Конспект семинаров - Многомерный анализ, интегралы и ряды - Трошин (1238760), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Пусть = 1.+∞∫2 ln +∞Вывод: = ∫21) В2) В+∞=∫2 ln ln ln +∞= || = ln || = ∫сходится при [ln 2⟹ сходится при > 1, расходится при ⩽ 1. > 1, ∈ , = 1, > 1,и расходится при [ < 1, ∈ , = 1, ⩽ 1.̄при → − 0.частности, |()| ⩽ |()|, () ∼ (), () ≍ (), () = o(())частности, () ∼ () при → − 0.Весна 2018 г.31NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к. 2 с.9. Несобственные интегралы от знакопостоянных функцийCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC1/22+∞1=∫∫=.=−=2− | ln 1 |2− | ln |⏟ = − ln +∞2⏟⏟⎵⏟⎵2б) ′ = ∫0<0|−ln | =ln при ⩾1Из п.
а) : ′ сходится при [2 − > 1,∈⟺2 − = 1,>1⟺ ′ расходится при [[2 − < 1,∈⟺2 − = 1,⩽1⟺ < 1,∈ = 1,>1[ > 1,∈ = 1,⩽1Почти ключевой пример № 3. Исследовать на сходимость ∀, ∈ ∶+∞ = [а) = ∫0+∞′б) = ∫1+∞ |,| 0≠0+∞ |0 ,=0⟹ сходится при < 0, расходится при ⩾ 0.+∞+∞ = = ln = ∫∫⋅.==1−ln ln = Из ключевого примера № 2: ′ сходится при [1 − > 1,∈⟺1 − = 1,>1⟺ ′ расходится при [[1 − < 1,∈⟺1 − = 1,⩽1⟺ < 0,∈ = 0,>1[ > 0,∈ = 0,⩽1Замечание. Чаще всего исследование сходимости несобственного интеграла ∫ () от знакопостоянной функции сводится к установлению отношения11,или ln () ≍в окрестности особенности.
Затем применяется следствие из признака сравнения. Каждый сомножительфункции раскладывается до главного члена. Например,3∼ −3∼1⏞(⏞⎴⎴⏞⎴⎴⏞sin − sh ) ch−11() =∼≍4)3ln(1+⏟⎵⎵⏟⎵⎵⏟при → 0.∼411.Пример. Исследовать на сходимость = ∫sin ⎵⏟√0 ⎵⏟⎵⏟⎵sin √∼→+01√⟹ сходится.ос-ть в 021Пример. Исследовать на сходимость = ∫= =1+ =∫;=lnln(1+ )0⏟1⎵⏟⎵⏟ос-ть в 111∼⟹ расходится.1)ln(1 + ) →+0 1Пример.
(§11 № 92) Исследовать на сходимость = ∫0sin(arcsin + 3 ) − при ∀ ∈ .sin ⏟⎵⎵⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⎵⎵⏟()() =sin( +36̄ 3 ) + 3 ) − + o(sin = + 67 3 −36( +̄ 3) − + o(̄o())∼→+031= −3 ⟹ сходится при − 3 < 1 ⟺ < 4 и расходится при ⩾ 4.1) Еслиособенность не в нуле и не в бесконечности, заменой переменной ее следует отобразить в нуль (или в бесконечность).Весна 2018 г.32NSNOITTRUCМатематический анализ 1 к. 2 с.TCURTSNO9.
Несобственные интегралы от знакопостоянных функцийCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC2 при ∀, ∈ .Пример. (§11 № 98) Исследовать на сходимость = ∫ ⏟⎵sin⎵ cos⎵⏟⎵⎵⎵⏟0()Интеграл может иметь особенности в двух точках: = 0 и =24где 1 = ∫ () ,. Разобьем его на два интеграла: = 1 +2 ,22 = ∫ ().40cos ∼ ⟹ интеграл 1 [Рассмотрим 1 . () = sin ⏟⏟⏟⏟∼Рассмотрим 2 .∼1→+0Возможная особенность при =сходится при > −1 ∀ ∈ ,расходится при ⩽ −1 ∀ ∈ .⟹ сделаем замену переменной = − :2204 sin .2 = − ∫ sin ( − ) cos ( − ) = ∫ cos⏟⎵⎵⏟⎵⎵⏟220()4Аналогично функции (), () ∼ ⟹ интеграл 2 [→+0сходится при > −1 ∀ ∈ ,расходится при ⩽ −1 ∀ ∈ .Вывод: сходится при > −1 и > −1 и расходится во всех остальных случаях.+∞Пример.
