Обработка результатов учебного эксперимента (1188441), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В данном случае значения относятся к разным измерениям, так как параметры системы каждый раз изменялись. Вовторых, не была проверена линейность зависимости (), то есть справедливость закона Ома (существуют и нелинейные элементы, для которых он невыполняется).
В-третьих, даже если зависимость можно считать линейной,может оказаться так, что она не проходит через ноль (например, из-за сдвига37Рис. 3.3. Пример неправильно построенного графика4ИзмеренияЛинейная апроксимация y = k x + bk = (6,11 ± 0,05) · 10-4 см/сb = - 3,7 ± 0,5 смL , см321089101112133t, 10 сРис. 3.4. Пример корректного графического представления данных38нуля у вольтметра или амперметра) — тогда формула = / не годится. И наконец, даже если выполнена линейность и зависимость проходитчерез ноль, вычисление таким способом чревато большими погрешностями.Нетрудно видеть, что среднее значение ⟨ / ⟩ по сути есть среднее тангенсовуглов наклона линий, проведённых из начала координат в экспериментальную точку. Как известно, функция tg при > /4 очень резко возрастает(и стремится к бесконечности при = /2).
В таком случае даже небольшое«шевеление» экспериментальной точки, особенно если она находится достаточно близко к оси ординат, может привести к резкому увеличению вкладаэтой точки в итоговый результат.Таким образом, «разумный» результат студента — плод удачного стечения многих обстоятельств. Правильный — обоснованный и надёжный —алгоритм нахождения сопротивления: построить график (), убедитьсяв его линейности, и построить наилучшую прямую. Угловой коэффициентэтой прямой и будет наилучшей оценкой для сопротивления резистора.Недооценка систематической погрешности. Студент измеряет сопротивление резистора, действуя по правильному алгоритму, описанному выше.
При измерениях используются вольтметр и амперметр с классом точности 0,5. Получив большое число экспериментальных точек и построивнаилучшую прямую методом наименьших квадратов (формула (4.7)), студент находит сопротивление (например, = 5,555 Ом) и его погрешностьпо формуле (4.10), которая оказывается равна = 0,003 Ом. Окончательный результат измерения записывается как = 5,555 ± 0,003 Ом.Выходит так, что с помощью приборов, относительная погрешность которых составляет 0,5%, получен на порядок более точный результат ≈0,05%. Возможно ли такое?Ситуация эта вполне реальна и встречается в учебной лаборатории довольно часто.
Дело в том, что метод наименьших квадратов позволяет оценитьтолько случайную ошибку — и она в самом деле может оказаться довольномала. Однако учебные приборы далеки от совершенства и их ошибка имеет восновном систематический характер. Поэтому в данном случае при записиконечного результата необходимо учесть систематическую ошибку, относительная величина которой по составляет не менее 0,5% (согласно классуточности прибора) и значительно превосходит случайную. Результат эксперимента стоило бы записать как = 5,55 ± 0,03 Ом.Всё же, может статься и так, что инструментальные ошибки наших вольтметра и амперметра имеют случайный характер, и мы в самом деле добилиськратного повышения точности за счёт многократных повторений измерений(сколько нужно измерений, чтобы увеличить точность на порядок?).
Этонетрудно проверить, если заменить вольтметр или амперметр на аналогичный и повторить опыты. Таким образом мы превратим систематическуюошибку одного прибора в случайную ошибку множества приборов. Еслиотклонение нового результата от исходного значительно превысит величину±0,003 Ом, гипотеза о случайности инструментальной ошибки будет опровергнута, то есть погрешность отдельного прибора действительно имеет восновном систематический характер.39Аппроксимация полиномом. Студент получает набор экспериментальных данных { , }, которые по теории должны ложиться на прямую.
Нанеся точки на график, студент видит, что на прямую они ложатся не оченьхорошо (см. рис. 3.5а). Для того, чтобы точки лучше ложились на график,студент решает использовать функцию аппроксимации полиномом (например, квадратичным), имеющуюся в наличии во всех электронных таблицахи программах обработки данных. Можно ли так делать?1616141412121010f(x) = 1,50x86f(x) = 1,28x86f(x) = 0,07x^2 + 0,98x44220002468100а)246810б)Рис. 3.5. Примеры аппроксимации данных: а) сплошная линия — линейная аппроксимация, пунктир — квадратичная аппроксимация; б) сплошная линия —линейная аппроксимация по нескольким начальным точкам, пунктир — аппроксимация полиномом высокой степени.Ответ на вопрос зависит от того, какую цель преследует студент.
