Конспект семинаров - Многомерный анализ, интегралы и ряды - Трошин (1238760), страница 4
Текст из файла (страница 4)
2 с.TCURTSNO6. Исследование дифференцируемости. Мера ЖорданаCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCИсследование дифференцируемости функции в точкеАлгоритм исследования дифференцируемости (, ) в точке (0 , 0 ).Шаг 1 Проверяем, ∃ ли = ′ (0 , 0 ) и = ′ (0 , 0 ).Если да, то исследуем дальше.
Если нет, то (, ) недифф. в т. (0 , 0 ).Доп. шаг (необязательный): Проверяем непрерывность: если ∃ →lim (, ) = (0 , 0 ),0→0то исследуем дальше. Если нет, то (, ) недифф. в т. (0 , 0 ).Шаг 2 Исследуем = lim(0 + Δ, 0 + Δ) − (0 , 0 ) − Δ − Δ→∆0→∆0√Δ2 + Δ 2.Если ∃ = 0, то (, ) дифф. в т. (0 , 0 ), иначе недифф.Пример. Исследовать (, ) = ||3/5 arcsin √|| на дифференцируемость в т. (0, 0).≡0≡0⏞(,0) ||′ (0, 0) = |= 0,=0⏞(0,) ||′ (0, 0) = |= 0.=000Рассмотрим (Δ, Δ) =0′ ⏞⎴⏞′ ⏞⎴⏞⎴⏞⎴0)⏞− ⏞(0, 0) Δ − ⏞⎴(0, 0) Δ(Δ, Δ) −⏞(0,⎴√Δ2 + Δ 2=(Δ, Δ)√Δ2 + Δ 2.Равномерная оценка:⩽2√| cos |133 1| arcsin √| cos || | sin | ⏞⎴⎴⎴⎴⏞⎴⎴⎴⎴⏞|( cos , sin )| =| sin | 5 ⋅ 2√| cos | ⩽ 2 10 −−−→ 0.⩽ 5 + 2 −1 ⏟⎵⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⎵⏟→+03535∈ [0,2]Следовательно, (, ) дифф.
в т. (0, 0).52 дифференцируема в т. (0, 0).Пример. Доказать, что (, ) = ch √≡1≡1⏞(,0) ||= 0,′ (0, 0) = |=0⏞(0,) ||′ (0, 0) ==0 |=001Рассмотрим (Δ, Δ) =0′ ⏞⎴⏞′ ⏞⎴⏞⎴⏞⎴0)⏞− ⏞(Δ, Δ) −⏞(0,⎴(0, 0) Δ − ⏞⎴(0, 0) Δ√Δ2 + Δ 2.Обозначим (Δ, Δ) = √Δ2 + Δ 2 и применим одномерную формулу Тейлора:4234211 5 511 15 5 + ō( 5 ) −−−→ 0.(Δ, Δ) = (ch √ 2 − 1) = ( ( 2 ) 5 + ō (( 2 ) 5 ) ) = ( ) ( ) ⋅ ⏟∆→0 22⏟⏟⏟⏟⎵⎵⏟⎵⎵⏟⏟⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⏟ б.м. прӣ 9/5 ),=o(т.к. ||,|| ⩽ (∆,∆)→(0,0)огр.б.м. при(∆,∆)→(0,0)∆→0Следовательно, (, ) дифф. в т. (0, 0).33 + 3 недифференцируема в т.
(0, 0).Пример. Доказать, что (, ) = √′ (0, 0) =(, 0) ||== 1; |=0 ′ (0, 0) =0Рассмотрим (Δ, Δ) =Весна 2018 г.(0, ) ||== 1; |=0 11′ ⏞⎴⏞′ ⏞⎴⏞⎴⏞⎴0)⏞− ⏞(Δ, Δ) −⏞(0,⎴(0, 0) Δ − ⏞⎴(0, 0) Δ√Δ2 + Δ 2.15NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к. 2 с.6. Исследование дифференцируемости. Мера ЖорданаCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCНайдем предел по направлению :1 33lim ( cos , sin ) = lim ( √cos3 + sin3 − cos − sin ) = √cos3 + sin3 − cos − sin .→+0→+0Если = 0, то предел равен 0. Если = 4 , то предел равен 2−1/6 − 21/2 ≠ 0.Следовательно, (, ) недифф.
в (0, 0).Пример. Доказать, что (, ) = sin ( 3+ √ 2 ) недифференцируема в т. (0, 0).4sin /4sin /4⏞0) |(,|′ (0, 0) = |= 0,=0⏞) |(0,|′ (0, 0) = |= 0.=00sin /40′ ⏞⎴⏞′ ⏞⎴⏞⎴⏞⎴0)⏞− ⏞(Δ, Δ) −⏞(0,⎴(0, 0) Δ − ⏞⎴(0, 0) ΔРассмотрим (Δ, Δ) ==√Δ2 + Δ 2332 + cos sin √ΔΔ2 − sin sin 4 cos √ΔΔ13344==ΔΔ 2 + sin √ΔΔ 2 − 1).(cos √2222√Δ + Δ√2 ⋅ √Δ + Δпредел по мн-вуcos Δ + sin Δ − 1= lim sign Δ ∄.2|Δ|∆→0∆→0lim (Δ, Δ) = limlim (Δ, Δ) = 0;∆→0∆=∆⏟⎵⏟⎵⏟∆→0∆=0⏟предел по мн-вуСледовательно, (, ) недифф. в (0, 0).Пример.
