Конспект семинаров - Многомерный анализ, интегралы и ряды - Трошин (1238760), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Величины = ∑ Δ и = ∑ Δ называются, соответственно, верхней=1=1и нижней суммами Дарбу функции ().Th (Критерий Римана интегрируемости функции).Пусть () ограничена на [, ]. () ∈ [, ] ⟺ ∀ > 0 ∃ ∶ − < .Пусть () как-либо определена в точке = . Обозначим = sup |()|. Возьмем произвольное > 0. Для него[,], − }. По условию ∈ [ + , ] ⟹ ∃ разби4ение отрезка [+, ] ∶ − < .
Построим разбиение 0 от2резка [, ], полученное из добавлением одной точки = :∃ = min {0 = {} ∪ . Обозначим 0 =inf (), 0 =[,+]sup ().[,+]Тогда 0 = + 0 , 0 = + 0 ⟹⎵⏟−⎵⏟ + (0 − 0 = ⏟ < ⟹ () ∈ [, ].0−0) ⏟⏟⎵⎵⏟⎵⎵⏟2⩽24Утверждение о пределе интеграла следует из непрерывности() = ∫ () в точке = справа2) .1) Последний переход — стремление к значению определенного интеграла — обоснован тем, что по условию задачи ()2) См.∈ [, ].свойство 9 определенного интеграла.Весна 2018 г.24NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к.
2 с.8. Геометрические приложения определенного интегралаCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC8. Геометрические приложения определенного интеграла1) Площади фигур• Пусть () ⩾ 0 непрерывна на [, ], тогда = ∫ () есть площадь фигуры, ограниченной осью , прямыми = , = и графиком ().• Пусть () и () непрерывны на [, ] и () ⩾ (), тогда = ∫ (() − ()) есть площадь фигуры, ограниченной прямыми = , = и графиками (), ().• Пусть () ⩾ 0 непрерывна на [1 , 2 ] и 0 < 2 − 1 ⩽ 2, тогда площадьфигуры в полярных координатах2=1∫2 2 () .1)1• Пусть функции = () и = () непрерывны на [1 , 2 ].22Если () ↑ [1 , 2 ], то 1 = ∫ () () = ∫ () ′ () .1122Если () ↑ [1 , 2 ], то 2 = ∫ ()() = ∫ () ′ () .11Замечание. Все задачи на геометрические приложения следует сопровождать рисунками.Пример.
Найти площадь фигуры, огр. кривыми в поляр. координатах: = 2 cos ,sin =,cos2 = 0.⟹ 2 + 2 =√ 2 + 22 ⟹ ( − )2 + 2 = 2 — окружность с центром (, 0) и радиусом .Вид первой кривой: В ДПСК √ 2 + 2 = 2Вторая кривая: √ 2 + 2 = 2 + 22⟹ =— парабола.2√ 2 + 2 44 1 − cos2 sin 21 42 = ∫ ((2 cos )2 − ( 2 ) ) =) =(4 ∫ cos2 − ∫2 02cos4 cos 004 1 + cos 244221 42 2∫=+ − ∫=⋅+4⋅−+1)=(4( + ),(4 ∫)22284 32 2 3cos4 cos2 000где использовано: = ∫0411 = tg , = arctg (1 + 2 )2 3 1 42∫∫==(1+)=+=[] = .423 0 31+cos = /(1 + 2 )001) ВозникаетВесна 2018 г.как предел интегральных сумм =1 2∑ ( )∆ .2 =125NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к. 2 с.8. Геометрические приложения определенного интегралаCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC2) Длины кривыхПусть = {() | ∈ [, ]} — спрямляемая кривая, () — ее переменная длина дуги.Тогда= |′ ()| = √′2 + ′2 + ′2 .
