной координатными осями, направления которых заданыортами i и j .II. Запишем начальные условия и закон изменения скороститела в проекциях на оси выбранной системы координат:⎧ x(0) = 0, y (0) = 0,(1.29)⎨⎩υ x (0) = c, υ y (0) = b ⋅ 0 = 0,dx⎧⎪⎪υ x (t ) = d t = c,(1.30)⎨⎪ υ (t ) = d y = bx(t ).⎪⎩ ydtIII. Записанные дифференциальные уравнения относительнокоординат материальной точки (1.29) с учетом начальных условий(1.29) позволяют найти закон движения материальной точки в проекциях на оси координат и зависимость от времени радиус-вектораr (t ) :⎧ x(t ) = ct ,⎪⎨cbt 2()=,yt⎪2⎩r (t ) = cti +cbt 2j.2(1.31)(1.32)Глава 1.
Кинематика материальной точки и простейших систем19Используя найденную зависимость x(t) (1.31), определим закон изменения скорости υ(t ) = ci + bx(t ) j и закон изменения ускорения a (t ) :υ(t ) = ci + cbtj ,(1.33)dυa (t ) == cbj .(1.34)dtУравнение траектории находится из закона движения материальной точки путем исключения из (1.31) времени t:cb x 2 b 2y ( x) = ⋅ 2 =x .(1.35)2 c2cОстальные искомые величины определяются в соответствиис формулами, приведенными в п. 1 данной Главы.Модуль скорости (1.7) равен:υ (t ) = υ x2 + υ y2 = c 2 + c 2b 2t 2 .(1.36)Проекции ускорения aτ (t ) и an (t ) (1.19, 1.23) получим в виде:⎧dυc 2b 2tcb 2t,()===at⎪ τdt1 + b 2t 2c 2 + c 2b 2t 2⎪⎨c 2b 4t 2cb⎪222 2()ataacb=−=−=.τ2 2⎪ n1+ b t1 + b 2t 2⎩Радиус кривизны траектории (1.21) равен:υ2(c)()3/ 2+ c 2b 2t 2 1 + b 2t 2 c= 1 + b 2t 2.(1.38)ancbbУгол ϕ (t ) между скоростью υ(t ) и ускорением a (t ) определяется соотношением:ρ (t ) ==2(1.37)an1 + b 2t 21cbcb=⋅= 2 = .(1.39)222aτcb tcb t bt1+ b tЗаметим, что материальная точка движется по параболической траектории (1.35) с постоянным ускорением, направленнымвдоль оси Y (1.34).
На рис. 1.5 схематично изображена траекториядвижения материальной точки и изображены векторы ускорения иначальной скорости.tgϕ (t ) =20МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧYНетрудно видеть, что при t = 0решения соответствуют начальным усy (x)ловиям задачи. При этом тангенциальное ускорение в указанный моментaвремени равно нулю, радиус кривизнытраектории в данный момент времениcυ0ρ = , а угол между скоростью и ускоOXbРис.
1.5рением ϕ = π / 2 .При t → ∞ значения координат точки и модуль скорости, каки следовало ожидать, неограниченно возрастают, нормальное ускорение и угол между скоростью и ускорением стремятся к нулю, арадиус кривизны траектории – к бесконечности.Задача 1.2(Кинематика материальной точки)Находящееся на высоте H над Землей тело бросили горизонтально с начальной скоростью υ0 . Найти закон движения тела,уравнение траектории, законы изменения скорости и ускорения, атакже нормальную и тангенциальную проекции ускорения и радиус кривизны траектории в произвольный момент времени.РешениеI.
Нарисуем чертеж и изобразим на нем заданную в условиизадачи скорость тела υ0 в начальный момент времени (t = 0) ипредполагаемую траекторию движения тела (рис. 1.6).Выберем систему отсчета,связанную с Землей. Ось X декар- Yυ0товой системы координат напраgHвим горизонтально вдоль поверхности Земли по направлению начальной скорости υ0 , а ось Y –вертикально вверх на положениетела в начальный момент времеXOни. Будем считать, что тело является материальной точкой, а двиРис. 1.6жение тела у поверхности Землипроисходит с постоянным ускорением свободного падения g .Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем21II.
В соответствии с выбранной системой отсчета и выбранными моделями тела и его движения запишем начальные условия изакон изменения ускорения тела в проекциях на оси координат:⎧ x(0) = 0, y (0) = H ,(1.40)⎨⎩υ x (0) = υ0 , υ y (0) = 0;dυ x⎧⎪⎪a x = d t = 0,(1.41)⎨⎪a = d υ y = − g .⎪⎩ ydtIII. Записанные дифференциальные уравнения относительнопроекций скорости материальной точки с учетом начальных значений позволяют найти закон изменения скорости тела υ(t ) и законего движения r (t ) в проекциях на оси координат:⎧υ x = υ0 ,(1.42)⎨⎩υ y = − gt ;⎧ x = υ 0t ,⎪(1.43)⎨gt 2.⎪y = H −2⎩Уравнение траектории находится из закона движения тела вкоординатной форме (1.43) путем исключения времени t:gx 2y ( x) = H − 2 .(1.44)2υ0Остальные искомые величины определяются в соответствиис формулами, приведенными в п.
1 данной Главы.Модуль скорости (1.8) равен:υ = υ x2 + υ y2 = υ02 + (gt ) 2 .(1.45)Модуль ускорения (1.14) имеет вид:a = a x2 + a 2y = g .(1.46)Проекции ускорения на направление скорости и перпендикулярное ему направление (1.19, 1.23) равны:dυg 2tυ0 g, an = a 2 − at2 =.(1.47)aτ ==dtυ02 + g 2t 2υ02 + g 2t 2МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ22Радиус кривизны (1.21) определяется соотношением:υ2(υ)3/ 2+ g 2t 2.(1.48)anυ0 gЗаметим, что в данной задаче все формулы для нахожденияискомых величин справедливы с начального момента времениt0 = 0 до момента падения тела на Землю t0 ≤ t≤ tпад. Этот моментвремени легко найти из закона движения (1.43), приняв координатуy равной нулю:2Htпад =.(1.49)gρ==20Задача 1.3(Кинематика материальной точки и принципсуперпозиции движений)Лодка пересекает реку с постоянной относительно воды скоростью υл , перпендикулярной направлению течения реки.
Модульскорости течения реки, ширина которой d, нарастает от берегов ксередине реки по параболическому закону, изменяясь от 0 до um.Найти уравнение траектории лодки, время ее движения τ , а такжеснос лодки l вниз по течению от места ее отплытия до места причаливания на противоположном берегу реки.РешениеI. Выберем декартову систему координат, жестко связаннуюс берегом реки, и с началом в месте отплытия лодки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
