Многозначные аналитические функции - Сидоров (1188231), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. . В таких случаях длязадания аналитической функции нужно задать ее исходный элемент.П р и м е р 4. Функция z z определяется формулой z z = ez Ln z ,поэтому ее значения в точке z 6= 0 находятся по формуле z z == ez(ln |z|+i arg z) .A Например, при z = i получаемπii = ei(ln |i|+i arg i) = e− 2 +2πk ,k = 0, ± 1, ± 2, . . .
.Это те же самые значения, которые принимает функция z i в точке i(пример 1, §3). A§ 5. Аналитические и регулярные ветви полныханалитических функций1. Непрерывные ветви функции arg zВ §2 (свойство 3) сформулированы следующие два определенияприращения аргумента z вдоль кривой γ, не проходящей через точкуz = 0.Г е о м е т р и ч е с к о е : ∆γ arg z — это угол поворота вектораz при движении точки z по кривой γ от начальной точки z0 кривой γдо точки z (рис. 13).А н а л и т и ч е с к о е : если z = r(t)eiϕ(t) , α 6 t 6 β, —§ 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций31параметрическое уравнение кривой γ, тоZβZ∆γ arg z =dϕ =γТак как dϕ =ϕ0 (t) dt = ϕ(β) − ϕ(α).α−y dx + x dy, тоx2 + y 2Z−y dx + x dy.∆γ arg z =x2 + y 2(1)γГеометрически или из свойств интеграла (1) получаются следующие свойства приращения аргумента.∆γγargz=∆γ arg zarg0z0zzγ1∆ γ10γРис.
13Рис. 14Свойство 1. Пусть кривые γ,γ1 с общим началом и общим концом не проходят через точку z = 0 и кривую γ можно непрерывнодеформировать в кривую γ1 , не проходя через точку z = 0, т.е. вобласти 0 < |z| < ∞ (рис. 14). Тогда∆γ arg z = ∆γ1 arg z.(2)Отметим, что если две кривые с общим началом и общим концомнельзя непрерывно деформировать друг в друга, оставаясь в области32Ю.
В. Сидоров Многозначные аналитические функции0 < |z| < ∞, то равенство (2) может оказаться неверным (пример 1,§2, рис. 9).Свойство 2. Если кривая γ не проходит через точку z = 0, то∆γ arg z = −∆γ −1 arg z.Свойство 3.z = 0, тоЕсли кривая γ = γ1 γ2 не проходит через точку∆γ1 γ2 arg z = ∆γ1 arg z + ∆γ2 arg z.Рассмотрим кривую γ с началом в точке z0 , не проходящую черезточку z = 0 (рис. 15).
Обозначим ∆ϕ(z) = ∆γ arg z, где z — переменная точка кривой γ. Из формулы (1) следует, что функция ∆ϕ(z)является непрерывной на кривой γ.zγ∆ϕ=z∆γargz0Dγz0z0∆ϕ0Рис. 15Рис. 16Пусть ϕ0 = arg z0 , т.е. ϕ0 — одно из значений аргумента z0 . Тогдафункцияϕ(z) = ϕ0 + ∆ϕ(z)(3)непрерывна на кривой γ и ϕ(z) = arg z, т.е. ϕ(z) — одно из значенийarg z. Такую функцию ϕ(z) называют непрерывной ветвью многозначной функции arg z на кривой γ.§ 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций33Рассмотрим теперь односвязную область D, принадлежащуюобласти 0 < |z| < ∞, т.е.
не содержащую точку z = 0 (рис. 16).Пустьϕ(z) = ϕ0 + ∆ϕ(z), z ∈ D,(4)где z0 ∈ D, ϕ0 = arg z0 (одно из значений arg z0 ), ∆ϕ(z) = ∆γ arg z,γ — кривая с началом в точке z0 , принадлежащая области D.Функция ϕ(z) однозначна в области D (свойство 1), непрерывна вD и в каждой точке z ∈ D значение ϕ(z) равно одному из значенийarg z. Такую функцию ϕ(z) называют непрерывной ветвью многозначной функции arg z в области D.Выбирая в формуле (4) вместо ϕ0 другие (все) значения arg z0 ,получаем все непрерывные ветви функции arg z в области D:ϕk (z) = ϕ0 + ∆ϕ(z) + 2πk,k = 0, ± 1, ± 2, .
