Конспект семинаров - Многомерный анализ, интегралы и ряды - Трошин (1238760), страница 2
Текст из файла (страница 2)
= ∫ √ 2 + 1 способ №1 : подстановки Эйлера√ 2 + 1 = + ⟹ 2 + 1 = 2 + 2 + 2 ⟹ =⟹ = [ −1 − 21=−⟹22 2111− ] ; √ 2 + 1 = + =+ ;222 221111111212−2 = ∫ [ + ][ − 2 − ] = − ∫ [ 3 + + ] = − [ − 2 + 2 ln || + ] + = [(√ 2 + 1 − ) −2⎵⎵⎵2⎵⎵⏟⎵⎵244282⎵⎵⎵⎵⏟2⏟⎵− 41 ( 1 + )(+1)1(√ 2 + 1 − ) ] − ln(√ 2 + 1 − ) + .2122Замечание. Ответ можно упростить, заметив, чтоТогда =1√ 2 − 1 − =√ 2 + 1 + = √ 2 + 1 + .( 2 + 1) − 211112 + 1 + ) + = √ 2 + 1 +ln(√arsh + .⎵⏟⎵[ (√ 2 + 1 + )2 − (√ 2 + 1 − )2 ] + ⏟⎵⎵⎵⎵⎵⎵⏟8 ⏟⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⏟222arsh 4√2 +1⋅√ 2 + 1 = √sh2 + 1 = ch .способ №2: замена = sh ⟹ = ch ; = ∫ ⏟⎵⏟⎵⏟ch ⋅ ch = ∫понижаемстепеньch 2 + 11111 = sh 2 + + = sh ch + + = √ 2 + 1 + arsh + .2422222способ №3: МНК2 () = ∫ √ 2 + 1 = ∫2⏞⏞⎴+⎴⏞1√ 2 + 1 =⟹ √ 2 + 1 = √ 2 + 1 + ( + ) ⋅ищем представлениев виде22√ 2 + 1+1 ()⎴⏞⎴⏞= (⏞+)√ 2 + 1 + ∫√ 2 + 1| |⋅| || ⋅ √ 2 + 1|√ 2 + 1112 + 1) + ( + ) + ⟹ = , = 0, = .⟹ 2 + 1 = (⏟⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⏟222 2 ++(+)Таким образом, =1111 √ 2 + 1 + ∫= √ 2 + 1 + arsh + .2222√ 2 + 1Замечание.
Этот интеграл можно взять и по частям, положив = √ 2 + 1, = .Весна 2018 г.5NSNOITTRUCМатематический анализ 1 к. 2 с.TCURTSNO2. Неопределенный интеграл, продолжениеCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCIII тип:”Интеграл от дифференциального бинома” + ) , ∈ , , ∈ \{0}, , ∈ \{0}. = ∫ ⏟⎵ ⎵⋅⎵(⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⎵⏟дифф. биномСпособы рационализации:a) ∈ ⟹ замена = , где — общий знаменатель и .+1б)∈ ⟹ замена + = , где — знаменатель дроби .+1в)+ ∈ ⟹ замена + − = , где — знаменатель дроби .Th (Чебышёв).
Если ни одно из условий а), б), в) не выполнено, то не выражается через элем. функции.3Пример. = ∫4√1 + √√ = ∫ ⏞−1/2⏞⏞1 )1/3 .1 ⋅ 1/4 + ⏞(⏞1. ∉ 1+11/2== 2 ∈ ⟹ 4 + 1 = 3 ⟹ = ( 3 − 1)4 ⟹ = 4( 3 − 1)3 ⋅ 3 2 ;1/412 71Таким образом, = ∫ 3 ⋅ ⋅ 12 2 ⋅ ( 3 − 1)3C = 12 ∫( 6 − 3 ) = − 3 4 + =27( − 1)7412 44=( √ + 1) 3 − 3( √+ 1) 3 + .72.Интегрирование трансцендентных функцийDef. Трансцендентная функция — функция, которая не является ни рациональной, ни иррациональной(например, sin , cos , tg , arcsin , ln , exp , sh , .
. .).Некоторые приемы интегрированияI тип:∫ (sin , cos ) а) общий случай — универсальная тригонометрическая подстановка1) = tg .212 tg 22 sin 2 cos 2 || cos2 221 − 2⋅;аналогичноcos=;==sin =222 1| +12 + 1tg 2 + 1sin 2 + cos2 2 | cos2 22 .2 + 1Более оптимальные замены в частных случаях: = (2 arctg ) =б) если (− sin , cos ) = −(sin , cos ) ⟹ замена = cos в) если (sin , − cos ) = −(sin , cos ) ⟹ замена = sin г) если (− sin , − cos ) = (sin , cos ) ⟹ замена = tg Пример.