Отсюда:• Полная длина дуги: = () − () = ∫ = ∫ √′2 + ′2 + ′2 .• Для кривой на плоскости: = ∫ √(′ )2 + (′ )2 .2• Для явно заданной кривой = (): = ∫′2√1 + ( ()) .1• Для кривой () в полярных координатах:{ = () cos ⟹ { = () sin ′ = ′ () cos − () sin ′ = ′ () sin + () cos 2⟹ ′2 + ′2 = ′2 + 2 ⟹ = ∫√′2 () + 2 ().1Пример. Найти длину кардиоиды () = (1 − cos ), где > 0.Заметим: ′ () = sin .22=∫√′2 + 2 = ∫0022√2 sin + 2 (1 − 2 cos + cos2 ) =1 − cos = √2 ∫=22002 2= 2 ∫ sin = 2[−2 cos ] = 2(2 + 2) = 8.22 002√2 − 2 cos = sin2= ∫√2 sin2 =23) Объемы и площади тел вращения• Вокруг оси : = ∫ 2 () .1)бок = ∫ 2(()) = ∫ 2(())0 = | → | =⏟′2′2√ += ∫ 2()√1 + ′2 () , где — длина дуги.Пример. = √,521⩽⩽.4421/421/4 2 = ∫=∫—? = 5/45/4бок — ? 2 |21/4|=(212 − 52 ).|2 5/43221/421/421/41 = ∫ √4+1 =бок = ∫ 2 √1 + ′2 = 2 ∫ √ ⋅ √1+45/45/4=4 + 1 = , = /45/422=22 2∫ √ = ⋅ 3/2 || = (223/2 − 63/2 ).4 64 3661) ВозникаетВесна 2018 г.как предел интегральных сумм =1 ∑ 2 ( )∆ .2 =126NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к.
2 с.8. Геометрические приложения определенного интегралаCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC• Вокруг оси : = ∫ 2() .1) = | → | = ∫ 2 √1 + ′2 () ,⏟бок = ∫ 2() = ∫ 2()0′2′2√ +где — длина дуги.Примеры.1) = sin , 2 ⩽ ⩽ 3.3—?(вращение вокруг оси )33 = ∫ 2 sin = −2 ∫ cos = −2( cos ||2223− ∫ cos ) =23= −2(−3 − 2 − sin || ) = 10 2 .22) = ch , 0 ⩽ ⩽ 1.бок — ?(вращение вокруг оси )111бок = ∫ 2 √1 + ′2 () = ∫ 2 ch = 2 ∫ sh =001101= 2( sh || − ∫ sh ) = 2(sh 1 − ch || ) = 2( sh 1 − ch 1 + 1).000Криволинейные интегралы• Криволинейный интеграл I родаDef.
Пусть = {((), (), ()) | ⩽ ⩽ } — спрямляемая кривая, — еедлина. Криволинейный интеграл I рода от функции (, , ) по :def′2′2′2∫ (, , ) = ∫ ((),(),⎵()(),⎵()⏟⎵⎵⎵⏟⎵⎵⏟) = ∫ ((),⏟⎵⎵⎵⏟⎵⎵⏟)√ + + .0натуральноепредставлениекривойпроизвольнаяпараметризациякривойЗамечание.
Криволинейный интеграл I рода не зависит от ориентации .Пусть = ∫ (, , ) , = ∫ (, , ) . Тогда0 = ∫ ((−), (−), (−)) = | = − | = ∫ ((), (), ()) (−) = ∫ ((), (), ()) = .00Замечание. Криволинейный интеграл I рода имеет физический смысл массыкривой с линейным распределением плотности (, , ).Пример. Найти = ∫ ⏟(⎵⏟+⎵)⏟ . Кривая Γ — треугольник, изображенныйΓна рисунке. Представим как 1 + 2 + 3 , тогда1 =1= 2 |1 1∫ √⎵⏟⎵=12 +⎵⏟02 = || = ;=0⏟⎵2 0 200⩽⩽1′2′2⋅√ +1) Возникает2 =1 =1−∫(1 − + ) √12 + 12 = √2 ⋅ 1;==00⩽⩽1как предел интегральных сумм = ∑ 2 ( ) ∆ .=1Весна 2018 г.27NSNOITTRUCМатематический анализ 1 к.
2 с.TCURTSNO8. Геометрические приложения определенного интегралаCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC1=0 2 |1 13 = = 1 − = ∫ (1 − ) √02 + 12 = ( − )|| = .2 0 200⩽⩽1В итоге, = 1 + 2 + 3 = 1 + √2.• Криволинейный интеграл II родаDef.
