Конспект семинаров - Многомерный анализ, интегралы и ряды - Трошин (1238760)
Текст из файла
NSNOITTRUCTCURTSNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTМногомерный анализ, интегралыирядыOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCКонспекты семинаровАлексей ТрошинФАЛТ МФТИВерсия от 16 мая 2018 г.NSNOITTRUCTCURTSNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCRОглавление NDEUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCПредисловие .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22. Неопределенный интеграл, продолжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33. Пространство . Множества в нем .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96. Исследование дифференцируемости. Мера Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147. Определенный интеграл Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .198. Геометрические приложения определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259. Несобственные интегралы от знакопостоянных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3012. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3514. Функциональные ряды, продолжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .411NSNOITTRUCМатематический анализ 1 к. 2 с.TCURTSNOПредисловиеCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCПредисловиеДанное пособие — это первая и еще не завершенная попытка придать удобочитаемый вид конспектам моихсеминаров. Предназначено пособие, в первую очередь, тем, кто слушал эти семинары в течение учебногогода и либо не успел что-то записать, либо хочет уточнить отдельные моменты, либо готовится к письмен-ному экзамену.
Не следует преувеличивать ценность этих конспектов; они отражают всего лишь один измногих взглядов на курс семинаров по математическому анализу, к тому же, меняющийся со временем.Конспекты были набраны силами студентов, и я хочу искренне поблагодарить участников этой работы:Даниила Гагаринова, Михаила Иванова, Арину Ложкину, Ивана Максименко, Никиту Теслюка, АлександраХорина, Лилию Шокареву, Никиту Юшкова.
Также большое спасибо Глебу Панченко за организацию этогопроцесса. Я лишь редактировал тексты, которые мне присылали, и уточнял некоторые моменты, которыемне хотелось изложить чуть подробнее, чем это было сделано у доски.Работа оказалась весьма объемной.
На данный момент подготовлено 8 из 15 семинаров весеннего семестра.В будущем планируется продолжать верстку оставшихся конспектов и повышать качество уже набранногоматериала.Буду благодарен за любые замечания, рекомендации и пожелания по тексту. Также очень ценны ваши сообщения о найденных опечатках. Приглашаю писать на мой адрес ai-troshin@yandex.ru.Алексей ТрошинВесна 2018 г.2NSNOITTRUCМатематический анализ 1 к. 2 с.TCURTSNO2.
Неопределенный интеграл, продолжениеCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC2. Неопределенный интеграл, продолжениеИнтегрирование рациональных функцийПример. = ∫ 2 − 3 + 5.( − 1)( − 2)( + 3)⏟⎵⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⎵⏟()/()Раскладываем ()/() в сумму элементарных дробей:()=++−1 −2 +3()(∗).Стандартный (долгий) путь отыскания коэффициентов разложения — с помощью МНК:() = ( − 2)( + 3) + ( − 1)( + 3) + ( − 1)( − 2) = (+ + ) 2 + (+ 2 − 3) + (−6− 3 + 2) .⏟⎵⎵⏟⎵⎵⏟⏟⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⏟⏟⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⏟11 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞32 −3⎟ ⎜ ⎟ = ⎜−3⎟ ⟹ = − ,4⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−3 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 5 ⎠⎛1СЛАУ: ⎜ 1⎜⎝−61=Более быстрый путь1) : (∗) ⋅ ( − 1) и полагаем = 1 ∶(∗) ⋅ ( − 2) и полагаем = 2 ∶(∗) ⋅ ( + 3) и полагаем = −3 ∶Тогда = ∫ [ −Пример.
= ∫3,5=−3523.20 2 − 3 + 5 |3= ⟹ =|−1 ⋅ 4( − 2)( + 3) |=13 2 − 3 + 5 |= ⟹ =|1⋅5( − 1)( + 3) |=22323 2 − 3 + 5 ||= ⟹ ==20( − 1)( − 2) |=−3−4 ⋅ (−5)13123133233⋅+ ⋅+⋅ln | + 3| + .] = − ln | − 1| + ln | − 2| +4 − 1 5 − 2 20 + 345202 2 .− 6 + 1026 − 10=1+ 2.2 − 6 + 10 − 6 + 10Дискриминант 2 − 6 + 10 отрицательный ⟹ дальнейшее разложение на эл. дроби невозможно.Выделяем целую часть дроби:( 2 −6+10) = ∫ [1 +⏞⎴(2⎴⏞⎴− 6)⎴⏞+8 ∫ 2=] = + 3 ∫ 2− 6⎵⎵+⎵⏟10 ⎵−⎵⏟⎵6 ⎵+⎵⏟10⏟⎵⏟⎵⎵⎵⎵⏟⎵2 +1(−3)⎵(2 −6+10)′ =2−6ln( 2 −6+10)+⏟⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⏟⟹ выделяем6 − 102 ⎵−⎵⏟⎵6 ⎵+⎵⏟10⏟⎵в числителе 2−6arctg(−3)+= + 3 ln( 2 − 6 + 10) + 8 arctg( − 3) + .Пример.