= ∫.4 − sin Подынтегральная функция не обладает симметриями а), б), в) ⟹ делаем унив. триг. подстановку: = tg 222 +12 2 +1 = sin = ===∫2 ( 2 + 1)(4 −2)2 +1=∫11== ∫= ∫151 2222 2 − + 22 − + 1( − ) +241624 tg − 114124⋅arctg[arctg+ .( − )] + =2 √154√15√15√151) Обычноэто — громоздкий путь решения.Весна 2018 г.6NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к. 2 с.2. Неопределенный интеграл, продолжениеCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC.2 cos2 + sin cos + sin2 Подынтегральная функция обладает симметрией вида (− sin , − cos ) = (sin , cos ) ⟹sin2 12делаем замену = tg ⟹ = arctg , =,==− 1 ⟹ получаем1 + 2cos2 cos2 12=∫= ∫ [(1 +) ⋅ ⋅=]=∫1 271 + 2 2 + + 2cos2 (1 + 2 tg + tg2 )( + ) +Пример.
= ∫242 tg + 121=arctg[arctg (( + )] + =) + .2√7√7√7√722II тип:∫ (sh , ch ) .а) общий случай — универсальная гиперболическая подстановка1) = th .221 + 22Аналогично преобразованиям триг. функций, sh =, ch =, =.21−1 − 21 − 2Более оптимальные замены в частных случаях:б) если (− sh , ch ) = −(sh , ch ) ⟹ замена = ch в) если (sh , − ch ) = −(sh , ch ) ⟹ замена = sh г) если (− sh , − ch ) = (sh , ch ) ⟹ замена = th Пример. = ∫ ch3 sh8 .Подынтегральная функция обладает симметрией вида (sh , − ch ) = −(sh , ch ) ⟹делаем замену = sh , предварительно преобразовав функцию: = ∫ ch2 sh8 sh = ∫(sh2 + 1) sh8 sh = ∫( 10 + 8 ) =Пример. = ∫ 11 9sh11 sh9 + + =++ .1191194 ch − 3 sh .2 ch − sh Здесь (− sh , − ch ) = (sh , ch ) ⟹ замена = th , = arth , ==∫4 − 3 th 4 − 3 = ∫⋅;2 − th 2 − 1 − 2Раскладываем дробь в сумму элементарных:=⟹1 − 24 − 3 |2|= ,1 − 2 |=2 3=4 − 3=++;2− 1− 1+(2 − )(1 − )(1 + )14 − 3||= ,(2 − )(1 + ) |=1 2=74 − 3||= .(2 − )(1 − ) |=−1 6217217 = − ln |2 − | − ln |1 − | + ln |1 + | + = − ln |2 − th | − ln |1 − th | + ln |1 + th | + .326326Дополнительные примеры на оставшееся время семинара.2)Пример.
∫arcsin (1 − 2 )√1 − 2 = sin =по частям: = , cos == ⋅tg − ∫ tg = = cos = ∫3cos = / cos2 ⏟⎵⏟⎵⏟2√1 − = cos − ln | cos |+cos⎵⏟⎵arcsin|+ == ⋅ tg + ln | cos | + = arcsin ⋅ tgarcsin + ln | ⏟⎵⎵⏟⏟⎵⎵⏟⎵⎵⏟√1−2√1− 2 arcsin √1 − 21+ ln(1 − 2 ) + .21) Обычно2) Приэто — громоздкий путь решения.выкладках учитывается, что −1 < < 1.Весна 2018 г.7NSNOITTRUCМатематический анализ 1 к. 2 с.arcsin √NOITCURTNSNOITCURTNSNOITCURTNSNOITCURTNSNOITCURTNSNOITCURTNSNOITCURTNSNOITCURTNSNOITCURTNSNOITCПример. ∫√1 − =TCURTSNO2.
Неопределенный интеграл, продолжениеCREUND√ = =2=∫arcsin ⋅ 2 = 2 √1 − 2 = sin = = cos = ∫ ⋅ 2 sin ⋅ cos =cos TCURTSNO = arcsin √ +2√ + == || по частям || = −2 cos + 2 ∫ cos = −2 cos + 2 sin + = −2 arcsin √ ⋅ cosarcsin⏟⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⏟= −2 arcsin √ ⋅ √1 − + 2√ + .Пример.1) = ∫32CREUND−2 + 4 − 3 − 2.2 − + 2)( + 2) (2⏟⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⏟<0√1−TCURTSNOВыделяем целую часть и раскладываем подынтегральную дробь в сумму элементарных:CREUND7 2 − 3 + 2 + −23 + 4 2 − 3 − 2=−1+= −1 ++. + 2 22 − + 2( + 2)(2 2 − + 2)( + 2)(2 2 − + 2)⏟⎵⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⎵⏟=72 − 3 + 2 |36|== 3;2 2 − + 2 |=−2 12()REDUN27TCURTSNCO⏞3(2 2 − + 2) + ( + 2)( + )(6⏞+ ) 2 + (.