(МФТИ 2016–2017, вар. 71). Исследовать на дифференцируемость в т. (0, 0): 9/5 + 9/5⎧(, ) = ( 4 + 4 −⎨⎩0, 2 2 1/6)4, 2 + 2 ≠ 0, 2 + 2 = 0.>0′ (0, 0)(Δ, 0) − (0, 0)⏞⎴⎴⏞⎴⎴⏞= lim= lim Δ9/5−4/6−1 = 0.Δ∆→0∆→0В силу симметрии ↔ ↪ ′ (0, 0) = 0.00Рассмотрим (Δ, Δ) =0′ ⏞⎴⏞′ ⏞⎴⏞⎴⏞⎴0)⏞− ⏞(Δ, Δ) − ⏞(0,⎴(0, 0) Δ − ⏞⎴ (0, 0) Δ√Δ2 + Δ 2.Равномерная оценка:∈ [0,2]99⏞⎴⎴⎴⎴⎴⏞⎴⎴⎴⎴⎴⏞ ||(cos ) 5 + (sin ) 5 ||95|( cos , sin )| =2244 + sin4 − 1 cos2 sin2 ) ⋅ 6 (cos⏟⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⏟4(2 +2 )2 −2 21/6⩽2 152 sin2 )(1 − 49 cos⏟⎵⎵⏟⎵⎵⏟141/6⩽2 15(7/16)1/6−−−→ 0.→+02sin 2Следовательно, (, ) дифф.
в т. (0, 0).Пример. (МФТИ 2011–2012, вар. 21). Исследовать на дифференцируемость в т. (0, 0):(, ) =⎧tg (⎨⎩0, 3) , 2 + 2 ≠ 0,2 + 4 2 + 2 = 0.00⏞(,0) ||′ (0, 0) = |=0Весна 2018 г.= 0,⏞(0,) ||′ (0, 0) = |= 0.=016NSNOITTRUCNSМатематический анализ 1 к. 2 с.CREUND000′ ⏞⎴⏞′ ⏞⎴⏞⎴⏞⎴0)⏞− ⏞(Δ, Δ) −⏞(0,⎴(0, 0) Δ − ⏞⎴(0, 0) ΔNOITTRUCРассмотрим (Δ, Δ) =TCURTSNO6. Исследование дифференцируемости.
Мера Жордана√Δ2 + Δ 2в нек. (0,0)| ↓ |=3tg ( ∆∆∆2 +∆ 4 ).TCURTSNO√Δ2 + Δ 2CREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCИдея: |ΔΔ 2 | ⩽2Δ + Δ24||ΔΔ⟹ |tg ( 2⋅ Δ)| ⩽ 2|Δ | ⩽ |Δ| = (),2 + Δ 4||Δ + Δ 4Δ⎵⏟⎵| ⏟⎵⎵⏟ |2ΔΔ 2∈ [− 12 , 12 ]|tg( . . .
)|следовательно, |(Δ, Δ)| == (1) — возможно, не имеет предела в (0, 0).Сначала рассмотрим пределы по направлениям:4 cos sin3 cos sin3 1∀ ∈ [0, 2) ↪ lim ( cos , sin ) = lim [ tg] = lim [] = 0.4→+0→+0→+0 2 cos2 + 4 sin cos2 + 4 sin4 ⏟⎵⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⎵⏟⏟⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⏟если cos2 ≠0, тоэто — огр. ф-ция ,иначе это ≡0б.м. при →0незав. от cos Но по параболе предел все-таки не 0:1(Δ 2 , Δ) =√Δ 4 + Δ 2tg (Δ 5Δ111̄⋅⋅(+ o(Δ))−−−−→ ≠ 0.)=|Δ| √Δ 2 + 122Δ 4∆→+0 2Следовательно, ∄ lim (Δ, Δ) ⟹ (, ) недифф.
в (0, 0).∆→0∆→0Мера ЖорданаDef. Клетка — множество Π = {(1 , … , ) || ⩽ ⩽ , = 1, … , } ⊂ , ⩽ .1)Def. Мера клетки (Π) = (1 − 1 ) ⋅ … ⋅ ( − ) ∈ [0, +∞) .Def. ⊂ называется клеточным множеством, если оно представимо в виде=⋃Π — конечного объединения клеток, где int Π ∩ int Π = ∅ при ≠ .=1Def. Мера клеточного множества () = ∑ (Π ).=1Замечание.