= ∫2 + 2.(− 1)( + 1)2⏟⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⏟()/()()=.++ − 1 + 1 ( + 1)2()Коэффициенты и можно найти “быстрым” путем, — с помощью МНК:=2 + 2 |3|= ,( + 1)2 |=1 4∶(. . .) 2 + (. . .) + ( − − )13 3⟹ −− =2 ⟹ =−−2= + −2= .4 24( − 1)( + 1)2=2 + 2 |3|;= − 1 |=−1 −23111313131 = ∫[ ⋅+ ⋅− ⋅+ .] = ln | − 1| + ln | + 1| + ⋅24 − 1 4 + 1 2 ( + 1)442 +11) В общем случае, с помощью этого приема можно найти коэффициенты при старших степенях “линейных” элементарных дробей11 ,…, (см.
предыдущий семинар).Весна 2018 г.3NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к. 2 с.2. Неопределенный интеграл, продолжениеCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC.3 + 1Пример.
= ∫ + 11=+;= − 1 2 − + 13 + 1( + 1)( 2 − + 1)=11||= . 2 − + 1 |=−1 301( 23Найдем , 1) :− + 1) + ( + )( + 1)( + 1)( 2 − + 1)=1⏞⏞ 2 + (. . .) + ⏞⏞+⎴)+⎴)( 31⎴⏞( 31⎴⏞( + 1)( 2 − + 1)21⟹ =− , = .3311−21( 2 − + 1) 111 = ∫[ ⋅− ⋅ 2+ ∫=] = ln | + 1| − ∫23 +1 3 362− ⎵⏟+12 − + 1⏟⎵⎵⏟⎵( − 1 ) + 3213(2−1)−222 −+1=422 − 11111 2111arctg[arctg+.ln | +1|− ln( 2 − +1)+ ⋅( − )]+ = ln | +1|− ln(2 − +1)+362 √3236√3√3√3Интегрирование иррациональных функцийDef. Иррациональная функция — функция, полученная из рациональных функций и корней с помощьюконечного числа арифметических действий и композиций.33 + √+ 2— иррациональная функция.√ 4 − 7Основной метод интегрирования иррациональных функций — рационализация: поиск замены = (),Пример. () =5′ () .при которой ∫ ()⏟ = ∫ (())⏟⎵⎵⏟⎵⎵⏟ирр.рац.Обозначение: (1 , . .
. , ) — функция, рациональная относительно ∀ из переменных 1 , . . . , .∫ (, (I тип: + + 1) , ..., () ) , + + где1 , . . . , ∈ , − ≠ 0. + = , — общий знаменатель {1 , . . . , }. + Пример. = ∫.6√( − 7)7 ( − 5)5Сделать замену∫|1−5 − 5 61−57 6 − 56⋅√ = |инт-л вида ∫ (, (⟹ = 6,) ) ⟹ введем 6 =−7−7−7 −1( −7)(⎵−⎵⏟5)⏟⎵⎵⎵⏟⎵|выносим6|6 ⋅ 7 5 (6 − 1) − (7− 5) ⋅ 6 5−1251−125 = = 6 | = ∫ 76 −5=⋅⋅66227 −5( − 1)( − 1)( 6 − 1)2|( 6 −1 − 7)( 6 −1 − 5)=∫−125 66(7−5−7+ 7)(7 6 − 5 − 5 6 + 5)II тип:=∫−126 −56= −3 + = −3 √+ .−72 ⋅ 26∫ (, √ 2 + + ) , ≠ 0, 2 − 4 ≠ 0a) общий случай — подстановки Эйлера:2)1) √ 2 + + = ±√ ± , если > 02) √ 2 + + = ±√ ± √, если > 03) √ 2 + + = ± ( − 0 ), где 0 — какой-либо корень 2 + + = 0б) частный случай №1:∫ (, √ 2 − 1) — замены = ch , =1) Для11,=cos sin этого достаточно сгруппировать слагаемые только при старшей и младшей степенях .это — громоздкий путь решения.2) ОбычноВесна 2018 г.4NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к.
2 с.2. Неопределенный интеграл, продолжениеCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC∫ (, √ 2 + 1) — замены = sh , = tan ∫ (, √1 − 2 ) — замены = sin , = cos , = tanh в) частный случай №2:∫ () √ 2 + + =ищем представление= −1 () ⋅ √ 2 + + + ∫в виде√ 2 + + (∗)Поиск коэффициентов многочлена −1 () и ∈ — по МНК: ()(∗)2 + ′= −1() ⋅ √2 + + + −1 () ⋅+(¤)⟹√ 2 + + 2√ 2 + + √ 2 + + ′(¤) ⋅ √2 + + ⟹ () = −1() ⋅ ( 2 + + ) + −1 () ⋅ ( + ) + (#)2Приравниваем в (#) коэффициенты при соответствующих степенях и находим все коэффициенты.Пример.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
