Конспект семинаров - Многомерный анализ, интегралы и ряды - Трошин (1238760), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Соответствующий интеграл ∫=1− =1 < 1, ∈ , = 1, ⩽ 1.− |+∞|сходится при > 0, расхо |1дится при < 0; по интегральному признаку сравнения ряд ведет себя так же. Осталось рассмотреть = 0:∞0 ⟶X0 ⟹ ∑ 0 расходится.→∞=1Th (Признак сравнения для знакопостоянных рядов).Пусть { } и { } знакопостоянны и = O( ) при → ∞.1)∞∞Тогда 1) ∑ сходится ⟹ ∑ сходится;=1∞=1∞2) ∑ расходится ⟹ ∑ расходится.=1=1Следствие. Пусть { } и { } знакопостоянны и ≍ (в частности, ∼ ) при → ∞.∞∞Тогда ∑ и ∑ сходятся либо расходятся одновременно.=1=1Примеры.
Исследовать на сходимость:∞11) ∑ arctg .=1∞2) ∑ sin=1arctg1.2sin11∼⟹ ряд расходится. →∞ 11∼⟹ ряд сходится.2 →∞ 2∞−3) ∑ √ − .2 ⋅√ − = ⏟√⎵⏟⎵⏟=1−2−2 ) ⟹ ряд сходится.= o(̄ ⏟ряд сх.↓0∞4) ∑ ( √ − 1).√ − 1 = exp (=11ln ln 1ln ) − 1 = 1 ++ ō(1 ∼⟹ ряд расходится.2))−⏟⏟⏟→∞ ⏟⎵⏟⎵⏟ ln−1 б.м. при →∞∞5) ∑ ln=1ch 1cos 1. = lnряд расх.сх., > 1/2,1 + 21 2 + o(̄ 12 )111̄o(∼=ln++⟹ряд{(1))222→∞ 1 − 21 2 + o(̄ 12 )расх., ⩽ 1/2.Th (Признак Даламбера сходимости знакопостоянного ряда).Пусть { } — знакопостоянная последовательность.∞Если ∃ ∈ (0, 1) и ∃ ∈ ∶ ∀ ⩾ ↪Если ∃ ∈ ∶ ∀ ⩾ ↪1) В+1⩽ , то ряд ∑ сходится.=1+1⩾ 1, ряд расходится.̄ ) при → ∞.частности, | | ⩽ | |, ∼ , ≍ , = o(∞2) Еще2пример: рассуждая так же, можно установить, что ∑ ( √ − 1) сходится.=1Весна 2018 г.37NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к.
2 с.12. Числовые рядыCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCСледствие (Признак Даламбера в предельной форме).Пусть { } — знакопостоянная последовательность, для которой ∃ lim→∞+1= ∈ .∞Если < 1, то ряд ∑ сходится. Если > 1, ряд расходится.1)=1Th (Признак Коши сходимости знакопостоянного ряда).Пусть { } — знакопостоянная последовательность.∞Если ∃ ∈ [0, 1) и ∃ ∈ ∶ ∀ ⩾ ↪ √| | ⩽ , то ряд ∑ сходится.=1Если ∃ ∈ ∶ ∀ ⩾ ↪ √| | ⩾ 1, ряд расходится.Следствие (Признак Коши в предельной форме).Пусть { } — знакопостоянная последовательность, для которой ∃ lim √| | = ∈ .→∞∞Если < 1, то ряд ∑ сходится. Если > 1, ряд расходится.2)=1Примеры.
