Многозначные аналитические функции - Сидоров (1188231), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Найдем элемент f2 (z),который получается в результате аналитического0продолжения элемента f1 (z) из точки z1 в ту же∆ϕ = 2πточку z1 вдоль окружности γ : |z| = |z1 | (рис. 11),ориентированной против часовой стрелки. (КоРис. 11.ротко будем говорить: “Совершим обход вокругточки z = 0 в положительном направлении”.)A По формуле (13) с помощью рис. 11 находим f2 (z1 ) = f1 (z1 ) + 2πi.Поэтому f2 (z) = f1 (z) + 2πi (см.
замечание 2).В этом случае будем говорить, что после одного оборота вокругточки z = 0 элемент f1 (z) переходит в элемент f1 (z) + 2πi и писатьf1 (z) → f1 (z) + 2πi.После второго, третьего и т.д. оборотов вокруг точки z = 0 вположительном направлении получаемf1 (z) → f1 (z) + 2πi → f1 (z) + 4πi → f1 (z) + 6πi → . . . .18Ю.
В. Сидоров Многозначные аналитические функцииАналогично, после первого, второго и т.д. оборотов вокруг точкиz = 0 в отрицательном направлении (по часовой стрелке) получаемf1 (z) → f1 (z) − 2πi → f1 (z) − 4πi → f1 (z) − 6πi → . . . .Итак, в результате аналитического продолжения после каждогооборота вокруг точки z = 0 в положительном и отрицательном направлениях в точке z1 получаются новые элементы.
В таком случаеточку z = 0 называют логарифмической точкой ветвления функцииLn z (см. §6). AЗ а м е ч а н и е 4. Пусть f1 (z) — элемент функции Ln z, заданный в точке z1 6= 0. Аналитическую функцию с исходным элементомf1 (z) обозначим F (z). По свойствам функции Ln z получается, чтофункция F (z) — это множество тех же элементов, что и множествоэлементов функции Ln z. Во многих задачах не имеет значения, какой из элементов аналитической функции принят за исходный (см.примеры 2–4). Поэтому функцию F (z) также называют логарифмической и обозначают Ln z. Таким образом, Ln z — это совокупностьаналитических функций, имеющих одно и то же множество элементов и отличающихся друг от друга только исходными элементами.В этом случае будем говорить также, что Ln z — это одна аналитическая функция с точностью до исходного элемента.§ 3.
Степенна́я функция1. Определение степенной функцииПри действительных β и x > 0 справедлива формула xβ = eβ ln x .Естественно распространить эту формулу на комплексные значения bи z так, чтобы выполнялось равенство z b = eb Ln z . Для этого сначаласформулируем определение суперпозиции аналитических функций.Определение 1. Пусть F (z) — аналитическая функция с исходным элементом f0 (z), заданным в точке z0 , и пусть H(ζ) — аналитическая функция с исходным элементом h0 (ζ), заданным в точкеζ0 = f0 (z0 ).
Тогда функция g0 (z) = h0 (f0 (z)) регулярна в точке z0 как§ 3 Степенна́я функция19суперпозиция регулярных функций, т.е. является элементом в точкеz0 . Аналитическая функция с исходным элементом g0 (z) называетсясуперпозицией аналитических функций F (z) и H(ζ) и обозначаетсяG(z) = H(F (z)).Определение 2. Пусть f0 (z) — элемент функции Ln z, заданныйв точке z0 6= 0 (для определенности будем считать, что z0 = 1 иf0 (z) — элемент (1), §2) и b — любое фиксированное комплексноечисло. Аналитическую функцию с исходным элементомg0 (z) = ebf0 (z) ,z ∈ K0 : |z − 1| < 1,(1)будем обозначать eb Ln z (в силу определения 1), а также z b , и называтьстепенно́й функцией, т.е.
z b = eb Ln z .2. Свойства степенной функцииИз определения 2 следует, что все свойства степенной функцииполучаются из соответствующих свойств логарифмической функции.Свойство 1. Элемент (1) допускает аналитическое продолжениепо любой кривой γ с началом в точке z0 = 1, не проходящей черезточку z = 0.i Пусть множество элементов f (z), ζ ∈ γ, является аналитическимζпродолжением элемента f0 (z) вдоль кривой γ (такое продолжение существует по свойству 2, §2).
