Учебник - Механика. Методика решения задач - Русаков (1238761), страница 6
Текст из файла (страница 6)
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 1.9(На кинематику материальной точки)Закон движения движущейся в плоскости материальной точки, заданный в полярной системе координат, имеет следующийвид: r = r(t), φ = φ(t). Определить законы изменения проекций скорости иYускорения материальной точки наereϕнаправления, задаваемые ортами декартовой и полярной систем коордиrMнат, жестко связанных с телом отсчеjта.
Начало декартовой системы коорϕдинат совпадает с полюсом полярнойсистемы, а ось X декартовой системыiOXнаправлена вдоль полярной оси (см.Рис. 1.14рис. 1.14).РешениеI. Выберем ось Y декартовой системы координат так, чтобыплоскость XY совпадала с плоскостью, в которой движется материальная точка M (рис.
1.14). Для решения задачи используем двесистемы координат – декартову систему координат XOY c ортамиi и j , и полярную, орты которой er и eϕ изображены на рис. 1.14.Заметим, что при движении материальной точки происходит изменение ориентации ортов полярной системы er и eϕ , в то время какорты декартовой системы координат i и j не изменяют своего направления.II, III. Закон движения материальной точки, заданный в полярной системе, запишем в декартовой системе координат XOY:x (t ) = r (t ) cosϕ (t ),(1.90)y (t ) = r (t ) sin ϕ (t ).Дифференцируя закон движения (1.90) по времени, получаемискомые законы изменения проекций скорости материальной точкии ее ускорения в декартовой системе координат:υ x = x& = r& cosϕ − rϕ& sin ϕ ,(1.91)υ y = y& = r& sin ϕ + rϕ& cosϕ ;Глава 1.
Кинематика материальной точки и простейших систем33a x = υ& x = ( &r& − rϕ& 2 ) cos ϕ − ( 2r&ϕ& + rϕ&&) sin ϕ ,(1.92)a y = υ& y = ( &r& − rϕ& 2 ) sin ϕ + ( 2r&ϕ& + rϕ&&) cos ϕ .В формулах (1.92), (1.92) и далее для краткости опустим запись зависимости кинематических величин от времени.Проекции скорости и ускорения материальной точки в полярной системе координат находим двумя способами.1 способ. Скорость и ускорение материальной точки в полярной системе координат записываются в виде:υ = υ r er + υϕ eϕ ,(1.93)a = ar er + aϕ eϕ .(1.94)Следовательно, проекции скорости и ускорения материальной точки на направления, задаваемые ортами рассматриваемыхсистем координат, связаны соотношениями:υ x = υ ⋅ i = υ r er ⋅ i + υϕ eϕ ⋅ i =υ r cos ϕ − υϕ sin ϕ ,(1.95)υ y = υ ⋅ j = υ r er ⋅ j + υϕ eϕ ⋅ j = υ r sin ϕ + υϕ cos ϕ ;a x = a ⋅ i = ar er ⋅ i + aϕ eϕ ⋅ i = a r cos ϕ − aϕ sin ϕ ,a y = a ⋅ j = ar er ⋅ j + aϕ eϕ ⋅ j = ar sin ϕ + aϕ cos ϕ .(1.96)Сравнивая соотношения (1.90) и (1.95), а также (1.91) и(1.96), получим искомые проекции скорости и ускорения материальной точки в полярной системе координат:υ r = r&,(1.97)υ ϕ = rϕ& ;a r = &r& − rϕ& 2 ,aϕ = 2r&ϕ& + rϕ&&.(1.98)2 способ.
Запишем радиус-вектор материальной точки в полярной системе координат:r = rer .(1.99)Поскольку при движении материальной точки происходитизменение ориентации ортов полярной системы e r и eϕ , найдемскорость их изменения (см. рис. 1.15):e&r = ϕ& eϕ ,(1.100)e&ϕ = −ϕ& e r .МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ34deϕde reϕdϕdϕerϕOXРис. 1.15Теперь для нахождения скорости и ускорения точки в той жесистеме координат необходимо продифференцировать радиусвектор (1.99) по времени с учетом (1.100):υ = r& = r&e r + re&r = r&e r + rϕ&eϕ ,(1.101)a = υ& = &r&e r + r&e& r + r&ϕ&eϕ + rϕ&&eϕ + rϕ&e&ϕ == ( &r& − rϕ& 2 )e r + ( 2r&ϕ& + rϕ&&)eϕ .(1.102)В соответствии с (1.101) и (1.102) искомые проекции скорости и ускорения материальной точки в полярной системе координат равны:υ r = r&,(1.103)υ ϕ = rϕ& ;a r = &r& − rϕ& 2 ,aϕ = 2 r&ϕ& + rϕ&&.(1.104)Как видим, оба способа решения дают одинаковый результат.Задача 1.10(На кинематику материальной точки)Движение материальной точки в полярной системе координатзадаетсявзаимосвязьюполярныхкоординатr (ϕ ) = 2a (1 + cos ϕ ) , при этом полярный угол возрастает линейно вовремени ϕ (t ) = bt .
Определить зависимость модуля скорости и модуля ускорения материальной точки от времени.РешениеI. Решаем задачу в заданной полярной системе координат.Заметим, что материальная точка M движется по замкнутой траек-Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем35тории, периодически, с периодом2πυ( t ), возвращаясь в ту же точкуbMпространства (см. рис.
