Обработка результатов учебного эксперимента (1188441), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В результате измерения диаметра проволоки микрометром, имеющим цену деления ℎ = 0,01 мм, получен следующий набор из = 8 значений:, мм0,390,380,390,370,400,390,380,39Вычисляем среднее значение: ⟨⟩ ≈ 386,3 мкм. Среднеквадратичное (стандартное) отклонение: ≈ 9,2 мкм. Случайная погрешность среднего согласно (2.8): ⟨⟩ = √≈ 3,2 мкм. Все результаты лежат в пределах ±2 , поэто8му нет причин сомневаться в нормальности распределения.
Максимальнуюпогрешность микрометра оценим как половину цены√︁деления, Δ = ℎ/2 =2Δ2 + 8 ≈ 6,0 мкм.5 мкм. Результирующая полная погрешность ≤Видно, что случ ≈ Δсист и проводить дополнительные измерения особогосмысла нет. Окончательно результат измерений может быть представлен ввиде (см. также правила округления результатов измерений в п. 3.3.2) = 386 ± 6 мкм, = 1,5%.Заметим, что поскольку случайная погрешность и погрешность прибора здесь имеют один порядок величины, наблюдаемый случайный разбросданных может быть связан как с неоднородностью сечения проволоки, таки с дефектами микрометра (например, с неровностями зажимов, люфтомвинта, сухим трением, деформацией проволоки под действием микрометраи т. п.).
Для ответа на вопрос, что именно вызвало разброс, требуются дополнительные исследования с использованием более точных приборов.Пример. Измерение скорости полёта пули было осуществлено с погрешностью = ±1 м/c. Результаты измерений для = 6 выстрелов представленыв таблице:, м/с146170160181147168Усреднённый результат ⟨⟩ = 162,0 м/с, стандартное отклонение =√13,8 м/c, случайная ошибка для средней скорости ¯ = / 6 = 5,6 м/с.Поскольку разброс экспериментальных данных существенно превышает по-22грешность каждого измерения, ≫ , он почти наверняка связан с реальным различием скоростей пули в разных выстрелах, а не с ошибкамиизмерений.
В качестве результата эксперимента представляют интерес каксреднее значение скоростей ⟨⟩ = 162 ± 6 м/с ( ≈ 4%), так и значение ≈ 14 м/с, характеризующее разброс значений скоростей от выстрела квыстрелу. Малая инструментальная погрешность в принципе позволяет более точно измерить среднее и дисперсию, и исследовать закон распределения выстрелов по скоростям более детально — для этого требуется набратьбо́льшую статистику по выстрелам.Пример.
Измерение скорости полёта пули было проведено с погрешностью = 10 м/c. Результаты измерений для = 6 выстрелов:, м/с150170160180150170Усреднённый результат ⟨⟩ = 163,3 м/с, = 12,1 м/c, ⟨⟩ = 5 м/с,полн ≈ 11,2 м/с. Инструментальная погрешность каждого измерения превышает разброс данных, поэтому в этом опыте затруднительно сделать вывод о различии скоростей от выстрела к выстрелу.
Результат измерений скорости пули: ⟨⟩ = 163 ± 11 м/с, ≈ 7%. Проводить дополнительные выстрелы при такой большой инструментальной погрешности особого смысла нет— лучше поработать над точностью приборов и методикой измерений.2.6. Обработка косвенных измеренийКосвенными называют измерения, полученные в результате расчётов,использующих результаты прямых (то есть «непосредственных») измерений физических величин.2.6.1. Случай одной переменнойПусть в эксперименте измеряется величина , а её «наилучшее» (в некотором смысле) значение равно ⋆ и оно известно с погрешностью . Послечего с помощью известной функции вычисляется величина = ().В качестве «наилучшего» приближения для используем значение функции при «наилучшем» : ⋆ = (⋆ ) .Найдём величину погрешности .
Обозначая отклонение измеряемойвеличины как ∆ = − ⋆ , и пользуясь определением производной, приусловии, что функция () — гладкая вблизи ≈ ⋆ , запишем∆ ≡ () − (⋆ ) ≈ ′ · ∆,⋆— производная фукнции (), взятая⟨︀в точкегде ′ ≡ ⟩︀ 2 . ⟨︀Возведём⟩︀22полученное в квадрат, проведём усреднение ( = ∆ , = ∆2 ), изатем снова извлечём корень. В результате получим⃒ ⃒⃒ ⃒ = ⃒⃒ ⃒⃒ .(2.10)23Пример. Для степенной функции = имеем = −1 , откуда= ,или = ,то есть относительная погрешность степенной функции возрастает пропорционально показателю степени .Пример. Для = 1/ имеем 1/ = — при обращении величины сохраняется её относительная погрешность.Упражнение.
