Многозначные аналитические функции - Сидоров (1188231), страница 8
Текст из файла (страница 8)
27Рис. 28Склеим области Dk (“листы”) в одну поверхность так, чтобы наэтой поверхности функция Ln z была однозначна и непрерывна. Поформуле (30) получаемfk (x)|γ + = fk+1 (x)|γ −k= ln |x| + π(2k + 1),x < 0.k+1Поэтому склеим верхний берег разреза γk+ с нижним берегом раз−реза γk+1, k = 0, ± 1, ± 2, . . .
.На построенной “винтовой” поверхности (рис. 28) функция Ln zоднозначна и регулярна при z 6= 0 (по лемме об устранимой особенности). Эта поверхность называется римановой поверхностью функцииLn z. AП р и м е р 14. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезом√по лучу (−∞,0] (рис. 17). В этой области функция z распадаетсяна регулярные ветвиppiϕiϕf1 (z) = |z|e 2 и f2 (z) = − |z|e 2 ,(31)где ϕ = arg z, −π < ϕ < π (см. пример 6).54Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функцииВозьмем два экземпляра D1 и D2 области и будем считать, чтофункция fk (z) определена в области Dk , k = 1,2. Пусть γk+ — верхний,γk− — нижний берега разреза плоскости Dk .По формуле (31) получаем, что при x 6 0pf1 (x)|γ + = f2 (x)|γ − = i |x|,120Рис.
29pf1 (x)|γ − = f2 (x)|γ + = −i |x|.120Рис. 30Поэтому нужно склеить γ1+ с γ2− и γ1− с γ2+ (крест-накрест).√Получится риманова поверхность функции z с самопересечением(рис. 29). Но можно сначала повернуть плоскость D2 вокруг действительной оси на 180◦ , а затем склеить γ1+ с γ2− и γ1− с γ2+ . Тогда√получится риманова поверхность функции z без самопересечения√(рис.
30). На этой поверхности функция z однозначна и регулярнапри z 6= 0 (по лемме об устранимой особенности). A§ 6. Особые точки аналитических функцийОбщее определение особой точки аналитической функции являетсядовольно сложным и не будет детально рассматриваться в этом курсе.Однако, для знакомства сформулируем определение, приведенное в[1].Пусть аналитическая функция F (z) порождена исходным элементом f0 (z) в точке z0 и кривая γ1 с началом в точке z0 и концом в точкеz1 такова, что элемент f0 (z) можно аналитически продолжить вдоль§ 6 Особые точки аналитических функций55кривой γ1 в каждую точку z ∈ γ1 , z 6= z1 и нельзя продолжить в точкуz1 . Тогда пару (γ1 ,z1 ) называют особой “точкой” функции F (z).Вы знакомы с определением и классификацией изолированных особых точек однозначного характера.
Рассмотрим другие случаи особых точек аналитических функций.1. Точки ветвленияОпределение 1. Пусть функция F (z) аналитична в проколотойокрестности точки z0 и неоднозначна в этой окрестности. Тогда точкаz0 называется точкой ветвления функции F (z).П р и м е р 1.1) Функция Ln z аналитична и неоднозначна в области D : 0 < |z| << ∞. Область D является проколотой окрестностью точки z = 0и одновременно проколотой окрестностью точки z = ∞. Следовательно, z = 0 и z = ∞ — точки ветвления функции Ln z.2) Аналогично, точки z = 0 и z = ∞ — точки ветвления функции z b ,если b — нецелое число. AПриведем другое эквивалентное определение точки ветвления.Пусть функция F (z) аналитична в проколотой окрестности точкиz0 , т.е. в кольце K0 : 0 < |z − z0 | < R, если z0 6= ∞, или в кольцеK0 : R < |z| < ∞, если z0 = ∞.
И пусть f1 (z) — элемент функцииF (z) в точке z1 ∈ K0 . Совершим обход вокруг точки z0 , т.е. рассмотрим аналитическое продолжение элемента f1 (z) вдоль окружностиγ : |z − z0 | = |z1 − z0 |, если z0 6= ∞, γ : |z| = |z1 |, если z0 = ∞.При этом может оказаться, что после одного оборота вокруг точкиz0 в точке z1 получится тот же элемент f1 (z). Тогда по теореме омонодромии можно доказать, что функция F (z) однозначна и, следовательно, регулярна в кольце K0 . Поэтому z0 — изолированнаяособая точка однозначного характера функции F (z), т.е. z0 — либоустранимая особая точка, либо полюс, либо существенно особая точкафункции F (z).Если же после первого оборота вокруг точки z0 в точке z1 полу-56Ю.