. . .(5)Отметим, что в каждой точке z ∈ D каждое значение arg z равнозначению одной (и только одной) из функций (5), т.е. arg z = ϕk (z),где k — некоторое целое число.Таким образом, многозначная функция arg z в области D распадается на однозначные непрерывные ветви (5).Непрерывная ветвь функции arg z в области D полностью определяется своим значением в одной точке z0 ∈ D.П р и м е р 1. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезомпо лучу (−∞,0] (рис. 17) , z0 = 1,ϕ0 = arg 1 = 0. Тогда непрерывнаяветвь ϕ(z) в области D, заданная значением ϕ(1) = 0, такова, что−π < ϕ(z) < π (рис. 17).A Например, ϕ(x) = 0 при x > 0,ϕ(iy) = π2 при y > 0,ϕ(iy) = − π2при y < 0.
AВ формуле (4) точка z0 может быть граничной точкой области D.П р и м е р 2. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезомпо лучу [0, + ∞), z0 = 1 + i0 — точка верхнего берега разреза, ϕ0 == arg 1 = 0 (рис. 18). Тогда непрерывная ветвь ϕ(z) функции arg z в34Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функцииzγγϕ(z)01ϕ(z)01zРис. 17Рис. 18области D, заданная значением ϕ(1 + i0) = 0, такова, что 0 < ϕ(z) << 2π (рис.
18).π2при y > 0, ϕ(x) = π при x < 0, ϕ(iy) = 3π2при y < 0 (ср. пример 1), на верхнем берегу разреза ϕ(x + i0) = 0 приx > 0, на нижнем берегу разреза ϕ(x − i0) = 2π при x > 0. AПриведем пример области, в которой нельзя выделить непрерывную ветвь функции arg z.A Например, ϕ(iy) =П р и м е р 3. Пусть D — кольцо 1 < |z| < 3 (рис. 19). Предположим, что в этой области существует непрерывная ветвь ϕ(z) функцииarg z. Тогда функция ϕ(z) непрерывна, в частности, на окружностиγ : |z| = 2 (рис. 19).
Если, например, z0 = 2,ϕ(z0 ) = ϕ0 = arg 2, то вточках z ∈ γ по формуле (3) получаемϕ(z) = ϕ0 + ∆γ arg z,откуда при ∆γ arg z = 2π (после одного оборота вокруг точки z = 0по окружности γ против часовой стрелки) получаем ϕ(z0 ) = ϕ0 + 2π,что противоречит равенству ϕ(z0 ) = ϕ0 . AТаким образом, в области D можно выделить непрерывную ветвьфункции arg z, если приращение аргумента ∆γ arg z не зависит откривой γ, т.е. если для любой замкнутой кривой γ, лежащей в областиD, имеет место равенство ∆γ arg z = 0. Другими словами, в областиD не должно быть простых замкнутых кривых, содержащих внутрисебя точку z = 0, т.е. нужно, чтобы в области D нельзя было обойтивокруг точки z = 0 (одновременно вокруг точки z = ∞).
Такой обла-§ 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функцийzγzγ∆ϕ∆ϕ03512 3−6 −5 −4 −3 −2 −1 0Рис. 1912 34 56Рис. 20стью является, например, вся комплексная плоскость с разрезом понеограниченной кривой, соединяющей точки z = 0 и z = ∞. В такойобласти и в любой ее подобласти многозначная функция arg z допускает выделение однозначных непрерывных ветвей.П р и м е р 4. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезомпо кривой z = πt eit ,0 6 t < ∞ (рис. 20) и ϕ(z) — непрерывная ветвь функции arg z вобласти D такая, что ϕ(5) = 2π.
Тогдаϕ(z) = 2π + ∆γ arg z,где γ — кривые с началом в точке z0 = 5, лежащие в области D.Выбирая различные такие кривые γ, с помощью рис. 20 находим,например: ϕ(−6) = 3π, ϕ(7) = 4π, ϕ(−4) = π, ϕ(3) = 0, ϕ(−2) = −π,ϕ(1) = −2π. A36Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции2. Определение аналитической в области функцииОпределение 1. Пусть заданы область D и элемент f0 (z) вточке z0 ∈ D такой, что его можно аналитически продолжить по любой кривой с началом в точке z0 , лежащей в области D, т.е.
