Обработка результатов учебного эксперимента (1188441), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Во-вторых, их причиной может быть ошибкав интерпретации результатов (методическая погрешность), например, изза использования слишком идеализированной физической модели явления,которая не учитывает некоторые значимые факторы (так, при взвешиваниител малой плотности в атмосфере необходимо учитывать силу Архимеда;при измерениях в электрических цепях может быть необходим учет неидеальности амперметров и вольтметров и т.
д.).Систематические погрешности условно можно разделить на следующиекатегории.∙ Известные погрешности, которые могут быть достаточно точно вычисленыили измерены. При необходимости они могут быть учтены непосредственно:11внесением поправок в расчётные формулы или в результаты измерений.Если они малы, их можно отбросить, чтобы упростить вычисления.∙ Погрешности известной природы, конкретная величина которых неизвестна, но максимальное значение вносимой ошибки может быть оценено теоретически или экспериментально.
Такие погрешности неизбежно присутствуют в любом опыте, и задача экспериментатора — свести их к минимуму,совершенствуя методики измерения и выбирая более совершенные приборы.Чтобы оценить величину систематических погрешностей опыта, необходимоучесть паспортную точность приборов (производитель, как правило, гарантирует, что погрешность прибора не превосходит некоторой величины), проанализировать особенности методики измерения, и по возможности, провести контрольные опыты.∙ Погрешности известной природы, оценка величины которых по каким-либопричинам затруднена (например, сопротивление контактов при подключении электронных приборов).
Такие погрешности должны быть обязательно исключены посредством модификации методики измерения или заменыприборов.∙ Наконец, нельзя забывать о возможности существования ошибок, о которых мы не подозреваем, но которые могут существенно искажать результаты измерений. Такие погрешности самые опасные, а исключить их можнотолько многократной независимой проверкой измерений, разными методами и в разных условиях.В учебном практикуме учёт систематических погрешностей ограничивается, как правило, теоретическими поправками к упрощённой модели исследуемого явления и паспортными погрешностями приборов. Стоит однако подчеркнуть, что приборная погрешность вовсе не обязательно являетсяисключительно систематической, и для большинства приборов имеет такжеи случайную составляющую.В общем случае корректный учёт систематической погрешности возможен только при анализе специфики конкретного эксперимента.
Особенноевнимание следует обратить на зависимость (корреляцию) систематическихсмещений различных величин при повторных измерениях.Пример. Рассмотрим измерение напряжения по стрелочному вольтметру.В показаниях прибора будет присутствовать, как минимум, три вида погрешности: 1) случайная погрешность, связанная с дрожанием стрелки иошибкой визуального наблюдения, примерно равная половине цены деленияшкалы; 2) cистематическая погрешность, связанная с неправильной установкой нуля; 3) систематическая погрешность, связанная с неправильнымкоэффициентом пропорциональности между напряжением и отклонениемстрелки.
Как правило, приборы сконструированы так, чтобы максимальноезначение этой погрешности было также равно половине цены деления (хотяна практике это и не гарантируется).122. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОШИБОКРезультат любого измерения не определён однозначно и имеет случайную составляющую. Поэтому адекватным языком для описания погрешностей является язык вероятностей. Тот факт, что значение некоторой величины «случайно», не означает, что она может принимать совершенно произвольные значения.
Ясно, что частоты, с которыми возникает те или иныезначения, различны. Вероятностные законы, которым подчиняются случайные величины, называют распределениями.2.1. Случайная величинаСлучайной будем называть величину, значение которой не может бытьдостоверно определено экспериментатором. Чаще всего подразумевается,что случайная величина будет изменяться при многократном повторенииодного и того же измерения.
Также случайной можно считать величину,значение которой фиксированно, но не известно экспериментатору (например, смещение нуля шкалы прибора).Каждому из возможных значений некоторой случайной величины можно поставить в соответствие значение вероятности получить это значение при измерении. Численно вероятность равна относительной частотенаблюдения этого значения, если бы опыт был повторён большое число раз:,→∞ = limгде — полное число измерений, — количество измерений, дающих результат . На практике значения могут быть получены как при многократном повторении опыта, либо как оценка на основе данных другихэкспериментов или теоретической модели.Большинство физических величин могут при измерениях приниматьнепрерывный набор значений. Пусть [0 , 0 +] — вероятность того, чторезультат измерения величины окажется вблизи некоторой точки 0 впределах интервала : ∈ [0 , 0 + ]. Устремим интервал к нулю.Нетрудно понять, что вероятность попасть в этот интервал также будетстремиться к нулю (никакой результат измерения нельзя получить с абсо0 +]лютной точностью!).
Однако отношение (0 ) = [0 ,будет оставатьсяконечным. Функцию () называют плотностью распределения вероятности или кратко распределением непрерывной случайной величины .Замечание. В математической литературе распределениемчасто называRют не функцию (), а её интеграл () = () . Такую функцию вфизике принято называть интегральным или кумулятивным распределением. В англоязычной литературе для этих функций принято использоватьсокращения: pdf (probability density function) и cdf (cumulative distributionfunction) соответственно.13Гистограммы.
