Конспект семинаров - Многомерный анализ, интегралы и ряды - Трошин (1238760), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Если ∀ ∈ ↪ () непрерывны на [, ] и () ⇉ (), то∈[,]∀0 ∈ [, ] ↪ ∫ () ⇉ ∫ () .1)∈[,]00∞Th. Если ∀ ∈ ↪ () непрерывны на [, ] и ∑ () РС на [, ], то∞=1∞ ∞∀0 ∈ [, ] ↪ ∑ ∫ () РС на [, ], причем ∑ ∫ () = ∫ ∑ () .2)=1 0=1 00 =1Свойства почленного дифференцирования () ⇉ ();∀ ∈ ↪ () непрер. дифф. на [, ];Th. Если∃0 ∈ [, ] ∶ { (0 )} сходится;∈[,]то{′ ()} РС на [, ];′ () ⇉ ′ ().3)∈[,]∞∀ ∈ ↪ () непрер.

дифф. на [, ];() = ∑ () РС на [, ];∞Th. Если∃0 ∈ [, ] ∶ ∑ (0 ) сходится;=1∞∑′ ()РС на [, ];() непрер. дифф. на [, ];=1то() непрер. дифф. на [, ];∞ ′ () = ∑ ′ ().4)=1=11) Говорят,что в этом случае последовательность можно почленно интегрировать.есть, ряд можно почленно интегрировать.3) То есть, последовательность можно почленно дифференцировать.4) То есть, ряд можно почленно дифференцировать.2) ТоВесна 2018 г.42NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к. 2 с.14. Функциональные ряды, продолжениеCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC∞sin непрерывна на = [, 2 − ], где ∈ (0, ).=1Пример.

Доказать, что сумма ряда () = ∑С помощью признака Дирихле покажем, что ряд РС на .• Установим равномерную ограниченность ̃ () = ∑ sin на :=1sin sin(/2)sin + sin 2 + . . . + sin =⋅ sin(/2)1) =sin(/2)sin(/2)=1∑ sin = ∑=1=1(2−1)(2+1)335cos−cos[cos − cos + cos − cos +. . .+]=2 2 2 2222 sin(/2)|. . .|⩽1|. . .|⩽1⏞⎴⏞⎴⏞ ⏞⎴⎴⎴⏞⎴⎴⎴⏞cos(/2)− cos( + /2)21=⟹ |̃ ()| ⩽⩽— равномерно ограничена на ;2 sin(/2)2 sin(/2) sin(/2)11• Последовательность { } монотонна и ⇉ 0. ∈Итак, ряд РС на . При этом общий член ряда непрерывен на ⟹ сумма ряда непрерывна на .∞Пример. Доказать, что ряд () = ∑ (( + 1)−(+1) − − ) сходится на = [0, 1] неравномерно, но=1его сумма непрерывна на .Заметим, что общий член ряда можно записать в виде () = +1 () − (), где () = − .• Установим непрерывность суммы:−(+1)− − ⟶ −− = (); () = (S2 − 1 ) + (S3 − S2 ) + .

. . + (+1 − @ ) = +1 − 1 = ( + 1)@→∞видно, что () — непрерывная на функция, т. к. является элементарной.• Покажем, что ряд сходится к своей сумме неравномерно, т. е., что () − () Y⇉ 0:∈( )∃{ } =⏞⎴⎴⎴⎴⏞⎴⎴⎴⎴⏞11∶ ( ) − ( ) = ⏟−1 − (−1/(+1)⏟⎵⏟⎵⏟) ⟶ −1 ≠ 0.+1+1→∞⏟ ( )↓↓0Пример. Доказать: посл-ть () =• Сходимость: ∀ ∈ ↪ () =1arctg РС на , но ′ (1) ≠ lim ′ (1), где () = lim ().→∞→∞1arctg ⟶ 0 = (). ⏟⎵⏟⎵⏟ →∞⏟б. м. огранич.• РС на :| () − ()⏟| ⩽0 1⋅2 ⏟⟶ 0 ⟹ () ⇉ 0.→∞∈не зав. от • В точке = 1:• производная предельной функции: ′ (1) = 0;lim ′ (1) = lim [• однако →∞→∞−1111 ⋅ 2 || ] = lim= ≠ 0. 2)|1+121+→∞=1что sin ⋅ sin = 12 (cos( − ) − cos( + )).′ ()} не является равномерно сходящейся.в том, что последовательность {1) Напомним,2) ДелоВесна 2018 г.43NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к.

