Многозначные аналитические функции - Сидоров (1188231), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Поэтому функция F (z) в кольце K3 : 0 < |z − 4| < 2 распадается на две11регулярные ветви f3 (z) =и f4 (z) =.2 + g3 (z)2 + g4 (z)Функция f3 (z) регулярна во всем круге K, в частности, в точкеz = 4, так как 2 + g3 (z) 6= 0 при z ∈ K.Для функции f4 (z) точка z = 4 является полюсом, так как знаменатель 2 + g4 (4) = 0. Для нахождения порядка этого полюса найдемкратность нуля знаменателя 2 + g4 (z). Находим: (2 + g4 (z))0 |z=4 =11=g4 (z)|z=4 = − 6= 0.
Следовательно, z = 4 — полюс функции2z4f4 (z) — первого порядка.Итак, в проколотой окрестности точки z = 4 функция F (z) распадается на две регулярные ветви, для одной из которых z = 4 —регулярная точка, а для другой точка z = 4 — полюс первого порядка. A60Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функцииЗ а м е ч а н и е 1. Типичная ошибка при исследовании особых111√ такова: “Так как lim√ = , тоточек функции F (z) =z→0 2 + z22+ zz = 0 — устранимая особая точка функции F (z).” (?) Это утверждение неверно, так как устранимая особая точка — это изолированнаяособая точка однозначной регулярной функции, а функция F (z) неявляется однозначной.1. ЭтаП р и м е р 5. Исследуем особые точки функции F (z) =Ln zфункция аналитична во всей расширенной комплексной плоскости свыколотыми точками 0,∞,1.A 1) Пусть K1 : 0 <|z| < 1, g1 (z) — элемент функции Ln z в точкеz1 =1такой, что g1212= − ln 2.
Тогда f1 (z) =1— элементg1 (z)1функции F (z) в точке z1 = .2При аналитическом продолжении элемента f1 (z) вдоль окружно1сти |z| =после каждого оборота вокруг точки z = 0 получается2новыйэлемент:111→→→ ... .g1 (z)g1 (z) + 2πig1 (z) + 4πiСледовательно, z = 0 — логарифмическая точка ветвления функции F (z).2) Аналогично доказывается, что точка z = ∞ также являетсялогарифмической точкой ветвления функции F (z).3) В круге K : |z − 1| < 1 функция Ln z распадается на регулярныеветви gk (z) = g0 (z) + 2πki, k = 0, ± 1, ± 2, . .
. , где g0 (1) = 0. Поэтомуфункция F (z) в кольце K2 : 0 < |z − 1| < 1 распадается на регулярные1ветви fk (z) =, k = 0, ± 1, ± 2, . . . .gk (z)Если целое число k 6= 0, то функция fk (z) регулярна во всем кругеK, в частности, в точке z = 1, так как gk (z) 6= 0 при z ∈ K.Для функции f0 (z) точка z = 1 является полюсом, так как g0 (1) =§ 6 Особые точки аналитических функций611 = 0. А так как g0 (1) = = 1 6= 0, то z = 1 — полюс функцииz z=1f0 (z) первого порядка.1расИтак, в проколотой окрестности точки z = 1 функцияLn zпадается на бесконечное множество регулярных ветвей, каждая изкоторых, кроме одной, регулярна в точке z = 1, а для одной из этихветвей точка z = 1 — полюс первого порядка. A0z−13−z(см. пример 1, §4 и пример 11, §5).
Эта функция аналитична во всейрасширенной комплексной плоскости с выколотыми точками 1,3,∞.A 1) Пусть K1 : 0 < |z − 1| < 2,f1 (z) = g1 (z) − h1 (z) — элемент функции F (z) в точке z1 = 2 ∈ K1 , где g1 (z),h1 (z) — некоторые элементысоответственно функций Ln(z − 1), Ln(3 − z) в точке z1 = 2.При аналитическом продолжении элемента f1 (z) вдоль окружности |z − 1| = 1 после каждого оборота вокруг точки z = 1 получаетсяновый элемент:П р и м е р 6. Исследуем особые точки функции F (z) = Lnf1 (z) → f1 (z) + 2πi → f1 (z) + 4πi → .
. . ,так какg1 (z) → g1 (z) + 2πi → g(z) + 4πi → . . . ,h1 (z) → h1 (z) → h1 (z) → . . . .Следовательно, z = 1 — логарифмическая точка ветвления функцииF (z).2) Аналогично доказывается, что точка z = 3 также является логарифмической функцией F (z).3) В кольце 3 < |z| < ∞ функция F (z) распадается на регулярныеветви fk (z),k = 0, ± 1, ± 2, .
. . такие, что lim fk (z) = π(1 + 2k)i (см.z→∞пример 11, §5), поэтому для каждой из этих ветвей точка z = ∞является устранимой, т.е. регулярной. A=П р и м е р 7.Исследуем особые точки функции F (z) =p3z 2 (2 − z) (см. пример 2, §4 и пример 12, §5). Эта функция ана-62Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функциилитична во всей расширенной комплексной плоскости с выколотымиточками 0,2,∞.A 1) Пусть K1 : 0 < |z| < 2,f1 (z) = g1 (z)h1 (z) — элемент функцииF (z) в точке z1 = 1 ∈ K1 , где g1 (z),h1 (z) — некоторые элементы√3 2 √функций соответственно z , 3 2 − z в точке z1 = 1.При аналитическом продолжении элемента f1 (z) вдоль окружности |z| = 1 после трех оборотов вокруг точки z = 0 получаем:h 4πiih 8πiif1 (z) = g1 (z)h1 (z) → e 3 g1 (z) h1 (z) → e 3 g1 (z) h1 (z) →h 12πii→ e 3 g1 (z) h1 (z) ≡ f1 (z).Следовательно, z = 0 — алгебраическая точка ветвления третьегопорядка функции F (z).2) Аналогично доказывается, что z = 2 также алгебраическаяточка ветвления третьего порядка функции F (z).3) В кольце 2 < |z| < ∞ функция F (z) распадается на три регулярные ветви fk (z) = zhk (z), где функции hk (z) регулярны в точкеπz = ∞ и hk (∞) = e 3 (1+2k)i , k = 0,1,2 (см.