1.16).r(t)II. Определим закон изменеa(t k )ϕ(t)ния проекций скорости и ускореXOния материальной точки в полярной системе координат, воспользовавшись формулами (1.103) иРис. 1.16(1.104), полученными в предыдущей задаче:υ r = r& = −2a sin ϕϕ& = −2ab sin ϕ ,(1.105)υϕ = rϕ& = 2a (1 + cos ϕ )b;a r = &r& − rϕ& 2 = −2ab 2 ( 2 cos ϕ + 1),(1.106)aϕ = 2r&ϕ& + rϕ&& = −4ab 2 sin ϕ .Тогда искомые модули скорости и ускорения материальной точкиравны:υ = υ r2 + υϕ2 = 2ab 2 + 2 cos(bt ) ,(1.107)a = ar2 + aϕ2 = 2ab 2 5 + 4 cos(bt ) .(1.108)Заметим, что материальная точка в моменты времениtk = (2k + 1)π(где k = 0, 1, 2, ...) находится в начале (полюсе) поbлярной системы координат, имеет нулевую скорость, а ускорение,по модулю равное a(tk ) = 2ab 2 , направлено противоположно полярной оси.Задача 1.11(На кинематику материальной точки)Планета движется вокруг Солнца в соответствии с законамиКеплера по эллиптической траектории r (1 − e cosϕ ) = p .
Параметрэллипса p , эксцентриситет e и секторную скорость σ считать заданными. Определить проекции ускорения планеты в зависимостиот координат r и ϕ полярной системы.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ36РешениеI. При решении задачи будем считать планету и Солнце материальными точками. Согласно первому закону Кеплера все планеты движутся по эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одном из фокусов эллипса O (см.
рис. 1.17).rϕ&Δtr(t+Δt)ϕ(t)Or(t)XРис. 1.17В соответствии с условием задачи введем полярную системукоординат в плоскости движения планеты, полюс которой совпадает с Солнцем, а полярная ось совпадает с одной из осей эллипса.Согласно второму закону Кеплера секторная скорость σпланеты, равная скорости изменения площади, описываемой радиус-вектором материальной точки, представляющим планету, постоянна при движении планеты вокруг Солнца.II. Для нахождения проекций ускорения планеты в полярнойсистеме координат воспользуемся формулами (1.104):a r = &r& − rϕ& 2 ,(1.109)aϕ = 2r&ϕ& + rϕ&&.Поскольку в уравнения (1.109) входят производные полярных координат по времени, дополним эту систему уравнением траектории планеты и выражением для ее секторной скорости σ :r (1 − e cosϕ ) = p ,(1.110)1σ = r 2ϕ& .(1.111)2III.
В соответствии с условием задачи секторная скорость σпостоянна при движении планеты по эллиптической траектории,поэтому ее производная по времени равна нулю:Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем371(1.112)2Сравнивая (1.112) с выражением (1.109) для проекции ускорения aϕ , видим, что aϕ = 0 . Следовательно, ускорение в любойσ& = rϕ& + r 2ϕ&& = 0 .момент времени имеет только проекцию ar , которая в соответствии с (1.109) является функцией производных полярных координатпо времени.Продифференцируем обе части уравнения траектории (1.110)по времени:r&(1 − e cos ϕ ) + re sinϕ ϕ& = 0 .(1.113)Используя уравнение траектории (1.110) и выражение длясекторной скорости (1.111), преобразуем (1.113) к виду:(1.114)r& p + 2σ e sin ϕ = 0 .Продифференцируем теперь обе части уравнения (1.114) повремени&r&p + 2σ e cosϕ ϕ& = 0 .(1.115)Опять воспользуемся уравнением траектории (1.110) и выражением для секторной скорости (1.111) для исключения cosϕ и ϕ&из (1.115):r − p 2σr− p&r&p + 2σe(1.116)⋅ 2 = &r&p + 4σ 2 3 = 0 .er rrВ результате находим:r− p&r& = −4σ 2 3 .(1.117)r pДля нахождения искомой проекции ускорения планеты a r ,как функции только координат полярной системы, подставим &r&2σ(1.116) и ϕ& = 2 (см.
(1.111)) в выражение (1.109):r4σ 24σ 2r− p(1.118)a r = &r& − rϕ& 2 = −4σ 2 3 − r 4 = − 2 .r prr pТаким образом, ускорение планеты, движущейся по эллиптической траектории, направлено к Солнцу, не зависит от полярногоугла ϕ и обратно пропорционально квадрату расстояния до Солнца:МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ384σ 2,r 2paϕ = 0.ar = −(1.119)Задача 1.12(На кинематику материальной точки)Небольшое тело движется по гладкой внутренней поверхности полого вертикального цилиндра радиуса R.
В начальный момент времени скорость тела направлена перпендикулярно оси цилиндра и равна υ0 . Определить законы изменения скорости и ускорения материальной точки в цилиндрической системе координат, атакже угол α (t ) между скоростью и ускорением.РешениеI. Будем считать тело материальной точкой, которая движется по цилиндрической поверхности с постоянной вертикальной составляющей ускорения, равной ускорению свободного падения g .Для решения задачи выберем цилиндрическую систему координат,ось Z которой совпадает с осью цилиндра, как показано нарис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