∅ считается клеточным множеством с (∅) = 0.Def. Нижняя2) мера Жордана множества ⊂ :∗ () = sup () ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}.−клет.⊂Верхняя3) мера Жордана множества ⊂ :∗ () = inf () ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}.−клет.⊂Def. ⊂ называется измеримым по Жордану,defесли ∗ () = ∗ () ∈ . При этом () = ∗ () = ∗ ()Рис. 1.Нижняя и верхняя мераназывается мерой множества .Жордана — иллюстрацияЗамечание. Если не ограничено ⟹ ∄ клеточного множества ⊃ (∀ клеточное множество состоит из конечного числа ограниченных клеток).В этом случае полагают ∗ () = +∞. По определению неизмеримо.1) Это— замкнутый прямоугольный параллелепипед.говорят: “Внутренняя.”3) Также говорят: “Внешняя.”3) ТакжеВесна 2018 г.17NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к.
2 с.6. Исследование дифференцируемости. Мера ЖорданаCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCЛемма. Пусть — ограниченное множество. неизмеримо ⟺ ∗ () < ∗ ().1)Пример.
Измеримо ли 1 = [0, 1] ∩ в ?Нет.∀ клеточ. мн-во ⊂ 1 не может содержать клетки с ( ) ≠ 0 ⟹ () = 0 ⟹ ∗ () = 0;∀ клеточ. мн-во ⊃ 1 должно содержать [0, 1] ⟹ () ⩾ 1 ⟹ ∗ () ⩾ 1.∗ () < ∗ () ⟹ по лемме 1 неизмеримо.Лемма. измеримо ⟺ ∀ > 0 ∃ клеточные множества и : ⊂ ⊂ и ( ) − ( ) < .Пример. Измеримо ли 2 = {(, ) || ∈ [0, 1] ∩ , = 0} в 2 ?Да. 2∀ > 0 ∃ = [0, 1] × [− , ] ⊃ 2 с мерой ( ) = ,3 33∃ = ∅ с мерой ( ) = 0.( ) − ( ) < ⟹ по лемме 2 измеримо.Пример. (С3 §7 22)Последовательность { () } ⊂ ∶ () −−−→ ∈ .→∞Доказать: () = 0, где = { () || ∈ } — множество точек последовательности.1) ∗ () = 0, так как ∀ клеточное множество ⊂ не может содержать клетки с мерой ( ) ≠ 0 ⟹ ∗ () = 0;2) ∀ > 0 ∃ ∈ ∶ ∀ ⩾ ↪ ( () , ) <Рассмотрим -мерный куб = [ −√.4√√, +] .44Это — клетка с () = [√] = < .22Вне находится менее первых членов последовательности, которые образуютклеточное множество меры 0.Таким образом, = { () || < } ∪ — клеточное множество: ⊂ и ( ) < .⏟⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⏟первые −1 точекСледовательно, ∃ () = 0.1) ⊂ ⊂ ⟹ () ⩽ () ⟹ ∗ () ⩽ ∗ ().Весна 2018 г.18NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к.
2 с.7. Определенный интеграл РиманаCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC7. Определенный интеграл РиманаОпределенный интеграл РиманаВведение. Пусть функция () определена на всем отрезке[, ]. Пользуясь обозначениями рисунка, построим сумму = (1 ) Δ1 + (2 ) Δ2 + . . . + ( ) Δ .Если при стремлении мелкости разбиения отрезка к нулю стремится к определенному числу ∈ независимо от выбора ∈ [−1 , ], то называется определенным интеграломРимана функции () на отрезке [, ].Дадим формальные определения.Def.
Разбиением отрезка [, ] называется множество точек = { ∣ = 0 < 1 < . . . < = } .Вводятся обозначения: = [−1 , ] — -й отрезок разбиения, Δ = − −1 — длина -го отрезкаdefразбиения, || = = max Δ — мелкость разбиения.Def. Пусть функция () определена на [, ]. Пусть для разбиения выбраны точки ∈ , = 1, . . ., .Число = ∑ ( )Δ называется интегральной суммой Римана.=1Def (в терминах Коши). Функция () интегрируема по Риману на [, ], если∃ ∈ ∶ ∀ > 0 ∃ > 0 ∶ ∀ ∶ || < , ∀ ∈ ↪ | − | < .Пишут: () ∈ [, ]. Число наз. опр. интегралом Римана функции () на [, ] и обозн.
= ∫ () .Def (в терминах Гейне). Функция () интегрируема по Риману на [, ], если∃ ∈ ∶ ∀ {}⏟посл-тьразбиений∶ ⏟| | ⟶ 0, ∀ ∈ ↪ lim = .→∞→∞числ.посл-тьЗамечание. Приняты соглашения: ∫ () = 0,∫ () = − ∫ () .Th (Необходимое условие интегрируемости).Если () ∈ [, ], то () ограничена на [, ].Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
