Многозначные аналитические функции - Сидоров (1188231), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В против-§ 6 Особые точки аналитических функций65ном случае точка z0 называется граничной особой точкой функцииf (z).Отметим, что если z0 — регулярная граничная точка функцииf (z), то функцию f (z) можно аналитически продолжить в точку z0по любой кривой с концом в точке z0 , лежащей в области D, за исключением точки z0 . При этом в точке z0 получается один и тотже элемент f0 (z) для всех таких кривых. Поэтому существует такаяокрестность точки z0 , т.е.
круг K0 : |z − z0 | < R0 , что f0 (z) приz ∈ D ∩ K0 .Теорема 2. На границе круга сходимости степенного ряда∞Xf (z) =cn (z − z0 )n(3)n=0есть хотя бы одна особая точка его суммы.i Пусть K : |z − z | < R — круг сходимости ряда (3), 0 < R <0000< ∞, и на окружности Γ0 : |z − z0 | = R0 нет особых точек функцииf (z). Тогда эту функцию можно аналитически продолжить в каждуюточку ζ ∈ Γ0 и в точке ζ получится элемент fζ (z), z ∈ Kζ : |z −ζ| < Rζ ,такой, что fζ (z) = f (z) при z ∈ K0 ∩ Kζ .
Таким образом, окружностьΓ0 покрыта бесконечным числом кругов Kζ .По лемме Гейля-Бореля из этого бесконечного покрытия можновыбрать конечное покрытие, т.е. из всех кругов Kζ можно выбратьконечное число кругов Kj : |z − zj | < R0 , j = 1,2, . . . ,n таких, чтокаждая точка z ∈ Γ0 принадлежит хотя бы одному из этих кругов.Точку пересечения соседних окружностей |z−zj | = Rj и |z−zj+1 | == Rj+1 , лежащую вне круга K0 , обозначим zej , j = 1,2, . . . ,n (Kn+1 =f0 = min |zej − z0 |. Тогда функция f (z) и элементы= K1 ).
Пусть R16j6nf0 : |z − z0 | < Rf0fj (z), z ∈ kj , j = 1,2, . . . ,n определяют в круге Kрегулярную функцию F (z) — аналитическое продолжение функцииf0 . Поэтому ряд (3) сходится в круге Kf0f (z) из круга K0 в круг K66Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функциик функции F (z), т.е. радиус сходимости ряда (3) больше R0 , чтопротиворечит условию.yП р и м е р 9. Радиус сходимости ряда∞P(−1)n z 2n равен 1. Наn=0окружности |z| = 1 есть две особые точки его суммыточки ±i.
A1, а именно,1 + z2Следствие 1. Радиус сходимости ряда (3) равен расстоянию отточки z0 до ближайшей к ней особой точки функции f (z).П р и м е р 10. Не вычисляя коэффициенты ряда∞X1=Cn z n ,(z + 2)(z − 3i)n=0можно сразу сказать, что его радиус сходимости равен двум, так какближайшей к точке z = 0 особой точкой его суммы является точкаz = −2. AЗ а м е ч а н и е 2. Сходимость ряда (3) в точках границы егокруга сходимости не связана с регулярностью суммы ряда в этихточках. Приведем примеры.∞P1П р и м е р 11.
Ряд=z n расходится в каждой точке1−zn=0окружности |z| = 1. Для суммы ряда точка z = 1 — особая, а остальные точки этой окружности — регулярные. A∞ (−1)n+1 z nPсходится в точке z =nn=1= 1 и его сумма регулярна в этой точке, так как f (z) — это элементфункции Ln(1 + z). AП р и м е р 12. Ряд f (z) =z n+1сходится в каждой точкеn=1 n(n + 1)окружности |z| = 1, но точка z = 1 является особой для его суммы,П р и м е р 13.
Ряд f (z) =∞P§ 6 Особые точки аналитических функций67так как f (z) — это элемент функции z + (1 − z) Ln(1 − z), для которойz = 1 — точка ветвления. AЛитература1. М.А. Евграфов. Аналитические функции. — М.: Наука, 1965,1968.2. Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. Лекции по теориифункций комплексного переменного.
— М.: Наука, 1982, 1989.68Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функцииСодержание§ 1. Определение аналитической функции . . . . . . . .31. Аналитическое продолжение вдоль цепочки областей .32. Аналитическое продолжение вдоль кривой . . . . . . .6§ 2.
Логарифмическая функция . . . . . . . . . . . . . .91. Определение логарифмической функции . . . . . . . .92. Свойства логарифмической функции . . . . . . . . . .9§ 3. Степенна́я функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181. Определение степенной функции . . . . . . . . . . . . . 182. Свойства степенной функции . . . . .
. . . . . . . . . . 19§ 4. Арифметические операции над аналитическимифункциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25§ 5. Аналитические и регулярные ветви полныханалитических функций . . . . . . . . . . . . . . . . 301. Непрерывные ветви функции arg z . . . . . .
. . . . . . 302. Определение аналитической в области функции . . . . 363. Аналитические и регулярные ветви полных аналитическихфункций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37√4. Римановы поверхности функций Ln z и z . . . . . . . 52§ 6. Особые точки аналитических функций . . . .
. . . 541. Точки ветвления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552. Граничные особые точки регулярных функций . . . . 64Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