(§12 № 91) Исследовать на сходимость = ∫04√ при ∀ ∈ . 3 arctg1 +⎵⏟⏟⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵()Точка = 0 — возможная особенность; бесконечный предел интегрирования — особенность по определению. Из-за этого разобьем интеграл на два интеграла, каждый из которых имеет не более одной особенно1+∞сти: = 1 + 2 , где 1 = ∫ () ,2 = ∫ () .01Рассмотрим 1 .При → +0 аргумент arctg бесконечно мал: 0 < () =4√< √ ⟶ 0 ⟹ arctg () ∼ ().1 + →+0→+01+23, > 0,⎡⎢4√⎢1 1Отсюда () ∼ /3∼2, = 0,1 + →+0 ⎢→+0⎢2⎢ 4 + 1 −⎣ 3 2 , < 0.При ⩾ 0 показатель степени у эквивалентной функции положительный и интеграл 1 сходится. Также онсходится при { < 0,43+12⟺−− > −1,99< < 0. При ⩽ − интеграл 1 расходится.22Рассмотрим 2 .При → +∞ аргумент arctg имеет разные пределы в зависимости от :⎡ +∞, < 1/2,() ⟶ ⎢ 1, = 1/2,→+∞ ⎢ > 1/2.⎣ 0,Интеграл 2 сходится при 4 < 1/2,3,⎡2 < 1/2,⎡ /2,⎢ 2⟹ arctg () ∼ ⎢/4, = 1/2, ⟹ () ∼ ⎢ 3 , = 1/2,⎢→+∞ ⎢→+∞ ⎢ 41√−⎢ 4 + 1 −⎣ 1+ ∼ 2 , > 1/2.⎣ 3 2 , > 1/2.
< 1/2,33⟺ < − . При ⩾ − интеграл 2 расходится.{444< −1,3 сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба интеграла 1 и 2 .9 3Вывод: сходится при ∈ (− , − ) и расходится при2 493 ∈ (−∞, − ] ∪ [− , +∞).24Весна 2018 г.33NSNOITTRUCМатематический анализ 1 к. 2 с.TCURTSNO9. Несобственные интегралы от знакопостоянных функцийCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCЗамечание. Полезные эквивалентности:ln ch = ln( +2−11−2 ) ∼ ,+ ⎵) = ln( ⋅ ⋅ (1 + −2 )) = ln + + ln(1⏟⎵⎵⎵⏟⎵⎵⏟ →+∞2⏟2⟶0constch ln =→+∞1 ln 11+ − ln ) = ( + ) ∼.(22 →+∞ 21Пример.
(§11 № 88) Исследовать на сходимость = ∫0ln ch 1ln3⎵⏟⎵(1 +⎵⏟)⏟⎵ при ∀ ∈ .()С учетом замечания, сделанного выше,∼1/ () =⏞⎴⏞⏞ln⎴ch 13ln(1⏟+)⏟⎵⎵⎵⎵⏟∼1→+0 3+⟹ интеграл [сходится при 3 + < 1 ⟺ < −2,расходится при 3 + ⩾ 1 ⟺ ⩾ −2.∼3+∞Пример. (МФТИ 2016–2017) Исследовать на сходимость = ∫3ln (1 + )( 2 + √) при ∀ ∈ .13cth( ) √arcsin 1+⏟⎵⎵⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⎵⎵⏟0()1+∞Разобьем интеграл на два: = 1 + 2 , где 1 = ∫ () ,2 = ∫ () .0Рассмотрим 1 .ln (1 + ) ∼ ,→+011⎡ , > 0,cth( ) ∼ ⎢ cth 1, = 0,→+0 ⎢ < 0.⎣ 1,3( 2 + √ ) ∼ /3 ,→+03√arcsin31∼ √arcsin 1 ≍ 1,1+ →+0→+0а также при {откуда () ≍ [→+0 + 3 + = + 3=43,73, > 0, ⩽ 0,≍ [→+01,1, > 0, ⩽ 0,⟹ 1 сходится при > 0, ⩽ 0,433⟺ ∈ (− , 0].4> −1,Рассмотрим 2 .
> 0,⎡ 1,1, ⩾ 0,cth( ) ∼ ⎢ cth 1, = 0, ≍ [ 1→+∞→+∞→+∞ ⎢→+∞, < 0,1⎣ , < 0.1⎡ −2− 1 − , ⩾ 0,3 ln⎢133⟹∼ √arcsin 1 →+∞≍ −1/3 , откуда () ≍ ⎢ √arcsin 1+ →+∞1→+∞ ⎢,<0,1⎣ −3− 3 ln− ln (1 + ) ∼ ln ,3( 2 + √ ) ∼ 2 ,@@⩾ 0,⎧⎪ @ < 0,−2 @− 31 = 1, {⎨−3 −@⎪⎩− > 1, @@44то есть, при < − . При ⩾ − интеграл 2 расходится.99HH ⩾ 0,2 сходится при { HH−2 − 31H>HH1,13> 1,@@< 0,⎧⎪ @−3 @− 31 = 1,⎨@⎪⎩− > 1, @@3 4Вывод: сходится при ∈ (− , − ) и расходится при4 934 ∈ (−∞, − ] ∪ [− , +∞).49Весна 2018 г.34NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к. 2 с.12.