Исследовать на сходимость:∞3.3=1+11 + 1 3 3=(⟹ ряд сходится по пр. Даламбера.) ⋅ +1 −−−→3⏟ →∞ 3⏟1) ∑↓1/31∞2) ∑! ch =1 √(2)!+1(2)!( + 1)! ch ( + 1)⋅=⋅⟹ ряд расх. по пр. Даламбера.3)−−−→!⎵⏟ ⏟⎵⎵⏟⎵ch ⎵⏟ √⏟⎵⏟(2+2)!→∞ 2⏟⎵⎵⏟⎵⎵⏟.∼+1−1√(2+1)(2+2)∞3) ∑ (=1 ) , > 0.+2√ =→ 12−−−→ ⟹ ряд сх. при ∈ (0, 1) и расх. при > 1 по пр. Коши. + 2 →∞22 2 ) = (1 −) = ln (1− +2 ) ∼ − +2 −−−→ −2 ≠ 0 ⟹ ряд расходится+2+2→∞→∞(не выполняется необходимое условие).Если = 1, то = (∞1 4) ∑ ( arcsin ) .=1√ = arcsin111111= ( + 3 + ō( 3 )) = 1 ++ ō( 2 ) > 1 ⟹ ряд расходится 662⎵⎵⏟⎵⎵⏟⎵⎵⏟>0 нач.
с некот. по пр. Коши (в базовой, а не предельной форме).Знакопеременные ряды∞∞Def. Ряд ∑ называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд ∑ | |.=1=1∞Th. Если ряд ∑ абсолютно сходится, то он сходится.4)=11) Если∞ = 1, то ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, для ряда ∑=1 = 1, см. предыдущую сноску.3) Напомним, что ch ∼ /2 при → +∞.4) Обратное, вообще говоря, неверно.2) еслиВесна 2018 г.1этот предел равен 1 независимо от .38NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к. 2 с.12.
Числовые рядыCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC∞Доказательство. Построим условие Коши для ∑ :=1++||∑ | | < .∀ > 0 ∃ ∈ ∶ ∀ ⩾ , ∀ ∈ ↪ || ∑ || ⩽нер-во ▵ =+1=+1⏟⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⏟т.к. ряд абс. сх.∞∞Def. Ряд ∑ называется условно сходящимся, если ∑ сходится, но не абсолютно сходится.=1=1∞Def. Ряд вида ∑ (−1)−1 = 1 − 2 + 3 − 4 + .
. . , где { } — знакопостоянная последовательность,=1называется знакочередующимся рядом.Th (Признак Лейбница).∞Если последовательность { } — б.м. и { } ↓, то ряд = ∑ (−1)−1 сходится, причем | − | ⩽ +1 .=1Th (Признак Дирихле).Если последовательность { } такова, что { } = { ∑ } ограниченная, { } монотонная и ⟶ 0, то ряд→∞=1∞∑ сходится.1)=1Th (Признак Абеля).∞∞Если ∑ сходится, последовательность { } монотонная и ограниченная, то ∑ сходится.=1=1Th (Метод выделения главной части).∞∞∞Пусть { } = {̃ + }, причем ряд ∑ абсолютно сходится. Тогда ряды ∑ и ∑ ̃ одновременно либо=1=1=1сходятся абсолютно, либо сходятся условно, либо расходятся.Примеры.∞−1(−1)=11) = ∑— исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ∀ ∈ .1−−−→ 0 при > 0 →∞• Сходимость: {1{ } ↓ при > 0• Абсолютная сходимость:∞−1| (−1)∑ ||=1∞1||= ∑ ∶|=1• Если ⩽ 0, то{⟹ ряд сходится при > 0 по признаку Лейбница.сходится при > 1 ⟹ сходится абсолютно при > 1;расходится при ⩽ 1 ⟹ сходится условно при ∈ (0, 1].(−1)−1⟶X0 ⟹ расходится.→∞⎧ > 1 ⟹ абсолютно сходится,⎪Вывод: ∈ (0, 1] ⟹ условно сходится,⎨⎪⎩ ⩽ 0 ⟹ расходится.∞sin — исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ∀ ∈ .=12) = ∑1) ПризнакЛейбница — частный случай признака Дирихле.Весна 2018 г.39NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к.
