Обработка результатов учебного эксперимента (1188441), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Многократные измеренияИз-за неизбежного наличия случайных погрешностей однократного измерения величины недостаточно. Проведём серию из одинаковых (однотипных) измерений одной и той же физической величины (например, многократно приложим линейку к стержню) и получим ряд значенийx = {1 , 2 , . . . , } .Что можно сказать о длине стержня по данному набору измерений? И влияет ли число проведенных измерений на конечный результат?Если цена деления самой линейки достаточно мала, то как нетрудно убедиться на практике, величины { } почти наверняка окажутся различными.Причиной тому могут быть самые разные обстоятельства, например: у наснедостаточно остроты зрения и точности рук, чтобы каждый раз прикладывать линейку одинаково; стенки стержня могут быть слегка неровными;у стержня может и не быть определённой длины, например, если в нёмвозбуждены звуковые волны, из-за чего его торцы колеблются, и т.
д.В такой ситуации результат измерения является случайной величиной,которую можно описать некоторым вероятностным законом — распределением (подробнее см. гл. 2). Важнейшей характеристикой случайной величины является её среднее значение. Вычислим среднее арифметическоепо набору результатов x, обозначив его угловыми скобками:1 + 2 + . . . + 1 ∑︁⟨⟩ =≡ . =1(1.1)Это значение, вычисленное по результатам конечного числа измерений,принято называть выборочным средним.Кроме среднего представляет интерес и то, насколько сильно варьируются результаты от опыта к опыту. Определим отклонение каждого измерения от среднего как∆ = − ⟨⟩ , = 1 .
. . .Разброс совокупности данных { } относительно среднего принято характеризовать среднеквадратичным отклонением:⎯√︂⎸ ⎸ 1 ∑︁∆21 + ∆22 + . . . + ∆2≡⎷∆2(1.2)= =17или кратко=√︀⟨∆2 ⟩ ≡√︀⟨( − ⟨⟩)2 ⟩.(1.3)2Средний квадрат отклонения называют выборочной дисперсией.Будем увеличивать число измерений ( → ∞). Если объект измеренияи методика достаточно стабильны, то отклонения от среднего ∆ будут, вопервых, относительно малы, а во-вторых, положительные и отрицательныеотклонения будут встречаться примерно одинаково часто. Тогда при вычислении (1.1) почти все отклонения ∆ скомпенсируются и можно ожидать,что выборочное среднее при ≫ 1 будет стремиться к некоторому пределу:1 ∑︁ .→∞ =1 = limТогда предельное значение , называемое в теории вероятностей математическим ожиданием, можно отождествить с «истинным» средним дляисследуемой величины.Предельную величину среднеквадратичного отклонения обозначим как⎯⎸ ⎸ 1 ∑︁ = lim ⎷∆2 .→∞ =1Замечание.
Вообще говоря указанные пределы могут и не существовать.Например, если величина меняется во времени или в результате самого измерения, либо испытывает слишком большие случайные скачки и т. п. Такиеситуации требуют особого рассмотрения и мы на них не останавливаемся.Итак, если результаты небольшого числа измерений имеют не слишкомбольшой разброс, то величина ⟨⟩ может быть использована как приближенное значение (оценка) истинного значения ⟨⟩ ≈ , а увеличение числаизмерений позволит уточнить результат. При этом выборочное среднее значение ⟨⟩ оказывается с большей вероятностью ближе к истинному значению , чем каждое из измерений { } в отдельности. При этом, как будетпоказано в п. 2.4, погрешность вычислениясреднего убывает пропорцио√нально корню из числа измерений .Замечание.
Если мало ( . 10), для оценки среднеквадратичного отклонения математическая статистика рекомендует вместо (1.2) использовать2−1 =1 ∑︁Δ2 , − 1 =1(1.4)где произведена замена → − 1. Величину −1 часто называют выборочным стандартным отклонением. Подробнее о преимуществах такой оценкиперед (1.2), см. Приложение.8Упражнение. Показать, что⟨︀ ⟩︀2 = 2 − ⟨⟩2 .⟨︀ ⟩︀то есть дисперсия равна разности среднего значения квадрата 2 =)︂2(︂ ∑︀ .и квадрата среднего ⟨⟩2 = 1(1.5)1∑︀2=1=11.3.
Классификация погрешностейЧтобы лучше разобраться в том, сколько раз нужно повторять измерения, и в каком случае это позволит улучшить результаты опыта, проанализируем источники и виды погрешностей.В первую очередь, многократные измерения позволяют проверить воспроизводимость результатов: повторные измерения в одинаковых условиях, должны давать близкие результаты. В противном случае исследованиебудет существенно затруднено, если вообще возможно. Таким образом, многократные измерения необходимы для того, чтобы убедиться как в надёжности методики, так и в стабильности измеряемой величины как таковой.При любых измерениях возможны грубые ошибки — промахи (англ.miss).
Это «ошибки» в стандартном понимании этого слова — возникающие по вине экспериментатора или в силу других непредвиденных обстоятельств (например, из-за сбоя аппаратуры). Промахов, конечно, нужноизбегать, а результаты таких измерений должны быть по возможности исключены из рассмотрения.Как понять, является ли «аномальный» результат промахом? Вопросэтот весьма непрост. В литературе существуют статистические критерииотбора промахов, которыми мы, однако, настоятельно не рекомендуем пользоваться (по крайней мере, без серьёзного понимания последствий такогоотбора).