пример 12, §5). Следовательно, для каждой из этих ветвей точка z = ∞ является полюсомпервого порядка. AРассмотрим чуть более сложный пример.П р и м е р 8. Исследуем особые точки аналитической функции√√(1)F (z) = z + z − 2.A Исходный элемент этой функции выберем, например, в точке z0 =√= 1. В этой точке функция z имеет два элемента g0 (z), g1 (z)√ такие,что g0 (1) = 1, g1 (1) = −1, поэтому g1 (z) = −g0 (z).
Функция z − 2 вточке z0 = 1 также имеет два элемента h0 (z), h1 (z) такие, что h0 (1) == i, h1 (1) = −i, поэтому h1 (z) = −h0 (z).Пусть f0 (z) = g0 (z) + h0 (z) — исходный элемент функции F (z).Допустимыми кривыми для элемента f0 (z) являются все кривые сначалом в точке z0 = 1, не проходящие через точки z = 0 и z = 2, так§ 6 Особые точки аналитических функций63как такие и только такие кривые являются допустимыми для обоихэлементов g0 (z) и h0 (z).В результате аналитического продолжения элемента f0 (z) източки z0 в точку z вдоль допустимой для него кривой γ в точке zполучается элементppi∆ϕ1i∆ϕ2f (z) = |z|e 2 + |z − 2|e 2 ,(2)где ∆ϕ1 = ∆γ arg z,∆ϕ2 = ∆γ arg(z − 2) (см.
свойство 5, §3, рис. 10,11).1) Пусть D1 — кольцо 0 < |z| < 2 (рис. 31). Так как элементf0 (z) можно аналитически продолжить по любой кривой γ с началом в точке z0 , лежащей в области D1 , то элемент f0 (z) порождаетаналитическую в области D1 функцию, обозначим ее F1 (z).По условию f0 (1) = 1 + i. Найдемрезультат аналитического продолжения элемента f0 (z) вдоль окружностиγ : |z| = 1 с началом и концом в точкеz0 = 1, ориентированной против часовой стрелки, т.е.
совершим обходвокруг точки z = 0 в положительномнаправлении.γ0z0 = 12γ1После одного оборота в точке z0 =Рис. 31.= 1 получим элемент f1 (z), значениекоторого в точке z0 = 1 по формуле(2) равно f1 (1) = −1 + i, так как ∆ϕ1 = 2π,∆ϕ2 = 0. Поэтому f1 (z) == −g0 (z)+h0 (z). Таким образом, после первого оборота вокруг точкиz = 0 получаемf0 (z) = g0 (z) + h0 (z) → f1 (z) = −g0 (z) + h0 (z) 6≡ f0 (z).Аналогично, после второго оборота получаемf1 (z) = −g0 (z) + h0 (z) → g0 (z) + h0 (z) ≡ f0 (z).64Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функцииСледовательно, z = 0 — алгебраическая точка ветвления второгопорядка функции F1 (z).Заметим, что функция F (z) в каждой точке z 6= 0, z 6= 2 имеетчетыре различных элемента, в частности, в точке z0 = 1 четыре элемента ±g0 (z) ± h0 (z). Так элемент g0 (z) − h0 (z) получается в результате аналитического продолжения элемента f0 (z) = g0 (z) + h0 (z)вдоль окружности γ1 : |z −2| = 1 (рис.
31), а элемент −g0 (z)−h0 (z) —в результате аналитического продолжения элемента f0 (z) по кривойγγ1 .Пусть F2 (z) — аналитическая в кольце D1 функция с исходнымэлементом f2 (z) = g0 (z) − h0 (z), заданным в точке z0 = 1 значениемf2 (1) = 1 − i. Так же, как и для функции F1 (z) доказывается, чтоz = 0 — алгебраическая точка ветвления второго порядка функцииF2 (z).Итак, в кольце D1 аналитическая функция F (z) распадается надве различные аналитические ветви F1 (z) и F2 (z), для каждой изкоторых z = 0 — алгебраическая точка ветвления второго порядка.2) Аналогично доказывается, что:в кольце 0 < |z − 2| < 2 функция F (z) распадается на две аналитические ветви, для каждой из которых z = 2 — алгебраическая точкаветвления второго порядка;в кольце 2 < |z| < ∞ функция F (z) распадается на две аналитические ветви, для каждой из которых z = ∞ — алгебраическая точкаветвления второго порядка.
A2. Граничные особые точки регулярных функцийОпределение 2. Пусть функция f (z) регулярна в области D,границей которой является простая кривая Γ. Точка z0 ∈ Γ называется регулярной граничной точкой функции f (z), если функцию f (z)можно аналитически продолжить в точку z0 по кривой γ с концом вточке z0 , лежащей в области D, за исключением точки z0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
