Конспект семинаров - Многомерный анализ, интегралы и ряды - Трошин (1238760), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пространство . Множества в немМатематический анализ 1 к. 2 с.CREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCКлассификация множеств в I Открытые множества.Def. ∈ называется внутренней точкой множества ⊂ , если ∃U () ⊂ .Def.
Внутренность множества ⊂ : int = { | — внутренняя т. }.Пример. int[1, 2] = (1, 2) (внутренность отрезка — интервал)Def. Множество ⊂ называется открытым, если ∀ ∈ является внутренней точкой , т.е. int = .Замечание. ∅, — открытые множества.∃ -окр-тьd ( t) dПримеры. = 1: (, ) — открытое множество:[, ] — не открытое множество:∄ -окр-ть( t ) (, не внутренние)t = 2:{ (, ) | 2 + 2 < 1 } — открытое{ (, ) | 2 + 2 ⩽ 1 } не открытоеTh.
, — открытые множества ⟹ ∪⎵открытое∩⎵открытое⏟⎵⎵⎵—⎵⏟⎵⎵⎵⎵⎵⏟ и ⏟⎵⎵⎵—⎵⏟⎵⎵⎵⎵⎵⏟.)б)а) пусть ∈ ∪ ⇒ ∈ или ∈ . Если ∈ , то ∃U () ⊂ ⊂ ∪ ⟹ — внутренняя точка ∪ . Аналогично при ∈ .б) если ∩ = ∅, очевидно. Пусть ∩ ≠ ∅.Пусть ∈ ∩ ⟹ ∈ и ∈ . — внутренняя для ⟹ ∃U () ⊂ ; — внутренняя для ⟹ ∃U () ⊂ .Возьмем = min { , }. Тогда U () ⊂ ∩ ⇒ — внутренняя для ∩ .Следствие. ⋃ любого числа открытых множеств — открытое множество.⋂ конечного числа открытых множеств — открытое множество.Замечание. Пересечение бесконечного числа открытых множеств не всегда открыто.1) Пример:∞1 1(− , ) = ⏟{0}⋂ ⏟⎵⏟⎵⏟ =1не откр.открытыеDef.
∀ открытое множество, содержащее точку , называется окрестностью точки и обозначается U().Аналогично определяется Ů().1) Вдоказательстве п. б) теоремы min { , } надо будет заменить на inf { }, который может оказаться равным 0.Весна 2018 г.10NSNOITTRUCTCURTSNO3. Пространство . Множества в немМатематический анализ 1 к. 2 с.CREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCII Замкнутые множества.Def. ∈ называется точкой прикосновения множества ⊂ , если ∀U() ∩ ≠ ∅.Def. Замыкание множества ⊂ : = { | — т. прикосновения }.Примеры.
= 1: = 2:ttзамкнутое, не открытоеtdне замкнутое, не открытоеddне замкнутое, открытое — открытый круг ⋃ отдельная точка ⟹ — круг, включая границу ⋃ отдельная точка.Замечание. ∅, — замкнутые множества.1)Def. ⧵ называется дополнением множества .Th. открыто ⟺ ⧵ замкнуто.2)Th (законы де Моргана). ⧵ ⋃ = ⋂ ( ⧵ ) ⧵ ⋂ = ⋃ ( ⧵ )Следствие. , — замкнутые множества ⟹ ∩ замкнуто и ∪ замкнуто.Следствие. ⋂ любого числа замкнутых множеств — замкнутое множество.⋃ конечного числа замкнутых множеств — замкнутое множество.Замечание. Объединение бесконечного числа замкнутых множеств не всегда замкнуто. Пример:∞11(−1,[−1 + , 1 − ] = ⏟⎵⏟⎵1)⏟⋃ ⏟⎵⎵⎵⎵⏟⎵ ⎵⎵⎵⏟=1замкнутыене замкн.III Изолированные и предельные точки.Def.
∈ — изолированная точка множества ⊂ , если ∃Ů () ∶ Ů () ∩ = ∅.Def. ∈ — предельная точка множества ⊂ , если ∀ Ů() ∩ ≠ ∅.Замечание. — предельная точка E ⟺ ∃ последовательность Гейне () ⊂ , сходящаяся к .Замечание. ∀ множества ⊂ ↪{ т-ки прикосновения } = { предельные т-ки } ⋃ { изолированные т-ки },причем { предельные т-ки } ⋂ { изолированные т-ки } = ∅.1) Иодновременно открытые! замкнуто ⟺ ⧵ открыто.2) Следовательно,Весна 2018 г.11NSNOITTRUCTCURTSNO3. Пространство . Множества в немМатематический анализ 1 к. 2 с.CREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCIV Границы множеств.Def.