любаятакая кривая является допустимой для элемента f0 (z). Аналитической в области D функцией с исходным элементом f0 (z) (порожденной элементом f0 (z)) называется множество элементов, полученныхв результате аналитического продолжения элемента f0 (z) по всемкривым с началом в точке z0 , лежащим в области D.Аналитическую в области функцию будем обозначать f (z),F (z) ит.п., хотя эта функция может быть неоднозначной как функция точкиплоскости z.П р и м е р 5.1) Из свойства 2, §2 следует, что функция Ln z аналитична в области0 < |z| < ∞.2) Из свойства 1, §3 следует, что функция z b (b — любое комплексноечисло) аналитична в области 0 < |z| < ∞.3) Функция Ln[(z − a)(z − b)], где a,b — действительные числа, a < b,аналитична в расширенной комплексной плоскости с выколотымиточками z = a,z = b,z = ∞ (пример 1, §4).4) Функция (z−a)α (z−b)β , где a,b,α,β — действительные числа, a < b,аналитична в расширенной комплексной плоскости с выколотымиточками z = a,z = b,z = ∞ (пример 2, §4).
AП р и м е р 6. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезомпо лучу (−∞,0] (пример 1, рис. 17) и f0 (z) — элемент функции Ln z,заданной в точке z0 = 1 значением f0 (1) = 0. По свойству 2, §2 любаякривая γ с началом в точке z0 = 1, лежащая в области D, являетсядопустимой для элемента f0 (z). Следовательно, элемент f0 (z) порождает аналитическую в области D функцию, обозначим ее f (z). Изсвойств функции Ln z (§2) и функции ∆γ arg z (пример 1) получается,§ 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич.
функций37что f (z) — однозначная регулярная в области D функция:f (z) = ln |z| + iϕ,гдеϕ = arg z,− π < ϕ < π.(6)Аналогично, если g0 (z) — элемент функции z b в точке z0 = 1такой, что g0 (1) = 1, то этот элемент порождает аналитическую вобласти D функцию g(z), которая однозначна и регулярна в областиD:g(z) = eb(ln |z|+iϕ) , − π < ϕ < π. A(7)Вообще регулярная в области функция является аналитическойв этой области, т.е. регулярная в области функция — это частныйслучай аналитической в области функции.В примере 6 функцию (6) называют регулярной ветвью функцииLn z в области D, а функцию (7) — регулярной ветвью функции z b вэтой области.3.
Аналитические и регулярные ветви полныханалитических функцийОпределение 2. Аналитической ветвью полной аналитическойфункции F (z) в области D называется аналитическая в области Dфункция f (z) такая, что некоторый элемент функции f (z) является одним из элементов функции F (z).Если для заданной аналитической функции F (z) существует аналитическая ветвь в заданной области D, то говорят, что “в области Dможно выделить аналитическую ветвь функции F (z)” или “функцияF (z) допускает выделение аналитической ветви в области D”.Поясним более подробно определение 2.
Пусть задана полная аналитическая функция F (z) своим исходным элементом f0 (z) в точке z0 .И пусть существует точка z1 , принадлежащая заданной области D,такая, что элемент f0 (z) можно аналитически продолжить по некоторой кривой в точку z1 и в результате в точке z1 получится элементf1 (z) функции F (z).38Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функцииПредположим, что элемент f1 (z) можно аналитически продолжить по любой кривой, лежащей в области D, с началом в точкеz1 ∈ D, т.е. элемент f1 (z) порождает аналитическую в области Dфункцию f (z). Тогда каждый элемент f2 (z) функции f (z) в каждойточке z2 ∈ D является элементом функции F (z). Таким образом,f (z) — это множество элементов функции F (z) таких, что они получаются в результате аналитического продолжения элемента f1 (z)из точки z1 по всем кривым, лежащим в области D.
В этом случае функцию f (z) называют аналитической ветвью функции F (z) вобласти D.При этом может оказаться, что функция f (z) однозначна и, следовательно, регулярна в области D, так как в окрестности каждойточки z2 ∈ D функция f (z) является одним из элементов функцииF (z) и поэтому функция f (z) регулярна в точке z2 . Тогда функциюf (z) называют регулярной ветвью функции F (z) в области D.Определение регулярной ветви многозначной функции F (z) (заданной своими значениями и не обязательно аналитической) можносформулировать следующим образом.Определение 3.Регулярной ветвью многозначной функцииF (z) в области D называется такая регулярная в области функция f (z), что в каждой точке z ∈ D значение f (z) равно одному иззначений функции F (z).Для доказательства возможности выделения в области D регулярной ветви аналитической функции F (z) нужно доказать, что в некоторой точке z0 ∈ D существует такой элемент f0 (z) функции F (z),что:1) элемент f0 (z) можно аналитически продолжить по любой кривойс началом в точке z0 , лежащей в области D;2) аналитическая в области D функция f (z), порожденная элементомf0 (z), является однозначной и, следовательно, регулярной в области D.В примере 6 однозначность функции f (z) (и g(z)) доказана с помощью свойств приращения аргумента z (п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