Тогда множество элементов gζ (z) == ebfζ (z) является аналитическим продолжением элемента (1) вдолькривой γ (определение 4, §1). yТаким образом, функция z b в каждой точке z 6= 0 состоит из элементовg(z) = ebf (z) ,(2)где f (z) — элементы функции Ln z.Свойство 2. Все значения функции z b в точке z 6= 0 определяются формулойz b = eb(ln |z|+i arg z) ,(3)20Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функциит.е.z b = eb[ln |z|+i(ϕ+2πk)] ,k = 0, ± 1, ± 2, . . . ,(4)где ϕ — одно из значений arg z.i Формулы (3), (4) получаются из формул (5), (6) §2.yП р и м е р 1.A 1) Пусть b = 0. Тогда по формуле (3) z 0 = 1 при z 6= 0. По условленной договоренности значение функции z 0 при z = 0 также равно1.
Таким образом, функция z 0 ≡ 1 регулярна во всей комплекснойплоскости.2) Пусть b = n, где n = 1,2, . . . . Тогда по формуле (3) при z 6= 0получаемz 1 = z,z n = z| · z ·{z. . . · z}при n = 2,3, . . . .n разДоопределяя эти функции в точке z = 0 равенством (0)n = 0, получаем, что функция z n регулярна во всей комплексной плоскости.Отметим, что только в случаях 1) и 2) элемент (1) можно аналитически продолжить по всем кривым с началом в точке z0 = 1,включая кривые, проходящие через точку z = 0, и при этом аналитическая функция с исходным элементом (1) оказывается регулярнойво всей комплексной плоскости.3) Пусть b = −n, n = 1,2, .
. . . Тогда по формуле (3) z b = z1n . Вэтом случае элемент (1) нельзя аналитически продолжить по кривой,проходящей через точку z = 0, так как z1n → ∞ при z → 0.Отметим, что только в случаях 1)–3) функция z b является однозначной.4) Пусть b = m.и mn , где m = ±1, ± 2, . . . , n = 2,3 . . mn — несокраbтимая дробь. Тогда по формуле (4) функция z = z n в каждой точкеz 6= 0 принимает ровно n различных значений:mmmz n = |z| n e n (ϕ+2πk)i ,где ϕ — одно из значений arg z.k = 0,1,2, . . . ,n − 1,(5)§ 3 Степенна́я функция211В частности, функцию z n называют корнем n-й степени из z и√√11обозначают: z 2 = z, z n = n z, n = 3,4, . . .
. Тогда из (5) получается,что если z 6= 0, тоp√1nz = n |z|e n (ϕ+2πk)i ,k = 0,1, . . . ,n − 1,(6)p√где ϕ = arg z, n |z| — арифметический корень. Функция n z, n =√= 2,3, . . . , является обратной к функции z n , так как ( n z)n = z.5) Пусть число b не является рациональным, т.е. или b — действительное иррациональное число, или Im b 6= 0. Тогда по формуле(4) получается, что функция z b в каждой точке z 6= 0 принимает бесконечное (счетное) число различных значений.Например, функция z i в точке z = i принимает значения ii =πi[ln= e |i|+i arg i] = e− 2 +2πk , k = 0, ± 1, ± 2, .