∈ называется граничной точкой множества ⊂ , если ∀U() содержит точку из и из ⧵ .Def. Граница множества ⊂ : = { | — граничная точка }.Пример. Граница открытого круга и отдельной точки — окружность и отдельная точка:Примеры.Условие на множествоПримеры множеств ⊂ и ≠ Любой замкнутый круг = Любая окружность; любая точка ∩ = ∅Любой открытый круг ⊃ и ≠ ; ;V Связность множества.
Области и компакты.Напоминание.Непрерывная (параметрически заданная) кривая Γ ⊂ — множество точек, заданное как непрерывноеотображение отрезка ⩽ ⩽ :Γ = { () = (1 (), . . ., ()) | ∈ [, ] }Def. Множество ⊂ называется линейно связным, если ∀ его две точки можно соединить непрерывнойкривой Γ ⊂ .Замечание. Множество, состоящее из одной точки, считается линейно связным.Пример.линейно связное множествоне линейно связное множествоDef. Множество ⊂ называется областью, если оно открыто и линейно связно.Def.
Непустое множество ⊂ называется компактом, если оно замкнуто и ограничено.Примеры. Интервал – область, отрезок — компакт.Задача. Явл. ли множество определения функции (, ) = √ sin замкнутым? Открытым? Областью?Утверждение. = int ∪ .Доказательство. Пусть ∈ ⟹ ∀U() содержит 1 ∈ .Либо ∃U(1) (), целиком ⊂ , либо ∀U() содержит 2 ∉ . В первомслучае ∈ int , во втором ∈ . Доказательство в обратную сторонуаналогично.Следствие. ⊂ ⟹ = .Решение.
= {(0, ) | ∈ } ∪ {(, 2) | ∈ , ∈ } ⊂ ⟹ = ⟹ замкнуто. ⊂ , ≠ ∅ ⟹ не является открытым ⟹ не область.Замечание. Множество линейно связно.Весна 2018 г.12NSNOITTRUCTCURTSNO3. Пространство . Множества в немМатематический анализ 1 к. 2 с.CREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCЗадача.
() непрерывна на , 0 ∈ . Доказать: = { ∈ | () > 0 } открыто.Решение. Если = ∅, очевидно. Пусть ≠ ∅. Возьмем произвольную 0 ∈ . Покажем, что 0 ∈ int .В силу непрерывности () в точке 0для = (0 ) − 0 > 0 ∃ > 0 ∶ ∀ ∈ U (0 ) ↪ |() − (0 )| < .Раскрывая модуль и подставляя выбранное значение , получаем, что 0 < () < 2(0 )−0 , то есть, окрест-ность U (0 ) целиком ⊂ . Значит, открыто.Дополнение к множествам в I Def.
Множество ⊂ называется связным, если ∀ его разбиения = ∪ (т.е., ≠ ∅, ≠ ∅, ∩ = ∅) выполняется ∩ ≠ ∅.Утверждение. линейно связно ⟹ связно. Обратное неверно.Пример. Построим связное, но не линейно связное множество.1sin , ≠ 0,Возьмем функцию () = {0, = 0.Множество = { (, ()) | ⩾ 0 } — график функции, имеющей т. разрыва второго рода⟹ не линейно связное; однако { (0, 0) } ∩ ⧵ { (0, 0) } = { (0, 0) } ≠ ∅ ⟹ связно.II Th (лемма Гейне–Бореля). Пусть ⊂ — компакт и { }∞— его покрытие1) открытыми мно=1жествами. Тогда из { }∞можно выделить конечное подпокрытие { }=1=1компакта .Доказательство для и случая = [, ].Предположим обратное: ∃ = [, ] и { }∞— его покрытие открытыми множествами, из которого нельзя=1выделить конечное подпокрытие.