Пусть = {((), (), ()) | ⩽ ⩽ } — спрямляемая кривая, — ее длина. Криволинейныйинтеграл II рода от вектор-функции (, , ) по :def∫ (, ) = ∫ (, ) , 1)— единичный касательный вектор.Обозначение. Пусть , , — базисные векторы ДПСК. Пусть = + + .где =Тогда ∫ (, ) еще обозначают как ∫ (, , ) + (, , ) + (, , ) .Замечание. Криволинейный интеграл II рода меняет знак при смене ориентации :∫ (, ) = ∫ (, ) = ∫ (, −) = − ∫ (, ).Замечание.
Выражение для произвольной параметризации = {((), (), ()) | ⩽ ⩽ } ∶ = ∫ (, ) = ∫ (, ) = ∫ (,++ ) ,⏟ = ∫ (,) ) = ∫ ( ⏟ =++.Замечание. Криволинейный интеграл II рода имеет физический смысл работы внешней силы по перегде = + + ,мещению единичной массы из в .Пример. (С3 §10 №21) Найти = ∫ − , где Γ — этоа) отрезок , (0, 0), (1, 2),Γб) дуга параболы : = 2 2 ,в) ломаная , где (1, 0), в направлении от к .а) =1= = 2 = ∫ (2 − 2) = 0;00⩽⩽1б) =1=2 |1 2 = 2 2 = ∫ ( ⋅ 4 − 2 2 ) = 3 || = ,3 0 300⩽⩽1в) 1 =1=∫0 = 0,==000⩽⩽11) ОпределениеВесна 2018 г.2 =2=1∫(1 − 0) = 2 ⟹ = 1 + 2 = 2.==00⩽⩽2через криволинейный интеграл I рода.28NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к.
2 с.8. Геометрические приложения определенного интегралаCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCДополнительная задача. (С3 §10 №9) Найти криволинейный интегралI рода4/3 + 4/3 ) , = ∫ (⏟⎵⎵⏟⎵⎵⏟кривая Γ — астроида 2/3 + 2/3 = 2/3 , > 0.(,)ΓОбратим внимание на симметрию подынтегральной функции (±, ±) =(, ). Сама астроида тоже обладает этой симметрией. Значит, = 41 ,где 1 — интеграл по I четверти координатной плоскости./2 = cos3 41 = = sin3 = 4 ∫ 4/3 (cos4 + sin4 )√92 cos4 sin2 + 92 sin4 cos2 =00 ⩽ ⩽ /2/2/2= 4 ⋅ 37/3 ∫ (cos4 + sin4 ) ⏟⎵cos⎵⏟sin = 127/3 ∫ ((1 − sin2 )2 + sin4 ) sin sin = = sin =⎵⎵⏟0⩾01= 127/3 ∫ (1 − 22 + 24 ) = 127/3 [0Весна 2018 г.01 1 12 4 6 1−+ ] = 127/3 ( − + ) = 47/3 .243 02 2 329NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к.
2 с.9. Несобственные интегралы от знакопостоянных функцийCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC9. Несобственные интегралы от знакопостоянных функцийВведение. Обобщение определенного интеграла РиманаDef. Пусть () определена на [, ), где ∈ ∪ {+∞}, и ∀ ∈ (, ) ↪ () ∈ [, ].Будем говорить, что () интегрируема в несобственном смысле на [, ) (или “∫ () сходится”),если ∃ lim ∫ () = ∈ . В этом случае будем писать: ∫ () = .→−0Если конечного предела нет, то будем говорить, что ∫ () расходится.Замечание.
Аналогично определяется ∫ () с особой точкой слева.Замечание. Пусть () определена на (, ), где ∈ ∪ {−∞}, ∈ ∪ {+∞}, > , и ∀, ∈ (, ) ∶ < ↪ () ∈ [, ]. Будем говорить, что ∫ () сходится, если сходятся оба интеграла⏟⎵⎵⏟⎵⎵⏟ос-ти в т. и ∫ () и ∫ () , где — некоторая точка (, ). ⎵⏟⎵⎵⏟⏟⎵⏟⎵⎵⏟⎵⎵⏟ос-ть в т. ос-ть в т. Замечание. Для несобственных интегралов обобщаются формулы Ньютона–Лейбница, интегрированияпо частям и замены переменной.−0 defНапример, ∫ () = ()||=lim () − ().→−0Пример.