2 с.14. Функциональные ряды, продолжениеCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCСтепенные ряды∞Def. Функциональный ряд вида ∑ ( − 0 ) называется степенным рядом1) , а ∈ — его коэффици=0ентами.∞Замечание. Заменой = − 0 степенной ряд приводится к виду ∑ .2)=0∞Th (Абеля). Если ряд ∑ сходится при = 0 , то ∀ ∶ || < |0 | этот ряд сходится абсолютно.=0Доказательство.∞∞∞Запишем ∑ как ∑ ( 0 ⋅=0=0); ряд ∑ 0 сходится ⟹ 0 ⟶ 0 ⟹0→∞=0∞ ||⟹ ∃ ∈ ∶ ∀ ∈ ↪ | 0 | < ⟹ || 0 ⋅ || < — ряд сходится ⟹ ряд ∑ сх. абсолютно.0⏟0=0геом.прогр.∞Следствие.

Если ∑ расходится при = 0 , то ∀ ∶ || > |0 | этот ряд также расходится.3)=0∞Def. ∈ [0, +∞) ∪ {+∞} называется радиусом сходимости ряда ∑ , если ряд сходится ∀ ∶ || < и=0расходится ∀ ∶ || > .∞Th. У любого ряда вида ∑ есть радиус сходимости такой, что ряд абсолютно сходится на (−, ) и=0РС на [− + , − ], где ∈ (0, ).Примеры. Найти радиус сходимости ряда.∞! +1⋅ =. Признак Даламбера при ⩾ 0: +1 =⟶ 0 ⟹ = +∞.! + 1 →∞( + 1)! =01. ∑∞2.

∑ ! . Признак Даламбера при > 0:=0∞3. ∑ . Признак Даламбера при > 0:=0+1( + 1)! +1== ( + 1) ⟶ ∞ ⟹ = 0.4)! →∞ ∈ [0, 1) — ряд сходится+1= ⟹ { > 1 — ряд расходится⟹ = 1.1||||Замечание. В общем случае, если ∃ lim || +1 || = lim || +1 || = ||, то ряд сходится при || < и расхо→∞ →∞ 11дится при || >⟹ = .1и расходится приАналогично по признаку Коши: если ∃ lim √| | = ||, то ряд сходится при || <→∞11|| >⟹ = .11||= lim √| |, если эти пределы существуют.Th. = lim || +1 || или →∞ →∞1Th (формула Коши-Адамара). = lim √| |.

→∞Напоминание. lim — верхний предел последовательности, т. е., sup , где — множество ее частичных→∞пределов. Например, lim (−1) = 1.→∞1) Обратитевнимание, что суммирование начинается с = 0.основном, мы будем рассматривать именно такие — “центрированные” — степенные ряды.3) В противном случае сошелся бы ряд ∑∞ .=0 03) Условие знакопостоянства ряда.4) Вообще, ∀ степенной ряд ∑∞ сходится при = 0.=0 2) ВВесна 2018 г.44NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к. 2 с.14.

Функциональные ряды, продолжениеCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCПримеры. Найти радиус сходимости ряда.∞!. −1 = lim= 0 ⟹ = +∞.!→∞ ( + 1)!=01. ∑∞1= 1 ⟹ = 1.→∞ 12.

∑ . −1 = lim=0∞( − 1). Найти интервал сходимости , исследовать характер сходимости ряда в гран. точках .=03. ∑∞;=0Сделаем замену = − 1, тогда = ∑ = lim () = 1 ⟹ ∀ ∈ ↪ = 1.→∞ ( + 1)→∞ + 1−1 = limИнтервал сходимости: ∈ (−1, 1) ⟺ ∈ (0, 2).1)Граничные точки:⎧сходится абсолютно при > 1,⎪сходится условно при ∈ (0, 1],⎨⎪⎩расходится при ⩽ 0;∞(−1)=0∶ = ∑=0∞1=0=2∶ = ∑{сходится абсолютно при > 1,расходится при ⩽ 1.∞4. ∑ 3 (3 + 2)( − 1)2 .=03+1 (( + 1)3 + 2)1=3 ⟹ = .333 ( + 2)→∞В данном случае ошибочным было бы рассуждение: −1 = limДело в том, что = {3/2 ((/2)3 + 2), — четное,0, — нечетное,откуда по формуле Коши-Адамара −1 = lim √| | = lim √3/2 ((/2)3 + 2) = √3 ⟹ =→∞→∞1√3.5. Степенные ряды можно рассматривать в множестве комплексных чисел .∞Найдем радиус сходимости ∑=0(2 + √5)(3 − √7)2( − )3 .∞3Сделаем замену = ( − ) , тогда = ∑=0(2 + √5)2 ;(3 − √7)√2)√√| (2 + √5) || (2 + √5) | = lim √9 = 3 ⟹ −1 = 3 3 ⟹ = 3 16 .|| = lim ||√3√ 16|| →∞| (3 − √7)2 | →∞ 1616→∞√ (3 − √7)2−1 = lim1) Приэтом ряд абсолютно сходится ∀ ∈ (0, 2) и РС на ∀ отрезке [, ] ⊂ (0, 2).что | + | = √2 + 2 .2) Напомним,Весна 2018 г.45.

Характеристики

Список файлов семинаров