Проиллюстрируем наглядно понятие плотности распределения. Результат большого числа измерений случайной величины удобнопредставить с помощью специального типа графика — гистограммы. Дляэтого область значений , размещённую на оси абсцисс, разобьём на равныемалые интервалы — «корзины» или «бины» (англ. bins) некоторого размера ℎ. По оси ординат будем откладывать долю измерений , результатыкоторых попадают в соответствующую корзину. А именно, пусть — номер корзины; — число измерений, попавших в диапазон ∈ [ℎ, ( +1)ℎ].Тогда на графике изобразим «столбик» шириной ℎ и высотой = /.В результате получим картину, подобную изображённой на рис. 2.1.w, %wNx±σxx ± 2σxРис.
2.1. Пример гистограммы для нормального распределения ( = 10, = 1,0,ℎ = 0,1, = 104 )Согласно данному выше определению, высоты построенных столбиковбудут приближённо соответствовать значению плотности распределения() вблизи соответствующей точки . Если устремить число измеренийк бесконечности ( → ∞), а ширину корзин к нулю (ℎ → 0), то огибающаягистограммы будет стремиться к некоторой непрерывной функции ().Самые высокие столбики гистограммы будут группироваться вблизимаксимума функции () — это наиболее вероятное значение случайнойвеличины. Если отклонения в положительную и отрицательную стороныравновероятны, то гистограмма будет симметрична — в таком случае среднее значение ⟨⟩ также будет лежать вблизи этого максимума.
Ширина гистограммы будет характеризовать разброс значений случайной величины —по порядку величины она близка к среднеквадратичному отклонению .14Свойства распределений. Из определения функции () следует, чтовероятность получить в результате эксперимента величину в диапазонеот до можно найти, вычислив интеграл:Z∈[,] = () .(2.1)Согласно определению вероятности, сумма вероятностей для всех возможных случаев всегда равна единице. Поэтому интеграл распределения() по всей области значений (то есть суммарная площадь под графиком ()) равен единице:+∞Z() = 1.−∞Это соотношение называют условием нормировки.Среднее и дисперсия.
Вычислим среднее по построенной гистограмме. Если размер корзин ℎ достаточно мал, все измерения в пределах однойкорзины можно считать примерно одинаковыми. Тогда среднее арифметическое всех результатов можно вычислить как∑︁1 ∑︁ = .⟨⟩ ≈ Переходя к пределу, получим следующее определение среднего значенияслучайной величины:Z = ,(2.2)где интегрирование ведётся по всей области значений . В теории вероятностей также называют математическим ожиданием распределения.ВеличинуZ 2 = ( − )2 = ( − )2 (2.3)называют дисперсией распределения.
Значение есть срекднеквадратичноеотклонение в пределе → ∞. Оно имеет ту же размерность, что и самавеличина и характеризует разброс распределения. Именно эту величину,как правило, приводят как характеристику погрешности измерения .Доверительный интервал. Обозначим как |Δ|< вероятность того,что отклонение от среднего ∆ = − составит величину, не превосходящую по модулю значение :+Z|Δ|< =() .(2.4)−Эту величину называют доверительной вероятностью для доверительногоинтервала | − | ≤ .152.2.
Нормальное распределениеОдним из наиболее примечательных результатов теории вероятностейявляется так называемая центральная предельная теорема. Она утверждает, что сумма большого количества независимых (см. ниже п. 2.3) случайных слагаемых, каждое из которых вносит в эту сумму относительно малыйвклад, подчиняется универсальному закону, не зависимо от того, каким вероятностным законам подчиняются её составляющие. Это распределениеназывают нормальным или распределением Гаусса.Доказательство теоремы довольно громоздко и мы его не приводим.Остановимся кратко на том, что такое нормальное распределение и егоосновных свойствах.Плотность нормального распределения непрерывной случайной величины выражается следующей формулой:2 () = √(−)1− 22 .2(2.5)Здесь и — параметры нормального распределения: равно среднемузначению величины (математическому ожиданию), a — её среднеквадратичному отклонению от среднего.Функция () представлена на рис.
2.1. Распределение представляетсобой симметричный «колокол», положение вершины которого соответствует ¯ (ввиду симметрии оно же совпадает с наиболее вероятным значением— максимумом функции ()). При значительном отклонении от среднего величина () очень быстро убывает. Это означает, что вероятностьвстретить отклонения, существенно большие, чем , оказывается пренебрежимо мала.
Ширина «колокола» по порядку величины равна — она характеризует «разброс» экспериментальных данных относительно среднегозначения.Универсальный характер центральной предельной теоремы позволяетшироко применять на практике нормальное (гауссово) распределение дляобработки результатов измерений, поскольку часто случайные погрешностискладываются из множества случайных независимых факторов. Заметим,что на практике для приближённой оценки параметров нормального распределения случайной величины используются выборочные значения среднего и дисперсии: ≈ ⟨⟩, ≈ .Доверительные вероятности. Вычислим некоторые доверительные вероятности (2.4) для нормально распределённых случайных величин.Вероятность того, что результат отдельного измерения окажется впределах ± , равна площади под графиком функции () в данноминтервале:+Z|Δ|< = ≈ 0,68.−16()1 = 10,40,368%0,22 = 20,195%−6−4−20246 − 0Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
