Обработка результатов учебного эксперимента (1188441), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Не вполнекорректно было бы написать = 1230 ± 50 мм, поскольку такая записьподразумевает превышение точности как в измеренной величине, так и воценке погрешности.33∙ Если погрешность физической величины не указана, то по умолчанию подразумевается, что она измерена с точностью до изменения последней значащей цифры на единицу. Например, запись = 1,23 м эквивалентна =1,23 ± 0,01 м или = 123 ± 1 см, но не эквивалентна = 1230 мм.Замечание.
Все рассуждения в данном разделе относятся к представлениюрезультатов в отчёте. При проведении измерений и ведении лабораторногожурнала не следует проводить никаких округлений, а напротив записыватьвсю доступную информацию. При проведении промежуточных расчётов следует сохранять как минимум одну «лишнюю» значащую цифру.3.4. Построение графиковПусть между двумя величинами и предполагается некоторая функциональная зависимость.
Измеряя пары значений ( , ), получим набориз результатов — экспериментальных «точек»{(1 , 1 ), (2 , 2 ), . . . ,( , )} ,которые изобразим на графике. Каждое измерение ( , ) имеет свою погрешность (случайную и/или систематическую) и . На графиках погрешности принято изображать в виде «крестов» размером ± по горизонтали и ± по вертикали.Рассмотрим простейший случай, когда зависимость предполагается линейной: = + .
Из-за случайных погрешностей при > 2 будет невозможно провести прямую, проходящую через все экспериментальные точки.Можно, тем не менее, попробовать провести «наилучшую» прямую, проходящую максимально близко ко всем точкам. В математической статистикетакую процедуру называют также линейной регрессией.1212Линейная аппроксимация y = kx + bk0 = 0,058 b0 = 2,0b1 = 2,6b2 = 1,410Линейная аппроксимация y = kx + bk0 = 0,058, b0 = 2,0k1 = 0,064k2 = 0,052108866442200020406080100120014020406080100120140Рис.
3.1. Графический метод проведения прямой и оценки погрешностейСамый простой и грубый метод — провести наилучшую прямую «от руки». Этот метод, конечно, нестрогий, но весьма наглядный. На практике к34нему приходится часто прибегать для грубой и быстрой оценки промежуточных результатов. Для этого нужно приложить прозрачную линейку кграфику так, чтобы по возможности кресты всех экспериментальных точекнаходились максимально близко к проводимой линии, а по обе стороны отнеё оказалось примерно одинаковое количество точек.Построив таким образом «наилучшую» прямую, можно найти её параметры: угловой коэффициент и вертикальное смещение .
Этим же способом можно грубо оценить ошибку определения и . Смещая линейку вертикально в пределах крестов погрешностей, оценим погрешность . Аналогично, изменяя наклон линейки относительно условного «центра масс»экспериментального графика, получим оценку для погрешности угловогокоэффициента . Если известно, что погрешности экспериментальных точек (, ) имеют преимущественно случайныйстоит√√ характер, результатразделить на корень из числа точек: ≈ / , ≈ / (для систематических погрешностей так делать не стоит).Эта же процедура позволяет проверить, является ли измеренная зависимость в самом деле линейной: прямая должна пересекать большую часть(∼2/3) крестов погрешностей. В противном случае можно предполагать существенное отклонение экспериментальной зависимости от линейной теоретической. Отметим, что если кресты погрешностей на графике не отмечены,такой анализ провести затруднительно.Существуют и аналитические методы подбора параметров (см.
гл. 4),минимизирующие отклонения экспериментальных точек от некоторой теоретической зависимости (например, метод наименьших квадратов). Студентам первого курса рекомендуется осваивать их постепенно, по мере накопления опыта экспериментальной работы.Рис. 3.2. Влияние величины погрешности на интерпретацию результатаПример. На рис. 3.2 изображены одни и те же экспериментальные точкипри разных погрешностях измерений, график 3.2а, несомненно, указываетна нерегулярный ход изучаемой зависимости (кривая линия).
Те же данныепри больших погрешностях опыта (рис. 3.2б) успешно описываются прямойлинией. Без указания крестов погрешностей разделить эти два случая былобы невозможно.35Нелинейные зависимости. Если теория предсказывает нелинейную функциональную зависимость между величинами, часто можно сделать заменупеременных так, чтобы результирующий график получался линейным.Заметим, что аналитические методы позволяют подбирать параметры идля нелинейных зависимостей.