Найти площадь под графиком функции =Заметим, что ⟶ +∞.1 √ln , ∈ (1, ].→1+011 ln |||∫= 2√ || = 2.=∫= || = ln || = ∫√+0 √ln1 ⎵⏟⎵1 √ln ⏟0⎵⏟⎵⏟⏟⎵⎵⏟ос-ть в 0ос-ть в 1В основном, мы будем не вычислять несобственные интегралы, а лишь исследовать их на сходимость. Ме-тоды исследования сходимости интегралов от знакопостоянных и знакопеременных функций различны,поэтому рассмотрим их отдельно.Интегралы от знакопостоянных функцийDef. Пусть ∫ () имеет особенность в т. . Будем говорить, что () знакопостоянна в окрестностиособенности, если ∃ ∈ (, ) ∶ ∀ ∈ (, ) ↪ () ≥ 0 либо ∀ ∈ (, ) ↪ () ≤ 0.Ключевой пример № 1. Исследовать на сходимость ∀ ∈ ∶+∞+∞a) = ∫11б) ′ = ∫0 1− || , ≠1⎤⎡1 сходится при > 1,, >1⎥⎢ 1 − |1−−1∫===⟹ [⎥ [⎢+∞ расходится при ⩽ 1.+∞, ⩽ 11⎢ ln || , = 1 ⎥|⎦⎣1+∞+∞1 = 1 ∫∫=;==−22− = − 1+∞2Весна 2018 г.Из п.
а) : [ ′ сход. при 2 − > 1 ⟺ < 1, ′ расх. при 2 − ⩽ 1 ⟺ ⩾ 1.30NSNOITTRUCМатематический анализ 1 к. 2 с.TCURTSNO9. Несобственные интегралы от знакопостоянных функцийCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCTh (признак сравнения для знакопостоянных функций).Пусть 1) (), () определены на [, ), ∈ ∪ {+∞} и ∀ ∈ (, ) ↪ (), () ∈ [, ],2) (), () знакопостоянны в окрестности т. ,3) () = O(()) при → − 0,1)тогда 1) если ∫ () сходится, то ∫ () сходится,2) если ∫ () расходится, то ∫ () расходится.Следствие. Пусть выполнены условия 1 и 2 теоремы и пусть () ≍ () при → − 0.2)Тогда ∫ () и ∫ () сходятся либо расходятся одновременно.Напоминание.
() = O(()) при → 0 , если ∃ ∈ ∶ |()| ⩽ |()| в некоторой Ů(0 );̄() = o(())при → 0 , если ∃() ∶ () = ()() и () ⟶ 0;→0() ≍ () при → 0 , если () = O(()) и () = O(()) при → 0 ;() ∼ () при → 0 , если ∃() ∶ () = ()() и () ⟶ 1.→0Ключевой пример № 2. Исследовать на сходимость ∀, ∈ ∶+∞a) = ∫2 ln .Подынтегральная функция () = 1 / ( ln ) > 0 в окрестности +∞. Используем признак сравнения.1. Пусть > 1.Если ⩾ 0, то () =1 ln ⩽|⩾|1⟹ сходится. = 1 + 2,Если < 0, обозначим { = −,11ln 1 ln где > 0,⟹ () ==⋅=( / ) .1+1+⏟где > 0, ln ln 1/1Покажем, что () ⟶ 0 ∶ lim / = правило = lim =lim= 0.Лопиталя− →+∞ /→+∞→+∞ →+∞ / 11Следовательно, () = ō ( 1+ ) ⟹ сходится.Таким образом, при > 1 сходится ∀ ∈ .2. Пусть < 1.Если ⩽ 0, то () =1 ln ⩾|⩾|()1⟹ расходится.Если > 0, обозначим = 1 − , где > 0 ⟹1ln 1̄при → +∞.= () ⋅⟹= o(())⏟⟶0Следовательно, расходится.→+∞Таким образом, при < 1 расходится ∀ ∈ .3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