Отбрасывание аномальных данных может, во-первых, привестик тенденциозному искажению результата исследований, а во-вторых, такможно упустить открытие неизвестного эффекта. Поэтому при научныхисследованиях необходимо максимально тщательно проанализировать причину каждого промаха, в частности, многократно повторив эксперимент.Лишь только если факт и причина промаха установлены вполне достоверно, соответствующий результат можно отбросить.Замечание. Часто причины аномальных отклонений невозможно установить на этапе обработки данных, поскольку часть информации о проведении измерений к этому моменту утеряна.
Единственным способ борьбы сэтим — это максимально подробное описание всего процесса измерений влабораторном журнале. Подробнее об этом см. п. 3.1.1.При многократном повторении измерений одной и той же физическойвеличины погрешности могут иметь систематический либо случайный ха9рактер. Назовём погрешность систематической, если она повторяется отопыта к опыту, сохраняя свой знак и величину, либо закономерно меняется в процессе измерений.
Случайные (или статистические) погрешностименяются хаотично при повторении измерений как по величине, так и познаку, и в изменениях не прослеживается какой-либо закономерности.Кроме того, удобно разделять погрешности по их происхождению. Можно выделить∙ инструментальные (или приборные) погрешности, связанные с несовершенством конструкции (неточности, допущенные при изготовлении или вследствие старения), ошибками калибровки или ненормативными условиямиэксплуатации измерительных приборов;∙ методические погрешности, связанные с несовершенством теоретическоймодели явления (использование приближенных формул и моделей явления)или с несовершенством методики измерения (например, влиянием взаимодействия прибора и объекта измерения на результат измерения);∙ естественные погрешности, связанные со случайным характером измеряемой физической величины — они являются не столько «ошибками» измерения, сколько характеризуют природу изучаемого объекта или явления.Замечание.
Разделение погрешностей на систематические и случайные неявляется однозначным и зависит от постановки опыта. Например, производяизмерения не одним, а несколькими однотипными приборами, мы переводимсистематическую приборную ошибку, связанную с неточностью шкалы и калибровки, в случайную.
Разделение по происхождению также условно, поскольку любой прибор подвержен воздействию «естественных» случайныхи систематических ошибок (шумы и наводки, тряска, атмосферные условия и т. п.), а в основе работы прибора всегда лежит некоторое физическоеявление, описываемое не вполне совершенной теорией.1.3.1. Случайные погрешностиСлучайный характер присущ большому количеству физических явлений, и в той или иной степени проявляется в работе всех без исключенияприборов. Случайные погрешности обнаруживаются просто при многократном повторении опыта — в виде хаотичных изменений (флуктуаций) значений { }.Если случайные отклонения от среднего в большую или меньшую стороны примерно равновероятны, можно рассчитывать, что при вычислениисреднего арифметического (1.1) эти отклонения скомпенсируются, и погрешность результирующего значения ⟨⟩ будем меньше, чем погрешностьотдельного измерения.Случайные погрешности бывают связаны, например,∙ с особенностями используемых приборов: техническими недостатками (люфтв механических приспособлениях, сухое трение в креплении стрелки прибора), с естественными (тепловой и дробовой шумы в электрических цепях,10тепловые флуктуации и колебания измерительных устройств из-за хаотического движения молекул, космическое излучение) или техногенными факторами (тряска, электромагнитные помехи и наводки);∙ с особенностями и несовершенством методики измерения (ошибка при отсчёте по шкале, ошибка времени реакции при измерениях с секундомером);∙ с несовершенством объекта измерений (неровная поверхность, неоднородность состава);∙ со случайным характером исследуемого явления (радиоактивный распад,броуновское движение).Остановимся несколько подробнее на двух последних случаях.
Они отличаются тем, что случайный разброс данных в них порождён непосредственно объектом измерения. Если при этом приборные погрешности малы,то «ошибка» эксперимента возникает лишь в тот момент, когда мы по своей воле совершаем замену ряда измеренных значений на некоторое среднее{ } → ⟨⟩. Разброс данных при этом характеризует не точность измерения,а сам исследуемый объект или явление. Однако с математической точкизрения приборные и «естественные» погрешности неразличимы — глядя наодни только экспериментальные данные невозможно выяснить, что именно явилось причиной их флуктуаций: сам объект исследования или иные,внешние причины. Таким образом, для исследования естественных случайных процессов необходимо сперва отдельно исследовать и оценить случайные инструментальные погрешности и убедиться, что они достаточно малы.1.3.2.
Систематические погрешностиСистематические погрешности, в отличие от случайных, невозможно обнаружить, исключить или уменьшить просто многократным повторениемизмерений. Они могут быть обусловлены, во-первых, неправильной работой приборов (инструментальная погрешность), например, сдвигом нуляотсчёта по шкале, деформацией шкалы, неправильной калибровкой, искажениями из-за не нормативных условий эксплуатации, искажениями из-заизноса или деформации деталей прибора, изменением параметров прибораво времени из-за нагрева и т.п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