2 с.12. Числовые рядыCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC• Сходимость. Применим признак Дирихле.Покажем, что ̃ = ∑ sin – ограниченная последовательность:=1| ⋅ sin 21 | sin 21 ⋅ sin 1 + . . . + sin 21 ⋅ sin ||=̃ = sin 1 + .
. . + sin = |= | sin ⋅ sin =| ⋅ sin 1 ||sin 2121335−1(((coscoscos(cos) +) −) +...+) − cos ( + 21 )cos ( − ) − cos ( + ) | cos (− 2 ) − 2222|===2|2 sin 21cos 21 − cos ( + 21 )=2 sin 21Последовательность⟹ |̃ | ⩽2 = 1 — ограниченная.2 sin 21 sin 211⟶ 0 при > 0 и монотонная ⟹ сходится при > 0. →∞• Абсолютная сходимость :1| sin || | ⩽ ⟹ абсолютно сходится при > 1.| | 21cos 21 − cos 2 || sin | sin | 2| |⩾| sin =|==−⟹ не абс. сх.
при ∈ (0, 1].⏟| |222⏟⏟⎵⏟⎵||ряд расх.при ⩽1• Если ⩽ 0, торяд сх. попр. Дирихлепри >0sin ⟶X0 ⟹ расходится.1) →∞⎧ > 1 ⟹ абсолютно сходится,⎪Вывод: ∈ (0, 1] ⟹ условно сходится,⎨⎪⎩ ⩽ 0 ⟹ расходится.∞3) = ∑ sin(√2 + 1) — исследовать на сходимость и абсолютную сходимость.⏟⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⏟=11111+ ( 3 )) =) = sin ((1 + 2 + ( 4 ))) = sin ( +21/2211 = (−1) sin(+ ( 3 )) = (−1)+ ( 3 ) ⟹ сходится по МВГЧ.22⏟⎵⏟⎵⏟⏟⎵⏟⎵⏟• = sin (√1+ряд cх. попр. Лейбница• | | ∼→∞ 2ряд абс.сх.⟹ не абс.
сходится.Вывод: сходится условно.∞4) = ∑cos − cos√⎵⏟⎵=1 ⏟⎵⎵⏟— исследовать на сходимость и абсолютную сходимость.Заметим, что последовательность 1/(√ − cos ) не является монотонной. Следовательно, признак Дирихлеприменять нельзя. Остается метод выделения главной части:• =cos =cos (1 −cos −1)√ − cos √√cos2 cos 1cos +=+( 3/2 ) =⎵⏟⏟⎵⏟√√⏟понижаемстепень1) Еслибы ряд сходился, тоВесна 2018 г.1+ ( )) =√√1cos 21+++ ( 3/2 ) ⟹ расходится.2⏟⏟⎵2⏟⎵⏟ ⏟⎵⏟⎵⏟=ряд сх. попр. Дирихлеcos рядрасх.⋅ (1 +cos ряд сх. попр.
Дирихлеряд абс. сх.sin ⋅ ⟶ 0 ⟹ sin ⟶ 0, что неверно.→∞→∞40NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к. 2 с.14. Функциональные ряды, продолжениеCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC14.
