Обработка результатов учебного эксперимента (1188441), страница 4
Текст из файла (страница 4)
2.2. Плотность нормального распределенияR2Замечание. Интеграл вида − , называемый интегралом ошибок, вэлементарных функциях не выражается, но легко находится численнымиметодами. Соответствующая функция, обычно обозначаемая как erf, реализована большинстве математических программных пакетов.Вероятность отклонения в пределах ± 2:|Δ|<2 ≈ 0,95,а в пределах ± 3:|Δ|<3 ≈ 0,9973.Иными словами, при большом числе измерений нормально распределённойвеличины можно ожидать, что лишь треть измерений выпадут за пределыинтервала [¯ − , ¯ + ]. При этом около 5% измерений выпадут за пределы[¯ − 2; ¯ + 2], и лишь 0,27% окажутся за пределами [¯ − 3; ¯ + 3].Пример.
В сообщениях об открытии бозона Хиггса на Большом адронномколлайдере в 2012 году говорилось о том, что исследователи ждали подтверждение результатов со «статистической значимостью 5 сигма». Используянормальное распределение (2.5) нетрудно посчитать, что они использовалидоверительную вероятность ≈ 1 − 5,7 · 10−7 = 0,99999943. Такую достоверность можно назвать фантастической!Полученные значения доверительных вероятностей используются пристандартной записи результатов измерений.
В физических измерениях,как правило, используется = 0,68, то есть, запись=¯ ± 17означает, что измеренное значение лежит в диапазоне (доверительном интервале) ∈ [¯ − ; ¯ + ] с вероятностью 68%. Таким образом погрешность ± считается равной одному среднеквадратичному отклонению: =.
В технических измерениях чаще используется = 0,95, то есть под абсолютной погрешностью имеется в виду удвоенное среднеквадратичное отклонение, = 2. Во избежание разночтений доверительную вероятностьследует указывать отдельно.Замечание. Хотя нормальный закон распределения встречается на практике довольно часто, стоит помнить, что он реализуется не всегда. Нарушениеполученных соотношений для долей измерений, попадающих в соответствующие интервалы можно использовать как признак «нормальности» исследуемого распределения.Сравнение результатов измерений.
Теперь мы можем дать количественный критерий для сравнения двух измеренных величин или двух результатов измерения одной и той же величины.Пусть 1 и 2 (1 ̸= 2 ) измерены с погрешностями 1 и 2 соответственно. Ясно, что если различие результатов |2 − 1 | невелико, его можнообъяснить просто случайными отклонениями. Если же теоретическая вероятность обнаружить такое отклонение достаточно мала, различие результатов следует признать значимым.Граничное значение вероятности, в принципе, может быть выбрано произвольным образом. Наиболее часто в качестве границы выбирают вероятность = 5%, что для нормального распределения соответствует двумстандартным отклонениям.Допустим сначала, что одна из величин известна с существенно большей точностью: 2 ≪ 1 (например, 1 — результат, полученный студентомв лаборатории, 2 — справочное значение).
Поскольку 2 мало, 2 можнопринять за «истинное»: 2 ≈ . Предполагая, что погрешность измерения1 подчиняется нормальному закону с и дисперсией 12 , можно утверждать,что различие считают будет значимы, если разность результатов превышает удвоенное значение погрешности: |1 − 2 | > 21 .Пусть теперь погрешности измерений сравнимы по порядку величины:1 ∼ 2 .
В теории вероятностей показывается, что линейная комбинациянормально распределённых величин также имеет нормальное распределение с дисперсией 2 = 12 + 22 (см. также правила сложения погрешностей(2.7)). Тогда для проверки гипотезы о том, что 1 и 2 являются измерениями одной и той же величины, нужно√︀ вычислить, является ли значимымотклонение |1 − 2 | от нуля при = 12 + 22 .Пример. Два студента получили следующие значения для теплоты испарения некоторой жидкости: 1 = 40,3 ± 0,2 кДж/моль и 2 = 41,0 ±0,3 кДж/моль, где погрешность соответствует одному стандартному отклонению. Можно ли утверждать, что они исследовали одну и ту же жидкость?18Имеем наблюдаемую разность |1 −√︀2 | = 0,7 кДж/моль, среднеквадра0,22 + 0,32 = 0,36 кДж/моль.
Ихтичное отклонение для разности =|2 −1 |отношение≈ 2. Из свойств нормального распределения находим: вероятность того, что измерялась одна и та же величина, а различия в ответахвозникли из-за случайных ошибок, равна ≈ 5%.2.3. Независимые величиныВеличины и называют независимыми если результат измерения одной из них никак не влияет на результат измерения другой.
Для такихвеличин вероятность того, что примет значения из некоторого множества, и одновременно — в множестве , равна произведению соответствующих вероятностей:∈,∈ = ∈ · ∈ .Обозначим отклонения величин от их средних как ∆ = − и ∆ = − . Средние значения этих отклонений равны, очевидно, нулю: ∆ = − = 0, ∆ = 0. Из независимости величин и следует, что среднеезначение от произведения ∆ · ∆ равно произведению средних ∆ · ∆ и,следовательно, равно нулю:∆ · ∆ = ∆ · ∆ = 0.(2.6)Пусть измеряемая величина = + складывается из двух независимыхслучайных слагаемых и , для которых известны средние и , и ихсреднеквадратичные погрешности и . Непосредственно из определения(1.1) следует, что среднее суммы равно сумме средних: = + .Найдём дисперсию 2 .
