Многозначные аналитические функции - Сидоров (1188231)
Текст из файла
Ю. В. СидоровМНОГОЗНАЧНЫЕАНАЛИТИЧЕСКИЕФУНКЦИИЮ. В. Сидоров. Лекции по теории функций комплексного переменного.Многозначные аналитические функции.Настоящее учебное пособие предназначено для студентов 3-гокурса МФТИ. В нём рассматривается наиболее сложный раздел курсаТФКП — многозначные аналитические функции. Изучение этой темыс помощью ранее изданных учебных пособий и учебников вызывает устудентов большие трудности.В настоящем пособии предлагается наиболее простой способ изложения этой темы.
Это достигается тем, что рассматривается небольшой по объёму теоретический материал с наглядной иллюстрациейего на простейших примерах многозначных функций.Условные обозначения:i — начало доказательства теоремы или другого утверждения(вместо слова «Доказательство»);y — конец доказательства (вместо слов «что и требовалось дока-зать»);A — начало решения примера (вместо слова «Решение»);A — конец решения примера.§ 1 Определение аналитической функции3§ 1.
Определение аналитической функции1. Аналитическое продолжение вдоль цепочки областейРассмотрим некоторые способы аналитического продолжения заданных функций.Определение 1.Пусть функция g(z) определена на множестве E, функция f (z) регулярна в области D, содержащей множествоE, иf (z) = g(z) при z ∈ E.(1)Тогда функция f (z) называется аналитическим продолжением функции g(z) с множества E в область D.Если для заданной функции g(z), z ∈ E, существует ее продолжение в область D ⊃ E, т.е.
регулярная в области D функция f (z),удовлетворяющая условию (1), то говорят, что “функцию g(z) можноаналитически продолжить в область D” или “функция g(z) допускаетаналитическое продолжение в область D”.Такое аналитическое продолжение может оказаться не единственным, например, если множество E состоит из конечного числа точек,или если множество E состоит из бесконечного числа точек, но неимеет предельных точек внутри области D.Из теоремы единственности следует, что:если множество E состоит из бесконечного числа различныхточек и имеет хотя бы одну предельную точку, принадлежащуюобласти D ⊃ E, то аналитическое продолжение с множества E вобласть D единственно.П р и м е р 1.
Функции ez , sin z, cos z являются единственнымианалитическими продолжениями функций соответственно ex , sin x,cos x с действительной оси во всю комплексную плоскость.A Функция tg z является единственным аналитическим продолжением функции tg x с интервала − π2 < x < π2 во всю комплекснуюплоскость с выколотыми точками z = π2 + πk, k = 0 ± 1, ± 2, . .
. .4Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функцииФункция ctg z является единственным аналитическим продолжением функции ctg x с интервала 0 < x < π во всю комплексную плоскость с выколотыми точками z = πk, k = 0, ± 1, ± 2, . . . . AD01D01D0e 01DD0D1D1Рис. 1Рис. 2Определение 2. Пусть даны две области D0 и D1 такие, чтосуществует область D01 , принадлежащая обеим областям D0 и D1(рис. 1). Пусть функции f0 (z), f1 (z) регулярны в областях D0 ,D1соответственно, и эти функции совпадают в области D01 , т.е.f1 (z) = f0 (z),z ∈ D01 .Тогда функция f1 (z) называется непосредственным аналитическимпродолжением функции f0 (z) из области D0 в область D1 черезобласть D01 .Это продолжение единственно по теореме единственности.Отметим, что в рассмотренной ситуации может оказаться, чтообласти D0 и D1 имеют, кроме области D01 , и другие общие точки(рис. 2), в которых значения функций f0 (z) и f1 (z) могут быть неравными.
Но если f0 (z) = f1 (z) во всех общих точках областей D0 и D1 ,то функцияf0 (z), если z ∈ D0 ,F (z) =f1 (z), если z ∈ D1 ,регулярна в области D = D0 ∪ D1 и является аналитическим продолжением функции f0 (z) из области D0 в область D в смысле определения 1.§ 1 Определение аналитической функции5Пусть теперь дана цепочка областей D0 ,D1 , . .
. ,Dn (рис. 3). Предположим, что существуют регулярные функции fj (z), z ∈ Dj ,0 6 j 6 n, такие, что каждая последующая функция fj+1 (z) являетсянепосредственным аналитическим продолжением предыдущей функции fj (z) из области Dj в область Dj+1 , 0 6 j 6 n − 1.Тогда функция fn (z) называется аналитическим продолжениемфункции f0 (z) вдоль цепочки областей D0 ,D1 , .
. . ,Dn . Это продолжение единственно.Полученный набор функций {f1 (z), f2 (z), . . . , fn (z)} также называют аналитическим продолжением функции f0 (z) вдоль цепочкиобластей D0 , D1 , . . . , Dn , а функцию fn (z) называют результатом аналитического продолжения функции f0 (z) из области D0 вобласть Dn вдоль цепочки областей D0 , D1 , . . . , Dn .Регулярную в области Dj функцию fj (z) называют элементом.Пусть задан элемент f0 (z), z ∈Dn−1D1∈ D0 .
Если существует аналитическое продолжение этого (исD0Dnходного) элемента вдоль цепочкиобластей D0 , D1 , . . . , Dn , тоРис. 3.эту цепочку называют допустимой для элемента f0 (z), z ∈ D0 .Аналитической функцией (полной аналитической функцией) называется множество элементов, полученных из исходного элементапо всем допустимым для него цепочкам областей.Отметим, что в результате аналитического продолжения исходного элемента f0 (z), z ∈ D0 , вдоль двух различных допустимых цепочек областей в одну и ту же область Dn могут получиться различныеэлементы.