Хотя готовых формул для общего случая несуществует, задача легко решается численно — и в большинстве современных программ обработки данных это сделать не сложнее, чем построитьнаилучшую прямую. Построение прямой является наиболее наглядным ипозволяет проверить «разумность» полученных результатов, сверив их спостроением «от руки».Пример. Высота и время падения груза без начальной скорости в полетяжести связаны соотношением = 12 2 + 0 . Для того, чтобы (︀получить)︀линейную зависимость, можно построить график в координатах ,2 . Поугловому коэффициенту наилучшей прямой можно в таком случае вычислить ускорение свободного падения: = 12 .Пример.
В термодинамике и химии часто встречается зависимость вида =−/ . Чтобы определить коэффициенты и , можно построить графикв координатах (,), где = ln и = 1 . В таком случае, как нетрудновидеть, = − + ln .3.4.1. Рекомендации по оформлению графиковОсновная цель использования графиков — наглядность отображениярезультатов.
В связи с этим к ним предъявляются следующие требования:∙ график обязательно должен иметь подпись (заглавие) с кратким описаниемего содержания (графики — это первое, на что обращает внимание читатель,еще до прочтения текста отчёта!);∙ подписи, данные и линии не должны быть нагромождены друг на другатак, что препятствовало бы их чтению;∙ оси на графике должны быть подписаны: указаны буквенное обозначениевеличины и её единицы измерения; если величина безразмерна, указывается«отн.
ед.» (относительные единицы);∙ на осях должны быть отмечены масштаб и положение нуля; масштаб обозначается несколькими отметками с подписанными значениями и дополнительными малыми отметками без подписей; масштаб должен быть удобнымдля чтения (использованы «круглые» числа, делящиеся на 10, 5 или 2);∙ масштаб осей и начало отсчёта должны быть выбраны так, чтобы экспериментальные данные занимали всю площадь листа, отведённую под график;∙ если график строится не «от нуля», это следует подчеркнуть отдельно, например «разрывом» оси;∙ при необходимости сравнения данных из разных серий измерений, их следует размещать на одном графике, обозначая их разными символами илицветами;36∙ график с несколькими сериями данных должен быть снабжен «легендой»,в которой указано соответствие серий данных и их обозначений; экспериментальные «точки» должны изображаться символами конечных размеров(позволяющими отличить их от случайных «пятен»);∙ точки не должны быть без необходимости соединены линиями; также ненужно подписывать положение каждой точки графика (при необходимости можно указать положение 1-2 особых точек, если это не загромождаетграфик);∙ все экспериментальные точки должны быть снабжены крестами погрешностей, размер которых соответствует инструментальной погрешности измерения соответствующей величины (либо вычисленной по результатам косвенных измерений); кресты погрешностей можно не отмечать, только еслипогрешности малы (настолько, что они не будут видны на графике) или неизвестны;∙ если теория предполагает некоторую (например, линейную) функциональную зависимость, на график должна быть тонкой линией нанесена соответствующая теоретическая кривая; расчёт параметров этой кривой (например, коэффициентов МНК для линейной зависимости) должен проводитьсяотдельно в тексте отчёта — с указанием используемых методов и формул;результаты таких расчётов и их погрешности указываются в легенде графика или в подписи к нему;∙ оптимальный размер графика — от четверти до половины страницы (приусловии, что отчёт оформляется на страницах формата А4).На рис.
3.3 приведён пример того, как не надо строить графики. В нёмсобраны наиболее типичные ошибки, совершаемые студентами. Предлагаемчитателю выявить их самостоятельно. Для сравнения на рис. 3.4 изображён график для тех же данных, выполненный с соблюдением изложенныхвыше указаний.3.5. Некоторые типичные ошибки обработки данныхНахождение углового коэффициента по среднему от частного. Студент измеряет сопротивление резистора по зависимости (). Получив некоторое количество экспериментальных точек ( , ), и пользуясь закономОма = /, он вычисляет сопротивление для каждого измерения = / , а затем ∑︀определяет сопротивление резистора как среднее значение . Что не так с этим методом (результат-то получается0 = ⟨ ⟩ = 1вполне «разумным»)?Во-первых, применять процедуру усреднения можно только при повторенииодного и того же измерения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