Найти погрешность логарифма = ln по заданным и .Упражнение. Найдите погрешность показательной функции = , еслиизвестны и . Коэффициент задан точно.2.6.2. Случай многих переменныхПусть величина вычисляется по измеренным значениям несколькихразличных независимых физических величин , , . .
. на основе известногозакона = (,, . . .). В качестве наилучшего значения можно по-прежнемувзять значение функции при наилучших значениях измеряемых параметров:⋆ = (⋆ , ⋆ , . . .) .Для нахождения погрешности воспользуемся свойством, известнымиз математического анализа, — малые приращения гладких функции многих переменных складываются линейно, то есть справедлив принцип суперпозиции малых приращений:∆ ≈ ′ · ∆ + ′ · ∆ + . . . ,где символом ′ ≡ обозначена частная производная функции по переменной — то есть обычная производная по , взятая при условии, чтовсе остальные аргументы (кроме ) считаются постоянными параметрами.Тогда пользуясь формулой для нахождения дисперсии суммы независимыхвеличин (2.7), получим соотношение, позволяющее вычислять погрешностикосвенных измерений для произвольной функции = (,, . .
.):2 = ′2 2 + ′2 2 + . . .(2.11)Отметим, что формулы (2.10) и (2.11) применимы только если относительные отклонения всех величин малы ( , , . . . ≪ 1), а измерения проводятся вдали от особых точек функции (производные ′ , ′ . . . не должныобращаться в бесконечность). Также подчеркнём, что все полученные здесьформулы справедливы только для независимых переменных , , . . .Остановимся на некоторых важных частных случаях формулы (2.11).24Пример. Для суммы (или разности) =∑︀ имеем=12 =∑︁2 2 .(2.12)=1Пример. Найдём погрешность степенной функции = · · .
. .:222= 2 2 + 2 2 + . . .2или через относительные погрешности2 = 2 2 + 2 2 + . . .(2.13)Пример. Вычислим погрешность произведения и частного = или =/. Тогда в обоих случаях имеем2 = 2 + 2 ,(2.14)то есть при умножении или делении относительные погрешности складываются квадратично.Упражнение. Найти погрешность вычисления гипотенузы =прямоугольного треугольника по измеренным катетам и .√︀2 + 2Упражнение. Найти погрешность вычисления угла прямоугольного треугольника по его катетам: = arctg .Исходя из полученных результатов можно дать следующие практические рекомендации.∙ Как правило, нет смысла увеличивать точность измерения какой-то однойвеличины, если другие величины, используемые в расчётах, остаются измеренными относительно грубо — всё равно итоговая погрешность будетопределяться самым неточным измерением.
Поэтому все измерения следует проводить примерно с одной и той же относительной погрешностью.∙ При этом, как следует из (2.13), особое внимание следует уделять величинам, возводимым при расчётах в степени с большими показателями.∙ При сложных функциональных зависимостях имеет смысл детально проанализировать структуру формулы (2.11): если вклад от некоторой величины в общую погрешность мал, нет смысла гнаться за высокой точностьюеё измерения, и наоборот, точность некоторых измерений может оказатьсякритически важной (особенно осторожным нужно быть на участках резкогоизменения функции , когда производная |′ | велика).25∙ Следует избегать измерения малых величин как разности двух близкихзначений (например, толщины стенки цилиндра как разности внутреннего =√︀ и внешнего радиусов): если = − , то абсолютная погрешность2 + 2 меняется мало, однако относительная погрешность = −может оказаться неприемлемо большой, если ≈ .3.
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ИПРЕДСТАВЛЕНИЮ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ3.1. Проведение измеренийКлючевым элементом проведения лабораторной работы является ведение лабораторного журнала. Журнал является главным источником информации о проведенном эксперименте.3.1.1. Правила ведения лабораторного журнала∙ Лабораторный журнал оформляется от руки. Для оформления лучше использовать большую тетрадь формата A4 с несъемными листами.
Это правило связано с тем, что никакой электронный журнал не обладает такой жеинформативностью и гибкостью в оформлении. Рукописные журналы используются на всех крупных современных физических экспериментах.∙ В журнале необходимо фиксировать всю информацию о проводимом эксперименте: название работы, дату и время проведения эксперимента, типыиспользованных приборов, схему установки, а также любые другие показатели, которые могут быть связаны с проведением работы и обработкойрезультатов.∙ Лабораторный журнал должен содержать максимально полную информацию о процессе проведения эксперимента, а не только результаты измерений.
Обязательно должны быть указаны все проводимые экспериментатором действия. По возможности должны присутствовать временные меткивсех действий (например, чтобы потом можно было сверить журнал с журналами других студентов, работающих в это время, или с другой информацией).∙ Не допускается исключение из журнала «неправильных» (или показавшихся неправильными) измерений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