. . . AОтметим, что если b = β — действительное число, то формулу(4) можно записать так:z β = |z|β eβ(ϕ+2πk)i ,k = 0, ± 1, ± 2, . . . ,(7)где ϕ = arg z, |z|β > 0.Свойство 3. Пусть g(z) — элемент функции z b . Тогдаg 0 (z) =bg(z).z(8)i Из формулы (2) с учетом формулы (9), §2 получаем0bbg 0 (z) = ebf (z) = bf 0 (z)ebf (z) = ebf (z) = g(z). yzzСвойство 4. Пусть g(z) — элемент функции z b в точке z0 6= 0.Тогда этот элемент представляется рядом Тейлораg(z) = g(z0 )∞Xn=0Cbn1(z − z0 )n ,z0n(9)22Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функциисходящимся к g(z) в круге K0 : |z − z0 | < |z0 |, а все элементы функцииz b в точке z0 имеют видz b = z0b∞XCbnn=01(z − z0 )n ,z0n(10)где z0b — все значения функции z b в точке z0 ,Cb0 = 1,Cbn =b(b − 1) .
. . (b − n + 1),n!n = 1,2, . . . .i Из формулы (8) находимg 00 (z) = −bb 0bb2b(b − 1)g(z)+g(z)=−g(z)+g(z) =g(z).z2zz2z2z2n!По индукции находим g (n) (z) = Cbn n g(z) при n > 1. Следоваz(n)n n!тельно, g (z0 ) = Cb n g(z0 ), n = 1,2, . . . . По формуле Тейлора полуz0чаем ряд (9). Этот ряд сходится в круге K0 к функции g(z), так какфункция g(z) регулярна в круге K0 .Так как g(z0 ) может быть любым значением функции z b в точкеz0 , то все элементы функции z b в точке z0 в круге K0 имеют вид (10).yЗ а м е ч а н и е 1. В формуле (10) ряд под знаком суммы один итот же для всех значений z0b . Следовательно, любой элемент функцииz b в любой точке z0 6= 0 полностью определяется заданием своегозначения в этой точке (формула (9)).Из формул (4) и (10) получается, что если g(z) и g̃(z) — элементыфункции z b в одной и той же точке z0 6= 0, тоg̃(z) = g(z)e2πkbi ,где k — некоторое целое число.|z − z0 | < |z0 |,§ 3 Степенна́я функция23√П р и м е р 2.
Разложим все элементы функции n z, n = 2,3, . . .,в круге |z + 4i| < 4 в ряды Тейлора по степеням (z + 4i).A Формулу (10) можно получить формально такими же преобразованиями, как если бы z и z0 были действительными (замечание 3, §2).Получаем√11nz = z n = [−4i + (z + 4i)] n =1 11z + 4i nz + 4i n== (−4i) n 1 −= (−4i) 1 −4i4i∞X√iπ(−1)mn= 4e n (− 2 +2πk)Cm(z + 4i)m , k = 0,1, . . . ,n − 1. A1mn (4i)m=0Свойство 5. Пусть g1 (z) — элемент функции z b в точке z1 6=6= 0, определенный значением g1 (z1 ) = eb(ln |z1 |+iϕ1 ) , где ϕ1 — одно иззначений arg z1 . И пусть g2 (z) — результат аналитического продолжения элемента g1 (z) из точки z1 в точку z2 6= 0 вдоль кривой γ1 , непроходящей через точку z = 0 (рис. 10). Тогдаg2 (z2 ) = eb[ln |z2 |]+i(ϕ1 +∆γ1 arg z)] .(11)i Формула (11) получается непосредственно из формулы (13), §2.yП р и м е р 3. Пусть g1 (z) — элемент функции z b в точке z1 6= 0.Найдем элемент g2 (z), который получается в результате аналитического продолжения элемента g1 (z) из точки z1 в ту же точку z1 вдольокружности γ : |z| = |z1 |, ориентированной против часовой стрелки(рис.
11).A По формуле (11) с помощью рис. 11 находим g2 (z1 ) = g1 (z1 )e2πbi ,поэтому g2 (z) = g1 (z)e2πbi . Таким образом, после одного оборота вокруг точки z = 0 в положительном направлении получаемg1 (z) → g1 (z)e2πbi .24Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функцииПосле второго, третьего и т.д. оборотов вокруг точки z = 0 вположительном направлении получаемg1 (z) → g1 (z)e2πbi → g1 (z)e4πbi → g1 (z)e6πbi → .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
