Конспект семинаров - Многомерный анализ, интегралы и ряды - Трошин (1238760), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пусть () ∈ [, ]. Предположим, что () неограничена на [, ]. Возьмем произвольное разбиение . По предположению () неограничена хотя бы на одном отрезке разбиения (обозначимего 0 ). Зафиксируем все ∈ , кроме 0 . Тогда||)Δ∀ > 0 ∃ 0 ∈ 0 ∶ | | = | ∑ ( )Δ + (⏟0 | > .0⎵⏟⎵⎵⎵⏟|≠0|⏟⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⏟ можем сделать=fixпо модулю >||+за счет выбора 0Значит, ∃ { } ∶ | | ⟶ 0, для -го члена которой ∃ ∈ ∶ | | > ⟶ +∞→∞Противоречие. Следовательно, () ограничена на [, ].Весна 2018 г.→∞⟹() ∉ [, ].19NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к.
2 с.7. Определенный интеграл РиманаCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCTh (Достаточное условие интегрируемости №1).() непрерывна на [, ] ⟹ () ∈ [, ].Th (Достаточное условие интегрируемости №2).() монотонна на [, ] (() ↑ [, ] или () ↓ [, ]) ⟹ () ∈ [, ].Def. Пусть функция () определена на [, ].
() называется кусочно-непрерывной на [, ], если у нееесть лишь конечное число точек разрыва на [, ], и все они — первого рода.Th (Достаточное условие интегрируемости №3).() кусочно-непрерывна на [, ] ⟹ () ∈ [, ].1,Задача. () = {0,1 = 0,Доказать: ∫ () = 0. ≠ 0.−1В терминах Коши: ∀ > 0 ∃ = ∶ ∀ ∶ || < , ∀ ∈ ↪21|| | < 2 = ⟹ ∫ () = 0.↪ | − 0| = || ∑ ( ) 1) Δ⏟ ||=1−1< |1Задача. Доказать: ∫ sign = 0.−1В терминах Гейне: пусть { } ∶ | | ⟶ 0.→∞Обозначим:− < 0— ближайшая к = 0 слева точка разбиения ,+ ⩾ 0— ближайшая к = 0 справа точка разбиения .−⎵(−1))⎵⋅⎵(−1)Тогда = (1 ⎵−+⎵)⎵⏟⋅ 1 +(+ −− )⋅ (⎵−) =⏟⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⏟ + (⏟⎵⎵⏟⎵⏟вклад [−1, − ]− , + ]∈[вклад [+ , 1]1++−−⎵⎵−− ⏟ − + (⎵⏟ ) ⟶ 0 ⟹ ∫ sign = 0.⏟⏟⎵⏟) ⋅ (⏟б.м.б.м.∈[−1,1]б.м.→∞−11,Задача.
Функция Дирихле () = {0, ∈ , ∈ .Доказать: ∀, ∀ > ↪ () ∉ [, ].Пусть { } ∶ | | ⟶ 0.→∞Если выбрать все∈ , то =∑ ⏟1 ⋅Δ=1 ( )=− ⟶X0. Если все→∞∈ , то = ∑ ⏟0 ⋅Δ = 0.)=1 (˜Следовательно, () ∉ [, ].2Задача (4). Найти ∫ cos .0], следовательно, cos ∈ [0, ] и мы можем выбирать22удобные нам разбиения { } и точки { }, чтобы интегральную сумму легко было вычислить.Известно, что функция cos непрерывна на [0,|Возьмем в данном случае равномерные разбиения { } = { || =, = 0, .
. ., } с | | = Δ =.22Выберем = =(правые концы отрезков). Тогда2 sin ( + ) − sin ( − ) | ⋅ sin 4 |422411 = ∑cos=|= | = 2 ⋅ ∑ sin 4 cos 2 = 2 ⋅ ∑222sin 4 =1sin 4 =1| ⋅ sin 4 |=11) ()равна 1 не более чем на двух отрезках, на остальных отрезках ( ) = 0.Весна 2018 г.20NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к. 2 с.7. Определенный интеграл РиманаCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC=335 − sin + sin − ... + sin ( 4 + 2 )] = [− sin 4 + sin4 sin 4 4 4 4 = 4 (sin ( +) − sin ) ⟶2 44sin4⏟⎵⏟⎵⏟ ⏟⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⏟ ⏟⎵⏟⎵⏟ →∞⟶0⟶ sin 2 =1⟶1→∞→∞21 ⟹ ∫ cos = 1.0→∞Свойства ∫ () ||| () ≡ 1 ⟹ ∀ ↪ = − |.||1. ∫ = − 2.