Числовые рядыCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC12. Числовые рядыБазовые понятия∞Пусть дана последовательность { }. Выражение 1 + 2 + . . . + + . . . = ∑ называется числовым рядом;=1 = 1 + .
. . + = ∑ — -ая частичная сумма ряда; — -ый член ряда.=1∞∞Ряд ∑ называется сходящимся, если ∃ lim = ∈ ; при этом пишут: ∑ = . В противном случае→∞=1=1ряд называют расходящимся.Примеры.∞1) Найти сумму ∑ геометрической прогрессии { } = { −1 } = {, , 2 , 3 , . . .}.=1Вычтем из -ой частичной суммы ряда ее же, умноженную на : = + + 2 + . .
. + −1− = + 2 + 3 + . . . + (1 − ) = − Как видно, ряд сходится к =⟹ = 1 − .1−при || < 1 и расходится при || ⩾ 1.1−∞1.(+ 1)=12) Найти сумму ряда ∑Получим выражение для -ой частичной суммы ряда и рассмотрим предел при → ∞:∞ =111111+++... +=1−=−−−→ 1 = ∑.⏟1⋅2 ⏟2⋅3 ⏟3⋅4+1 + 1 →∞ ⋅⎵⏟⎵( +⎵⏟1)( + 1)⏟⎵=11 1−1 21 1−2 31−13 41− 1 +1Th (Критерий Коши сходимости ряда).1)+∞∑ сходится ⟺ ∀ > 0 ∃ ∈ ∶ ∀ ⩾ , ∀ ∈ ↪=1||| ∑ |||=+1⏟⎵⎵⏟⎵⎵⏟< .|+1 +. . .++ |Примеры.∞cos .(+ 1)=11) Исследовать на сходимость ряд = ∑∞1сходится ⟹ для него выполняется условие Коши:(+ 1)=1Из предыдущего примера знаем, что ряд ∑+1|| < .|(+1)=+1|∀ > 0 ∃ ∈ ∶ ∀ ⩾ , ∀ ∈ ↪ || ∑Но+++cos |1|| cos || ∑| ⩽|||| нер-во ▵ ∑ | ( + 1) | ⩽ ∑ ( + 1) < ,(+1)=+1=+1=+1таким образом, для ряда тоже выполняется условие Коши ⟹ сходится.1) Можнозаметить, что это — просто критерий Коши сходимости последовательности частичных сумм ряда.Весна 2018 г.35NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к.
2 с.12. Числовые рядыCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC∞1.=12) Исследовать на сходимость гармонический ряд = ∑С помощью отрицания условия Коши покажем, что он расходится:11 || 1|⩾∶ ∀ ∈ ∃ = ⩾ , ∃ = ∈ ∶ ||+ ... +2+1 + | + ∃ ==(=)1= = .+2Th (Необходимое условие сходимости рядa).∞ = ∑ сходится ⟹=1lim = 0.→∞Доказательство. сходится ⟹ выполняется условие Коши:∀ > 0 ∃ ∈ ∶ ∀ ⩾ , ∀ ∈ ↪ |+1 + . .
. + + | < .Если взять = 1, то получится:∀ > 0 ∃ ∈ ∶ ∀ ⩾ ⟹ |+1 | < ,а это по определению означает, что lim = 0.→∞Примеры.∞1) ∑ (−1) расходится, т.к. (−1) ⟶X0.→∞=1∞2) ∑ sin расходится, т.к. sin ⟶X0.1)→∞=1Знакопостоянные рядыTh (Интегральный признак сравнения).∞+∞() непрерывна и монотонна на [1, +∞) ⟹ ∫() и ∑ () сходятся либо расходятся одновре=11менно.Иллюстрация:+1∫1+1+1∑ () ⩽ ∫() ⩽ ∑ ()=1=2() 1При → ∞:При → ∞:ряд сходится ⟹ интеграл сходитсяинтеграл сходится ⟹ ряд сходится1) Доказать,что { sin } расходится — само по себе хорошее упражнение.Весна 2018 г.36NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к. 2 с.12.
Числовые рядыCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCПримеры.+11⩾∫=111= ln( + 1) ⟶ +∞ ⟹ ∑ расходится.→∞=11) ∑∞1сходится при > 1, расходится при ⩽ 1.=12) Аналогично ∑∞13) Аналогично ∑=2 ln сходится при [ > 1, ∈ , = 1, > 1,расходится при [∞+∞4) Рассмотрим ряд ∑ − .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