Если цель— добиться того, чтобы «точки лучше ложились на график», то всё сделаноправильно. Если говорить «по-научному» — это попытка решить задачу интерполяции экспериментальных данных: по ограниченному набору { , }получить аналитическую функцию = (), позволяющую рассчитыватьзначения при произвольном . В учебном практикуме это может быть, например, задача построения калибровочного графика. В таком случае можнолишь дать практический совет — стараться использовать для интерполяции полином как можно меньшей степени (дело в том, что при слишкомбольшой степени функция почти наверняка станет сильно немонотонной, аэто вовсе не то, что хочется иметь в качестве результата интерполяции, см.рис. 3.5б).Однако ни в одной лабораторной работе курса общей физики задача интерполяции не является основной целью работы! Как правило, цель — проверить теоретические закономерности и измерить физические характеристикисистемы.
Если нет теории, предсказывающей и объясняющей квадратичнуюзависимость, проделанная студентом процедура бесполезна, поскольку вы-40численным коэффициентам полинома невозможно приписать физическийсмысл.Правильно было бы в такой ситуации выявить, на каком участке зависимости линейный закон выполняется, оценить его границы, и по немупостроить наилучшую прямую (сплошная линия на рис.
3.5б). Для участка,отклоняющегося от предсказываемой линейной зависимости, следует теоретически проанализировать причины отклонения и по возможности предложить уточнение теории. Возможно, стоит ожидать не квадратичное, акубическое отклонение? Различить их на ограниченном наборе данных сбольшими погрешностями невозможно! Имея достаточное количество точек,предложенную теорию можно проверить и лишь после этого аппроксимацииболее сложной функцией можно придать физический смысл.4.
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВЦель любого физического эксперимента — проверить, выполняется линекоторая теоретическая закономерность (модель), а также получить илиуточнить её параметры. Поскольку набор экспериментальных данных неизбежно ограничен, а каждое отдельное измерение имеет погрешность, можноговорить лишь об оценке этих параметров.
Как правило, измеряется не однавеличина, а некоторая функциональная зависимость величин друг от друга. В таком случае возникает необходимость построить оценку параметровэтой зависимости.Пример. Для измерения сопротивления некоторого резистора необходимополучить зависимость напряжения от тока (). Простейшая теоретическаямодель для резистора — закон Ома = , где сопротивление — единственный параметр модели. Можно также использовать модель с двумя параметрами {, 0 }: = + 0 , которая позволяет корректно учесть частовозникающую в подобных измерениях систематическую ошибку — смещениенуля напряжения или тока.В общем случае для построения оценки нужны следующие компоненты.1) данные — результаты измерений { , } и их погрешности { } (экспериментальная погрешность является неотъемлемой частью набора данных!).2) модель = ( | 1 ,2 , .
. .) — параметрическое описание исследуемой зависимости. Здесь — набор параметров модели, например, коэффициенты{, } прямой () = + . 3) процедура построения оценки параметровˆ , , }).по измеренным данным («оценщик»): ≈ ({Рассмотрим самые распространенные способы построения оценки.4.1.
Метод минимума хи-квадратОбозначим отклонения результатов некоторой серии измерений от теоретической модели = ( | ) как∆ = − ( | ),41 = 1 . . . ,где — некоторый параметр (или набор параметров), для которого требуется построить наилучшую оценку. Нормируем ∆ на стандартные отклонения и построим сумму2 =∑︁ (︂ ∆ )︂2,(4.1)которую принято называть суммой хи-квадрат.Метод минимума хи-квадрат (метод Пирсона) заключается в подборе такого , при котором сумма квадратов отклонений от теоретическоймодели, нормированных на ошибки измерений, достигает минимума:2 () → min.Замечание. Подразумевается, что погрешность измерений указана только для вертикальной оси . Поэтому, при использовании метода следует выбирать оcи таким образом, чтобы относительная ошибка по оси абсцисс былазначительно меньше, чем по оси ординат.Данный метод вполне соответствует нашему интуитивному представлению о том, как теоретическая зависимость должна проходить через экспериментальные точки.
Ясно, что чем ближе данные к модельной кривой,тем меньше будет сумма 2 . При этом, чем больше погрешность точки, темв большей степени дозволено результатам измерений отклоняться от модели. Метода минимума 2 является частным случаем более общего метода максимума правдоподобия (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