∫ (() + ()) = ∫ () + ∫ () .(линейность)3. () ∈ [, ] и () ∈ [, ] ⟹ () ∈ [, ] и∫ () + ∫ () = ∫ () .(аддитивность)| |4. () ∈ [, ] ⟹ |()| ∈ [, ], причем ||∫ () || ⩽ ∫ |()| .1)| |15. () ∈ [, ] и ∃> 0 ∶ ∀ ∈ [, ] ⟶ |()| ⩾ ⟹∈ [, ].⏟⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⏟()“() отделима от 0 на [, ]”6. (), () ∈ [, ] ⟹ ()() ∈ [, ].7. (), () ∈ [, ] и ∀ ∈ [, ] ↪ () ⩾ () ⟹ ∫ () ⩾ ∫ () ,в частности, если () ∈ [, ] и ∀ ∈ [, ] ↪ () ⩾ 0 ⟹ ∫ () ⩾ 0.8. (), () ∈ [, ], ∀ ∈ [, ] ↪ () ⩾ (),∃0 ∶ (), () непрерывны в т.
0 и (0 ) > (0 ) ⟹ ∫ () > ∫ () ,в частности, если () ∈ [, ], ∀ ∈ [, ] ↪ () ⩾ 0,∃0 ∶ () непрерывна в точке 0 и (0 ) > 0 ⟹ ∫ () > 0.2)() = ∫ () и () = ∫ () непрерывны на [, ].⏟⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⏟9. () ∈ [, ] ⟹“интегралы с переменным верхним (нижним) пределом”Доказательство. () ∈ [, ] ⟹ () огр. на [, ] ⟹ ∃ > 0 ∶ ∀ ∈ [, ] ⟶ |()| ⩽ .00 +∆0|| | 0 | 0 +∆ || ⩽ + ∫ () − ∫ ()Тогда | (0 + Δ) − (0 )| = |∫ () − ∫ () | = || ∫ ()| | | |0 +∆ +∆ +∆|()| ⩽ ∫2) Т.к. = ∫001) Следует000⩽∫0 = Δ ⟶ 0.∆→0из неравенства треугольника, примененного к модулю в интегральной суммы.∃ > 0 ∶ ∀ ∈ (0 ) ↪ () >Весна 2018 г.(0 ).221NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к.
2 с.7. Определенный интеграл РиманаCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCИнтегральные теоремы о среднемTh. Пусть (), () ∈ [, ], ⩽ () ⩽ , () знакопостоянна на [, ] (⩾ 0 либо ⩽ 0).Тогда ∃ ∈ [, ] ∶ ∫ ()() = ∫ () .Доказательство.Пусть () ⩾ 0 (для () ⩽ 0 доказательство аналогично).∫∀ ∈ [, ] ↪ () ⩽ ()() ⩽ () ⟹ ∫ () ⩽ ∫ ()() ⩽ ∫ () ⟹⟹ ∃ ∈ [, ] ∶ ∫ ()() = ∫ () .Замечание.
Если () не знакопостоянна на [, ], то Th не работает. Пример:211() = , () = , отрезок [−1, 1] ⟹ ∀ ∈ ↪ ∫ ⏞⎴⏞⎴⏞()() ≠ ∫ () .−1⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⏟⏟⎵⏟⎵−1⎵⏟⎵⎵⏟>0=0Следствие 1. Если в дополнение к условию теоремы потребовать непрерывность () на [, ], то∃ ∈ (, ) ∶ ∫ ()() = () ∫ () .Следствие 2.
Если в дополнение к условию следствия 1 потребовать () = 1, то∃ ∈ (, ) ∶ ∫ () = ()( − ).Связь определенного интеграла Римана и неопределенного интегралаTh. () ∈ [, ] и () непрерывна в т. 0 ∈ (, ) ⟹ () = ∫ () дифф. в т. 0 и ′ (0 ) = (0 ).Следствие. () непрерыв. на [, ] ⟹ () имеет на [, ] первообразные, одна из кот.
() = ∫ () .Th (Формула Ньютона-Лейбница).defЕсли () непрерывна на [, ] и Φ() — ее первообразная ⟹ ∫ () = Φ()|| = Φ() − Φ().22Пример. ∫ 3 =−14 ||4|16 115− =.444=−1Пример. Доказать:1√3⩽∫20cos √1 + ⩽ 1.Решение. ∀ ∈ [0, 2 ] ↪() =() =cos √1 + Весна 2018 г.cos √1 + ⩾⩽cos cos √1 + 2√1⩾2|2⟹ ∫ () ⩽ sin || = 100cos √32⎫⎪⎪sin | 21 ⎬⎪| =⟹ ∫ () ⩾√3 |0√3 ⎪0⎭⟹1√3⩽∫02cos √1 + ⩽ 1.22NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к. 2 с.7. Определенный интеграл РиманаCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCПример.
