Учебник - Механика. Методика решения задач - Русаков (1238761), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1.18. На том же рисунке изображены орты er, eϕ и ez цилиндрической системы. Ось, от которой отсчитывается угол ϕ системыкоординат, направим на положение тела в начальный момент времени.ZezOeϕϕMgerXРис. 1.18υ0Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем39II. В соответствии с условиями задачи и выбранной системойкоординат запишем начальные значения проекций скорости длярассматриваемого тела:(1.120)υ r (0) = 0 , υϕ (0) = υ0 , υ z (0) = 0 .Воспользуемся формулами (1.103) и (1.104) для проекцийскорости и ускорения тела на направления, задаваемые ортами цилиндрической системы:υr = r& , υϕ = rϕ& , υ z = z& ,(1.121)a r = &r& − rϕ& 2 , aϕ = 2r&ϕ& + rϕ&& , a z = &z& .(1.122)Кроме того, в соответствии с условиями задачи, запишем:r (t ) = R , aϕ (t ) = 0 , a z (t ) = − g .(1.123)III.
Используя (1.121) – (1.123), получим законы измененияпроекций скорости и ускорения:υ r (t ) = 0 , υϕ (t ) = υ0 , υ z (t ) = − gt ;(1.124)ar (t ) = −υ02, aϕ (t ) = 0 , a z (t ) = − g .(1.125)RТаким образом, искомый закон изменения скорости и ускорения в цилиндрической системе координат имеет следующий вид:υ = υ0eϕ − gte z ,(1.126)a=−υ02e r − ge z .(1.127)RОпределим также искомый угол α между скоростью и ускорением тела:υ⋅ag 2tcos α =.(1.128)=υa⎛ ⎛ υ 2 ⎞2⎞υ02 + (gt )2 ⎜ ⎜⎜ 0 ⎟⎟ + g 2 ⎟⎜ R⎟⎝⎝ ⎠⎠()1.4.
Задачи для самостоятельного решенияЗадача 1Из пушки, находящейся на самолете, летящем горизонтальносо скоростью υсам , выпущен снаряд в направлении движения само-МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ40лета. Скорость снаряда относительно самолета равна υсн . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:1) уравнение траектории снаряда относительно Земли y ( x ) ;2) уравнение траектории снаряда относительно самолетаy ′( x ′) ;3) уравнение траектории самолета относительно снарядаy ′′( x ′′) .ggОтвет: 1) y = −x 2 , 2) y′ = − 2 ( x′) 2 ,22υсн2(υ сам + υсн )3) y′′ =g( x′′) 2 , x′′ < 0 .
Оси X, X' и X'' декартовой системы коор-2υдинат направлены горизонтально вдоль скорости самолета, а оси Y,Y' и Y'' – вертикально вверх, при этом начало координат системыXY совпадает с положением самолета в момент выстрела пушки.2снЗадача 2Лодка пересекает реку шириной d с постоянной относительно воды скоростью υ , перпендикулярной скорости течения реки,модуль которой нарастает от берегов к середине реки по линейному закону, меняясь от 0 до u. Найти траекторию лодки, а такжеснос лодки l вниз по течению от места ее отплытия до места причаливания на противоположном берегу реки.Ответ: y =υdux , при y < d/2; y = d −d 2 υd−x , при y > d/2;2uud. Ось X декартовой системы координат XY направлена вдоль2υберега реки, а ось Y – поперек реки.
Начало системы координат,жестко связанной с берегом реки, совпадает с местом отплытиялодки.l=Задача 3По движущемуся вниз эскалатору спускается пассажир соскоростью υ относительно эскалатора. Скорость эскалатора равнаu. Спускаясь по неподвижному эскалатору пассажир проходит Nступеней.
Сколько ступеней N' пройдет пассажир, спускаясь подвижущемуся эскалатору?Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших системОтвет: N ′ =υυ +u41N.Задача 4Два трактора, движущиеся со скоростями υ1 и υ 2 , буксируютс помощью тросов автомобиль (см. рис.).υ1αυ2Определить модуль и направление скорости υ автомобиля втот момент, когда тросы параллельны векторам υ1 и υ2 , а угол между ними равен α.Ответ: υ =υ12 + υ 22 − 2υ1υ 2 cos α,sin α⎛⎞⎟ , где β – угол между век1⎜ υ 2 + υ 2 − 2υ υ cos α ⎟21 2⎝ 1⎠υ1 sin αβ1 = arccos⎜торами υ и υ1 .Задача 5Тело А подвешено на нитях, перекинутых через блоки В и Смалого диаметра так, что АВ = ВС (см.
рис.).LBCHυAυКонцы нитей тянут с одинаковыми скоростями υ . Расстояние между блоками В и С равно L. Найти модуль скорости υ A телаМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ42А в тот момент, когда оно находится на расстоянии H от прямойВС.2⎛ L ⎞Ответ: υ A = υ 1 + ⎜⎟ .⎝ 2H ⎠Задача 6Лодку подтягивают к пристани высотой Н с помощью веревки, наматываемой на вал лебедки. Радиус вала равен R << H. Валвращается с постоянной угловой скоростью ω. Определить зависимость модулей скорости и ускорения лодки от длины веревкиL > Н.