. .) + (⏞6⎴+⏞⎴2)() ==⟹ = 1, = −2 ⟹22( + 2)(2 − + 2)( + 2)(2 − + 2)−2⟹ = − + 3 ln | + 2| + ∫ 22 − + 2⏟⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⏟=∫−22 2 − + 2⏟⎵⎵⏟⎵⎵⏟ = ∫(2 2 −+2)′ =4−1⟹ выделяемв числителе 4−1REDUN(2 2 −+2)1(4 − 1) − 4742 2 − + 2 =⏞⎴1(4⎴⏞⎴− 1)⎴⏞ 7∫ 2− ∫ 2 =4 ⏟⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⏟2 − + 2 8−+1⏟⎵⎵⏟⎵2 ⎵⏟ln(2 2 −+2)+14174= ln(22 − + 2) − ⋅arctg[( − )] + ⟹48 √154√15⟹ = − + 3 ln | + 2| +1) ЭкзаменационнаяВесна 2018 г.TCURTSNCOREDUNTCURTSNCO(− 41 )74 − 11ln(2 2 − + 2) −arctg+ .4√152√15CREUNDCREUNDREDUN15+ 16TCURTSNOCREUNDработа МФТИ-81 (2007-2008 уч.
г.).2TCURTSNOTCURTSNOTCURTSNCO8CTNSNOITTRUCTCURTSNO3. Пространство . Множества в немМатематический анализ 1 к. 2 с.CREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC3.
Пространство . Множества в немПространство Def. Метрическое пространство — множество элементов (точек) =(1 , 2 , . . ., ) с заданным⏟⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⏟ ∈ — координатырасстоянием между ними:(, ) =√√√∑ ( − )2(евклидова метрика)√=1Свойства (, ):1. (, ) ⩾ 0 ; (, ) = 0 ⟺ = 2. (, ) = (, )3. ∀ ∈ ↪ (, ) ⩽ (, ) + (, )(неравенство △ )Замечание. можно рассматривать как метрическое пр-во при = 1; в нем (, ) = | − |.Def. В вводятся операции + ≝ (1 + 1 , ..., + ) и ≝ (1 , ..., ) , ∈ .1)Def. (Шаровая) -окрестность точки (0) : U ( (0) ) = { | (, (0) ) < }.Замечание.Аналогично можно ввести прямоугольную, квадратную и другиеокрестности.Def. Проколотая (шаровая) -окрестность точки (0) : Ů ( (0) ) = U ((0) ) ⧵ { (0) }.Def.
Последовательность { () } — отбражение → .2)() , (0) ) < .Def. lim () = (0) , если ∀ > 0 ∃ ∈ ∶ ∀ ⩾ ↪ (⏟⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⏟→∞ () ∈Ů ((0) )()(0)() , (0) ) = 0 ⟺ lim = , = 1, . . ., .Замечание. lim () = (0) ⟺ lim (⏟⎵⎵⏟⎵⎵⏟→∞→∞→∞⏟⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⏟числоваяпосл-тьпределы числовыхпосл-тейDef. lim () = ∞, если lim ( () , 0) = ∞.→∞→∞Задача. Доказать: lim ( () , 0) = ∞ ⟺ ∀ ∈ ↪ lim ( () , ) = ∞.→∞“⇒” пусть lim (→∞⟹ (()()→∞, 0) = ∞ ⟹ ∀ ∈ ↪ ((), ) + (, 0) ⩾ ( () , 0) ⟹нер-во ▵( () , 0), ) ⩾ ⏟⎵⎵⏟⎵⎵⏟ −⏟(,⎵⏟⎵0)⏟ ⟹ (↓ →∞∞()“⇐” пусть ∀ ∈ ↪ lim (→∞(), ) ⟶ ∞;‖const→∞, ) = ∞. Возьмем = 0 ∈ ⇒ lim ( () , 0) = ∞.→∞Def.
{ () } называется ограниченной, если числовая последовательность { ( () , 0) } ограничена.Th (Больцано-Вейерштрасса).Из ∀ ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.Th (Критерий Коши сходимости последовательности).{ () } сходится ⟺ ∀ > 0 ∃ ∈ ∶ ∀ ⩾ , ∀ ∈ ↪ ( () , (+) ) < .1) Относительно2) Каждомуних — линейное пространство.натуральному числу ставится в соответствие точка () ∈ .Весна 2018 г.9NSNOITTRUCTCURTSNO3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