Доказать: 0 < = ∫344sin < ln 3.sin 3> 0 и непрерывна на [ ,] ⟹ > 0⎫34 4⎪4 sin 33∫⟹0< < ln 3.44|sin 3 < ∫= ln ||| = ln( / ) = ln 3⎬4⎪4 4|⎭44() =∫344Th. Если () и () дифференцируемы в точке 0 и () непрерывна на отрезке [, ],содержащем ((0 )) и ((0 )) для некоторой (0 ), то()[∫() ] ()3Пример.= ((0 )) ′ (0 ) − ((0 ))′ (0 ).=0∫ sin = sin 3 ⋅ 33 − sin 2 ⋅ 2. 2Th (Формула интегрирования по частям для определенного интеграла).Пусть () и () дифференцируемы на [, ]. Тогда ∫ () () = (()()) || − ∫ () ().| sin | 2 || ⩽ .Пример. Доказать: если > > 0, то = ||∫| | | cos |cos || | cos cos || cos | ⩽ 1 + 1 + ∫ = 1 + 1 − 1 + 1 = 2 .||| −∫∫⩽−+ = ||−+| || 2 | | | 22||Th (Формула замены переменной в определенном интеграле).Пусть () непрерывна на [, ], () непрерывно дифференцируема на [, ], где = (), = ().Тогда ∫ () = ∫ (())′ () .1)44Пример.
∫ sin 2 =3(4)=1611| 1|∫ sin 2 ( 2 ) = || = 2 || = ∫ sin = − (cos 16 − cos 9).2 32 (3)=92Задача. a) Верно ли, что ∃() — первообразная () на [, ] ⟹ () ∈ [, ]?б) Верно ли, что () ∈ [, ] ⟹ ∃() — первообразная () на [, ]?в) Доказать: () ∈ [, ] и ∃() — ее первообразная на [, ] ⟹ ∫ () = () − ().Решение.а) Нет. Пусть () = { 2 sin0,1, ≠02⟹ ∃ ′ () ==01212 sin 2 − cos 2 ,≠0⎧⎪⎨⎪ lim () − (0) = lim sin 1 = 0, = 0⎩→02→0⎫⎪= ().⎬⎪⎭Тогда () имеет первообразную () на [, ], но () неогр.2) на [−1, 1] ⟹ () ∉ [−1, 1].б) Нет. () = sign ∈ [−1, 1] как кусочно-непрерывная функция, но ∄() на [−1, 1], так как иначе ′ ()была бы определена в точке = 0 и имела бы там разрыв первого рода.
Это невозможно по 3 следствию изтеоремы Лагранжа о среднем.1) Важно2) обратить внимание, что пределы интегрирования меняются согласно формуле замены переменной.= 0 — точка разрыва второго рода функции ().Весна 2018 г.23NSNOITTRUCМатематический анализ 1 к. 2 с.TCURTSNO7. Определенный интеграл РиманаCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCв) Рассмотрим последовательность разбиений { } отрезка[, ] ∶ | | ⟶ 0. По условию ∃() ∶ ′ () = (), ∈ (, ).→∞На каждом отрезке разбиения = [−1, ] к функции ()применима теорема Лагранжа о среднем:∃ ∈ (−1, ) ∶ ( ) − (−1) = ′ ( ) Δ = ( ) Δ .Воспользуемся этим фактом, представив () − () в следующем виде:() − () = −() +⎵() +⎵() +⎵(1 ) −(⏟⎵⎵⎵1⎵⏟⎵⎵⎵⏟2 ) − .
. . −(⏟⎵⎵⎵0⎵⏟⎵⎵⎵⏟ ) = ∑ Δ ( ) = ⟶ ∫ () ,⏟⎵⎵⎵−1⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⏟→∞∆2 (2 )∆1 (1 )∆ ( )=1что и требовалось доказать1) .Задача. () ограничена на (, ) и ∀ ∈ (0, −) ↪ () ∈ [+, ]. Доказать: при любом доопределении() ↪ () ∈ [, ] и ∫ () = lim ∫ () .→+0+Решение. Воспользуемся критерием Римана интегрируемости функции.Def. Пусть () определена на [, ] и — какое-либо разбиение [, ]. Обозначим = sup (), = inf ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