Функциональные ряды, продолжение∞Пример. Исследовать на сходимость и РС1) ∑=1 2 2sin4 ⎵+⎵⏟⎵4 ⎵⎵⏟⏟⎵на 1 = (0, 1), 2 = (1, +∞).ᵆ () 2 2• Сходимость: ∀ ∈ 1 ∪ 2 ↪ () =4 4⎵⏟+⎵⏟⏟sin⏟⟹ ряд сх. по признаку Дирихле.огр.→0 при →∞ имеетпослед-тьи монотонна частич.сумм<1⏞2 2 | 21| |⩽• РС на 1 : || 4sin= 2 | 4⏟ +4 ⏟⏟|. . .|⩽1>0⟹ по признаку Вейерштрасса ряд РС на 1 .числ.ряд сх.• РС на 2 : ∃{ } = {} ∶ ( ) =41sin 1 = sin 1 ⟶X0 ⟹ () Y⇉ 0 ⟹ ряд не РС на 2 .224→∞∈2∞1|tgна 1 = (0, 1), 2 = (1, +∞) ⧵ { √( + ) || ∈ , ∈ }.+2√=1 ⏟⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⏟Пример. Исследовать ∑ᵆ ()• Сходимость: ∀ ∈ 1 ∪ 2 ↪ () =11 1∼ ⋅≍⟹ ряд сходится.tg + √ →∞ √ →∞ 3/2<11⏞ | 11| 1| ⩽ tg• РС на 1 : ||∼ 3/2 ⟹ по признаку Вейерштрасса ряд РС на 1 .tg|+ ⏟ √ →∞ ⏟√числ.ряд сх.>0• РС на 2 : воспользуемся “плохим поведением” = tg вблизи = /2: 1 1111∼1 ⟶X0 ⟹∃{ } = {√( − )} ∶ ( ) =tg =tg( − ) =1 →∞ →∞2 + √ + ⏟⎵⎵⏟⎵2 ⎵⏟( + ⏟ ) tg⏟11ctg=√ ∼1/∼⎵⏟2⏟⎵⏟tg(1/)⟹ () Y⇉ 0 ⟹ ряд не РС на 2 .̄o()∈2∞Пример.
Доказать, что ряд ∑=1sin sin 3√+РС на = [0, +∞).∞• Установим равномерную ограниченность частичных сумм ряда ∑ sin sin на множестве :=1==1̃ = ∑ sin sin =1[ cos 021∑ [cos( − 1) − cos( + 1)] =2 =1+−cos2cos 1cos2+−cos3cos3...+−cos4...(((cos((−2)(+−cos5...(cos(((−(1)(...− cos +− cos (+1) ] =1= [1 + cos − cos − cos( + 1)] ∈ [−1, 2] ∀ ∈ , ∀ ∈ .211| 1 |• Последовательность () =монотонна и РС к нулю: ||⟶ 0.| ⩽ 333√ + √ + | ∈ √ →∞Вывод: по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости ряд РС на .1) Здесьи далее РС — в зависимости от контекста “равномерная сходимость” либо “равномерно сходится”.Весна 2018 г.41NSNOITTRUCNSМатематический анализ 1 к.
2 с.TCURTSNO14. Функциональные ряды, продолжениеCREUND∞∞Пример. Доказать: если ∑ | ()| РС на , а (): ∀ ∈ ↪ | ()| ⩽ | ()|, то ∑ () сходится на NOITTRUC=1абсолютно и равномерно.∞Доказательство. ∑ | ()| РС на ⟹=1TCURTSNO+∀ > 0 ∃ ∶ ∀ ⩾ , ∀ ∈ , ∀ ∈ ↪ ∑ | ()| < .CREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCусловиеКоши=1=+1∞+| +|Но: | ∑ | ()|| ⩽ ∑ | ()| < ⟹ ∑ | ()| РС на ⟹ ∀ ∈ ряд сходится абсолютно.| =+1|=+1=1Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядовСвойства непрерывностиTh.
Если ∀ ∈ ↪ () непрерывны на [, ] и () ⇉ (), то () непрерывна на [, ].∈[,]Замечание. Если последовательность непрерывных функций () сходится к () на [, ] неравномерно,то () может быть разрывной на [, ].0, < 1Например, функции () = непрерывны на [0, 1], но () ⟶ () = {(разрывна на [0, 1]).→∞1, = 1∞∞Th. Если ∀ ∈ ↪ () непрерывны на [, ] и ∑ () РС на [, ], то сумма ряда () = ∑ ()=1=1непрерывна на [, ].Свойства почленного интегрированияTh.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