Движение лодки считается поступательным.ω RL(ω rH ) 2Ответ: υ =, a=.32L2 − H 2L2 − H 2()Задача 7.Найти уравнение кинематическойсвязи для ускорений тел, подвешенных нанерастяжимых нитях (см. рис.).Ответ: a1 + 2a2 + a3 = 0 , где a1 , a 2 и a 3 –проекции ускорений тел на вертикальнуюось декартовой системы координат.132Задача 8Определить закон изменения модуля скорости материальнойточки, движущейся в плоскости, если ее движение описывается вполярной системе координат следующим законом: r (t ) = a (1 − bt ) ,btϕ (t ) =, где a и b – положительные постоянные величины.1 − btОтвет: υ = ab 1 +11, при t < .2b(1 − bt )Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем43Задача 9Четыре тела подвешены на нерастяжимых нитях (см. рис.).
Найти ускорениетела 4, если известны ускорения остальныхтрех тел.Ответ: a4 = − (a1 + a2 + 2a3 ) 4 , где a1 , a2 ,a3 и a4 – проекции ускорений тел на вертикальную ось декартовой системы координат.4312Задача 10Найти уравнение кинематической связи для ускорений тел,подвешенных на нерастяжимых нитях так, как показано на рисунке.rR1234511 ⎞R+rr⎛a2 + ⎜ 2a3 + a4 + a5 ⎟ = 0 ,22 ⎠RR⎝где a1 , a2 , a3 , a4 и a5 – проекции ускорений тел на вертикальнуюось декартовой системы координат.Ответ: a1 +44МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 11Два тела подвешены на нерастяжимых нитях, как показано на рисунке.Определить ускорение тела 2, если известно ускорение тела 1.Ответ: a2 = −16a1 , где a1 и a2 – проекции ускорений тел на вертикальнуюось декартовой системы координат.21Глава 2.
Динамика материальной точки и простейших систем45ГЛАВА 2ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ИПРОСТЕЙШИХ СИСТЕМ2.1. Теоретический материал2.1.1. Законы НьютонаПервый закон Ньютона. Существуют такие системы отсчета, относительно которых изолированная материальная точка (накоторую не действуют силы) движется равномерно и прямолинейно или покоится.
Такие системы отсчета называются инерциальными.Второй закон Ньютона. В инерциальной системе отсчетапроизведение массы материальной точки на ее ускорение равносумме всех сил, действующих на эту материальную точку со стороны других тел:ma = ∑ Fi .(2.1)iТретий закон Ньютона. Силы взаимодействия двух материальных точек:1) парные и приложены к разным материальным точкам,2) одной природы,3) равны по модулю,4) противоположны по направлению,5) направлены вдоль прямой, соединяющей материальныеточки.Уравнение движения – второй закон Ньютона, записанный ввекторной форме или в проекциях на оси инерциальной системыотсчета:⎧⎪ma x = ∑ Fix ,i⎪⎪(2.2)ma = ∑ Fi или ⎨ma y = ∑ Fiy ,ii⎪⎪ma = F .iz⎪⎩ z ∑iЗаметим, что уравнение движения можно записать в проекциях на любую, в том числе и произвольно движущуюся относительно инерциальной системы отсчета, ось.
Для этого достаточноМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ46умножить скалярно левую и правую части векторного уравнениядвижения (2) на единичный вектор (орт), задающий направлениеэтой оси. Например, на направление скорости τ и на направление,перпендикулярное скорости n :man = ∑ Fin ,i(2.3)maτ = ∑ Fiτ ,iгде an (t ) = an (t )n(t ) и aτ (t ) = aτ (t )τ (t ) – нормальная и тангенциальная составляющие ускорения материальной точки.Законы динамики – это законы Ньютона и законы, описывающие индивидуальные свойства сил.2.1.2. Законы, описывающие индивидуальные свойства силА. Гравитационные силыЗакон всемирного тяготения.
Материальные точки притягиваются друг к другу с силами F21 и F12 (см. рис. 2.1), модуликоторых пропорциональны произведению их масс и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:mmF21 = − F12 = G 1 3 2 r12 .(2.4)r12Здесь G = 6,673⋅10−11 Н⋅м2/кг2 – гравитационная постоянная,r12 = r2 − r1 .Sr1m1F21 F12 r12 m2r2Рис.
2.1. Ориентация сил гравитационного взаимодействиядвух материальных точекСилы гравитационного взаимодействия сферически симметричных тел, как нетрудно показать, определяются выражениемГлава 2. Динамика материальной точки и простейших систем47(2.4), в котором r12 – радиус-вектор центра второго тела относительно центра первого тела.Сила тяжести, действующая на материальную точку, –сумма силы гравитационного притяжения Земли (или любого другого космического объекта) и центробежной силы инерции (см.Главу 4), действующей на материальную точку в системе отсчета,связанной с Землей.Сила тяжести, действующая на тело, – сумма сил тяжести,действующих на материальные точки этого тела.В однородном поле силы тяжести вблизи поверхности Землисила тяжести Fт равна произведению массы тела m на ускорениецентра масс тела при свободном падении (ускорение свободногопадения) g относительно Земли: Fт = mg .Вес тела – сила, с которой тело, находящееся в поле сил тяжести, действует на неподвижную относительно него опору илиподвес, препятствующие свободному падению тела.Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