В силу независимости имеем∆ 2 = ∆2 + ∆ 2 + 2∆ · ∆ = ∆2 + ∆ 2 ,то есть:2 = 2 + 2 .(2.7)Таким образом, при сложении независимых величин их погрешности складываются среднеквадратичным образом.Подчеркнём, что для справедливости соотношения (2.7) величины и не обязаны быть нормально распределёнными — достаточно чтобы их дисперсии были конечны.
Однако можно показать, что если и распределенынормально, нормальным будет и распределение их суммы.Замечание. Требование независимости слагаемых является принципиальным. Например, положим = . Тогда = 2. Здесь√ и , очевидно, зависятдруг от друга. Используя (2.7), находим 2 = 2 , что, конечно, неверно— непосредственно из определения следует, что 2 = 2 .19Отдельно стоит обсудить математическую структуру формулы (2.7). Если одна из погрешностей много больше другой, например, ≫ , томеньшей погрешностью можно пренебречь, + ≈ . С другой стороны, если два источника погрешностей имеют один порядок ∼ , то и+ ∼ ∼ . Эти обстоятельства важны при планирования эксперимента: как правило, величина, измеренная наименее точно, вносит наибольшийвклад в погрешность конечного результата.
При этом, пока не устраненынаиболее существенные ошибки, бессмысленно гнаться за повышением точности измерения остальных величин.√︁Пример. Пусть = /3, тогда = 1 + 19 ≈ 1,05 , то есть приразличии двух погрешностей более, чем в 3 раза, поправка к погрешностисоставляет менее 5%, и уже нет особого смысла в учёте меньшей погрешности: ≈ . Это утверждение касается сложения любых независимыхисточников погрешностей в эксперименте.2.4. Погрешность среднегоВыборочное среднее арифметическое значение ⟨⟩, найденное по результатам измерений, само является случайной величиной.
Действительно, если поставить серию одинаковых опытов по измерений, то в каждом опытеполучится своё среднее значение, отличающееся от предельного среднего .Вычислим среднеквадратичную погрешность среднего арифметического ⟨⟩ . Рассмотрим вспомогательную сумму слагаемых = 1 + 2 + . . . + .Если { } есть набор независимых измерений одной и той же физическойвеличины, то мы можем, применяя результат (2.7) предыдущего параграфа,записать√︁√ = 12 + 22 + .
. . + 2 = ,поскольку под корнем находится одинаковых слагаемых. Отсюда с учётом⟨⟩ = / получаем важное соотношение:⟨⟩ = √ .(2.8)Таким образом, погрешность среднего√ значения по результатам независимых измерений оказывается в раз меньше погрешности отдельного измерения. Именно этот факт позволяет уменьшать случайные погрешности эксперимента за счёт многократного повторения измерений.Подчеркнём различия между и ⟨⟩ :величина — погрешность отдельного измерения — является характеристикой разброса значений в совокупности измерений { }, = 1...
При20нормальном законе распределения примерно = 68% измерений попадаютв интервал ⟨⟩ ± ;величина ⟨⟩ — погрешность среднего — характеризует точность, с которой определено среднее значение измеряемой физической величины ⟨⟩относительно предельного («истинного») среднего ; при этом с доверительной вероятностью = 68% искомая величина лежит в интервале⟨⟩ − ⟨⟩ < < ⟨⟩ + ⟨⟩ .2.5. Результирующая погрешность опытаПусть для некоторого результата измерения известна оценка его максимальной систематической погрешности ∆сист и случайная среднеквадратичная погрешность случ . Какова «полная» погрешность измерения?Предположим для простоты, что измеряемая величина в принципе может быть определена сколь угодно точно, так что можно говорить о некотором её «истинном» значении ист (иными словами, погрешность результата связана в основном именно с процессом измерения).
Назовём полнойпогрешностью измерения среднеквадратичное значения отклонения от результата измерения от «истинного»:⟨⟩22полн= ( − ист ) .Отклонение − ист можно представить как сумму случайного отклоненияот среднего случ = − и постоянной (но, вообще говоря, неизвестной)систематической составляющей сист = − ист = const: − ист = сист + случ .Причём случайную составляющую можно считать независимой от систематической.
В таком случае аналогично (2.7) находим:⟨︀⟩︀ ⟨︀⟩︀22полн= 2сист + 2случ ≤ ∆2сист + случ.(2.9)То есть для получения оценки значения полной погрешности некоторогоизмерения нужно квадратично сложить максимальную систематическую ислучайную погрешности.Замечание. Согласно данному нами в начале главы определению, неизвестное значение систематической погрешности также можно считать случайнойвеличиной (например, мы пользуемся линейкой, при изготовлении которойна заводе произошло некоторое случайное искажение шкалы). В такой трактовке формула (2.9) есть просто частный случай (2.7).Подчеркнем однако, что вероятностный закон, которому подчиняется систематическая ошибка, как правило неизвестен. Следовательно, мы, строгоговоря, не можем приписать интервалу ± Δсист какую-либо определённуюдоверительную вероятность.21Если измерения проводятся многократно, то согласно (2.8) случайнаясоставляющая погрешности может быть уменьшена, а систематическая составляющая при этом остаётся неизменной:2.Отсюда следует важное практическое правило (см.
также обсуждениев п. 2.3): если случайная погрешность измерений в 2–3 раза меньше предполагаемой систематической, то нет смысла проводить многократные измерения в попытке уменьшить погрешность всего эксперимента. В такойситуации измерения достаточно повторить 2–3 раза — чтобы убедиться вповторяемости результата, исключить промахи и проверить, что случайнаяошибка действительно мала. В противном случае повторение измерений может иметь смысл до тех пор, пока погрешность среднего ⟨⟩ = √не станетменьше систематической.2≤ ∆2сист +полнПример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