Тогда хотя бы одну из половин [, +, [ +, ] нельзя покрыть конеч2 ]2ным подпокрытием. Делим ее пополам и повторяем то же рассуждение. Получаем систему вложенныхотрезков с длиной ⟶ 0. Пусть 0 ∈ [, ] — общая точка этой СВО2) . 0 ∈ хотя бы одному из ⟹начиная с некоторого шага деления отрезок целиком покрывается одним множеством . Противоречие.Пример использования.Пусть { } — последовательность всех рациональных чисел. Окружим каждое рациональные число окрестностью U1/2 ( ) радиуса1.2∞Доказать, что ⋃ U1/2 ( ) ≠ .=1∞∞Доказательство. Предположим обратное: ⋃ U1/2 ( ) = . Тогда, в частности, [0, 5] ⊂ ⋃ U1/2 ( ),=1=1то есть, компакт покрыт бесконечным набором открытых множеств.
По лемме Гейне–Бореля из него можновыделить конечное подпокрытие ⋃ U1/2 ( ). Суммарная длина интервалов, образующих это подпокры=1тие, не превосходит ∑=122= 2(1− 21 ) < 2. Это меньше длины покрываемого компакта [0, 5]. Противоречие.∞1) Этозначит, что ⊂ ⋃ .2) Онаединственная.=1Весна 2018 г.13NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к. 2 с.6. Исследование дифференцируемости.
Мера ЖорданаCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC6. Исследование дифференцируемости. Мера ЖорданаФормула Тейлора в , завершениеЗадача. Разложить функцию (, ) = arctg1+̄ 2 ) , гдепо формуле Тейлора в окрестности (0, 0) до o(1+ = √ 2 + 2 .1̄ 2 ), где = − Общий вид разложения: (, ) = (0, 0) + (0, 0) + 2 (0, 0) + o(⏟0 = , = − ⏟0 = .200″″″Путь 1: = ′ , 2 = 2 + 2 + 2 ;′ =′ =121 + ( 1+)1+121 + ( 1+)1+″= (1 + ) ⋅⋅1+1(1 + )2= ⋅=;21+(1 + )2 + (1 + )2(1 + )⋅−(1 + )−(1 + )=;(1 + )2(1 + )2 + (1 + )2−2(1 + );((1 + )2 + (1 + )2 )2(1 + )2 + (1 + )2 + (1 + ) ⋅ 2(1 + );((1 + )2 + (1 + )2 )21+″=⋅ 2(1 + ).2((1 + ) + (1 + )2 )211 ″1″= ; (0, 0) = arctg 1 = .= 0, В т.
(0, 0): ′ = , ′ = − , 2224 2 2̄ 2 ) при (, ) → (0, 0).С учетом того, что = , = , получаем: (, ) = + − −++ o(42 2441+Путь 2: рассмотрим как сложную функцию: = arctg (, ), где (, ) =.1+2−2 , 2 =,Тогда =()2 +1 + 21 + 2(1 + 2 )21+где = ′ + ′ =,−1 + (1 + )22 2(1 + ) 22 = () = ()′ + ()′ = −+.(1 + )2(1 + )3В т. (0, 0): = 1, = − , 2 = −2 + 2 2 .
2 2̄ 2 ) при (, ) → (0, 0).++ o(В итоге, = + − −42 244″=Задача (МФТИ 2014-2015). Дана функция (, ) = ln √ + − . Найти (, ), 2 (, ). Представить̄ 2 ), где = √( − 1)2 + ( − 1)2 .(, ) формулой Тейлора в окрестности (1, 1) до o(11ln ( + − ) = ln (, ), где (, ) = + − .22(1+)+( − 1)11 = = ′ + ′ =,Тогда =2 2 + − Во-первых, заметим, что (, ) =1 ()2 1 2 += 2 = () = ()′ + ()′ =2 22 2 1 (1 + )2 2 + 2(1 + )( − 1) + ( − 1)2 2=−+.22( + − )2( + − )2 = −Искамая формула Тейлора: (, ) = ⏟(1,1) +⎵⏟⎵1)⏟+ (1,⏟⎵⏟⎵⏟ln 1=01 2̄ 2 ), где = − 1, = − 1, (1, 1) + o(⏟⎵2 ⎵⏟⎵⎵⏟1(−22 + )21̄ 2 ) при (, ) → (0, 0).то есть, (, ) = ( − 1) − ( − 1)2 + ( − 1)( − 1) + o(2Весна 2018 г.14NSNOITTRUCМатематический анализ 1 к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