Таким образом, аналитическая функция может оказатьсянеоднозначной как функция от z. Неоднозначность может получитьсяуже на первом шаге аналитического продолжения (рис. 2).Во всех случаях аналитическую функцию с исходным элементомf0 (z), z ∈ D0 , будем обозначать F (z). Таким образом, аналитическая6Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функциифункция F (z) — это обобщение понятия регулярной функции. Аналитическая функция F (z) “составлена” или “склеена” из однозначныхэлементов — регулярных функций.Описанный общий подход к понятию аналитической функции оказывается неудобным при изучении конкретных функций. Не теряяобщности, можно ограничиться рассмотрением цепочек областей, состоящих из кругов с центрами на заданной кривой, т.е.
аналитическим продолжением вдоль кривых.2. Аналитическое продолжение вдоль кривойЭлементом в точке z0 будем называть функцию f0 (z), регулярную в некоторой окрестности точки z0 , т.е. в круге K0 : |z − z0 | < R0 ,R0 > 0.Определение 3. Пусть задана кривая γ с началом в точке a иконцом в точке b (рис. 4). И пусть в начальной точке z0 = a задан элемент f0 (z), т.е. регулярная в круге K0 : |z − z0 | < R0 функция f0 (z).Набор элементов fj (z), z ∈ Kj : |z − zj | < Rj , j = 1,2, .
. . ,n, называется аналитическим продолжением элемента f0 (z) вдоль кривойγ, если:1) точки a = z0 ,z1 ,z2 , . . . ,zn = b принадлежат γ и занумерованы впорядке ориентации кривой γ;2) пересечение Kj−1 ∩ Kj не пусто и fj−1 (z) ≡ fj (z) при z ∈ Kj−1 ∩ Kjдля j = 1,2, . . . ,n;3) дуга кривой γ от точки zj−1 до zj принадлежит объединениюKj−1 ∪ Kj для j = 0,1, . . . ,n.При этом элемент fn (z) называется результатом аналитическогопродолжения элемента f0 (z) из точки a в точку b вдоль кривой γ.Если для заданного элемента f0 (z) в начальной точке кривой γсуществует аналитическое продолжение вдоль γ, то будем говорить,что “элемент f0 (z) можно аналитически продолжить вдоль кривой γ”или “элемент f0 (z) допускает аналитическое продолжение вдоль кри-§ 1 Определение аналитической функции7Kn−1K2γK1Knzn−1z2z1b = znK0a = z0Рис. 4вой γ”, а кривую γ будем называть допустимой для элемента f0 (z).Заметим, что аналитическое продолжение элемента f0 (z) вдольдопустимой кривой γ определяет на кривой γ непрерывную функциюFγ (z) (значениями элементов fj (z)), а в каждой точке ζ ∈ γ — элементfζ (z) такой, чтоfζ (z) = Fγ (z), z ∈ γζ ,(2)где γζ — дуга кривой γ, лежащая в некоторой окрестности точки ζ.Можно доказать обратное утверждение: если на кривой γ задананепрерывная функция Fγ (z) и в каждой точке ζ ∈ γ задан элементfζ (z) такой, что выполняется условие (2), то из множества этих элементов fζ (z) можно выбрать конечное число элементов fj (z), j == 1,2, .
. . ,n, удовлетворяющих определению 3.Таким образом, эквивалентным определению 3 являетсяОпределение 4. Пусть в начальной точке a кривой γ задан эле-8Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функциимент fa (z). Множество элементов fζ (z), заданных во всех точках ζ ∈∈ γ, называется аналитическим продолжением элемента fa (z) вдолькривой γ, если существует такая непрерывная на кривой γ функцияFγ (z), что выполняется условие (2).Теорема 1. Аналитическое продолжение данного элемента вдольдопустимой для него кривой единственно, т.е. определяет на этойкривой единственную непрерывную функцию, а в каждой точке этойкривой — единственный элемент, удовлетворяющий условию (2).i Пусть сначала γ — простая незамкнутая кривая (рис.
4). И пустьдва набора элементов fj (z), z ∈ Kj , j = 1,2, . . . ,n, и f˜j (z), z ∈ K̃ j , j == 1,2, . . . ,ñ являются аналитическими продолжениями одного и тогоже элемента f0 (z), z ∈ K0 , заданного в начальной точке z0 кривой γ.Тогда существует такая область D, содержащая кривую γ (окрестность кривой γ), которая принадлежит как объединению кругов Kj ,j = 0,1, . . . ,n, так и объединению кругов K̃ j , j = 0,1, .
. . ,ñ. В области D функции fj (z), j = 0,1, . . . ,n определяют регулярную функциюf (z), а функции f˜j (z), j = 1,2, . . . ,ñ — регулярную функцию f˜(z). Поусловию в некоторой окрестности точки z0 эти функции совпадают:f (z) ≡ f˜(z) = f0 (z). По теореме единственности функции f (z) и f˜(z)совпадают во всей области D, в частности, на кривой γ и в окрестности каждой точки ζ ∈ γ.В общем случае кривую γ нужно разбить на конечное число простых незамкнутых дуг и поочередно для каждой дуги провести предыдущие рассуждения.yОпределение 5.Аналитической функцией с исходным элементом f0 (z) (порожденной элементом f0 (z)) называется множествоэлементов, полученных в результате аналитического продолженияэлемента f0 (z) вдоль всех допустимых для него кривых.Аналитическую функцию с исходным элементом f0 (z) будем обозначать F (z), хотя эта функция может быть неоднозначной как функ-§ 2 Логарифмическая функция9ция точки плоскости z.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