В. Сидоров Многозначные аналитические функциичается новый элемент f2 (z) 6≡ f1 (z), т.е.f1 (z) → f2 (z) 6≡ f1 (z),то точка z0 называется точкой ветвления функции F (z).Точка ветвления может быть или логарифмической, или алгебраической (пример 4, §2; пример 3, §3).Л о г а р и ф м и ч е с к и е т о ч к и в е т в л е н и я. Пустьв рассматриваемой ситуации при каждом следующем обороте вокругточки z0 в положительном и отрицательном направлениях в точке z1получаются новые элементы, отличные от всех предыдущих. Тогдаточка z0 называется логарифмической точкой ветвления функцииF (z).В этом случае функция F (z) в каждой точке z1 ∈ K0 имеет бесконечное множество различных элементов, однако значения этих элементов в точке z1 могут быть одинаковыми.
Подробнее: в этом случае функция F (z) “почти” в каждой точке z1 ∈ K0 имеет бесконечноемножество различных значений. Здесь и далее слово “почти” означает, что могут быть исключительные точки, в которых функцияF (z) имеет конечное число значений. Таких исключительных точекможет быть конечное число или бесконечное множество, но предельная точка этих точек не может принадлежать кольцу K0 .П р и м е р 2.1) Для функции (z 2 − 1) Ln z, аналитичной в кольце K0 : 0 < z << ∞, точки z = 0 и z = ∞ являются логарифмическими точкамиветвления.
Эта функция в каждой точке z ∈ K0 , z 6= ±1 имеет бесконечное число различных значений, а в точках z = ±1 — толькоодно значение, равное нулю.2) Функция sin z Ln z в каждой точке z того же кольца K0 , где z 6= πk,k = ±1,±2, . . . , имеет бесконечное множество различных значений,а в точках zk = πk, k = ±1,±2, . . . — только одно значение, равноенулю. Предельная точка z = ∞ точек zk не принадлежит кольцуK0 . AАлгебраическиеточкив е т в л е н и я. Пусть в§ 6 Особые точки аналитических функций57рассматриваемой ситуации после n оборотов (n > 2) вокруг точки z0в положительном направлении получаетсяf1 (z) → f2 (z) → . . .
→ fn (z) → fn+1 (z) ≡ f1 (z),где все элементы f1 (z), f2 (z), . . . , fn (z) различны. Тогда точка z0 называется алгебраической точкой ветвления функции F (z) порядка n.В этом случае функция F (z) в каждой точке z1 ∈ K0 имеет ровно nразличных элементов, однако значения некоторых из этих элементовв самой точке z1 могут быть одинаковыми.1√П р и м е р 3. Для функции sin n z, где n — натуральноеzчисло, n > 2, аналитической в кольце K0 : 0 < |z| < ∞, точки z = 0 иz = ∞ являются алгебраическими точками ветвления порядка n. Эта1, k = ±1, ± 2, . . .
, принимаетфункция в каждой точке z ∈ K0 , z 6=πk1ровно n различных значений, а в точках zk =, k = ±1, ± 2, . . . ,πkтолько одно значение, равное нулю.Справедлива следующая теоремаТеорема 1. Если z0 6= ∞ — алгебраическая точка ветвления порядка n аналитической в кольце K0 : 0 < |z − z0 | < R функции F (z),то функцию F (z) можно представить в виде ряда∞XkF (z) =Ck (z − z0 ) n ,k=−∞сходящегося к функции F (z) во всем кольце K0 .Если z0 = ∞ — алгебраическая точка ветвления порядка n аналитической в кольце K0 : R < |z| < ∞ функции F (z), то эту функциюможно представить в виде ряда∞XkF (z) =Ck z n ,k=−∞сходящегося к функции F (z) во всем кольце K0 .Такие ряды по дробным степеням называют рядами Пюизе.58Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функцииДоказательство этой теоремы см.
в [2].Покажем на примерах, как исследуются особые точки многозначных аналитических функций.1√ .2+ zЭта функция аналитична в расширенной комплексной плоскости с√выколотыми точками z = 0,z = ∞ (это особые точки функции z) и√z = 4 (в этой точке одно из значений знаменателя 2+ z равно нулю).A 1) Рассмотрим проколотую окрестность точки z = 0, не содержащую точку z = 4, например, кольцо K1 : 0 < |z| < 2. Выберем√в какой-нибудь точке этого кольца некоторый элемент функции z.√Пусть, например, z1 = 1,g1 (z) — элемент функции z в точке z1 = 11такой, что g1 (z) = 1.
Тогда f1 (z) =— элемент функции2 + g1 (z)F (z) в точке z1 = 1. Так как этот элемент можно аналитически продолжить по любой кривой, лежащей в кольце K1 , то элемент f1 (z)порождает аналитическую в кольце K1 функцию F1 (z) — аналитическую ветвь функции F (z) в кольце K1 .Рассмотрим аналитическое продолжение элемента f1 (z) вдольокружности |z| = 1. После первого оборота вокруг точки z0 получаем1f1 (z) →6≡ f1 (z),2 − g1 (z)после второго оборота11→≡ f1 (z).2 − g1 (z)2 + g1 (z)Следовательно, точка z = 0 является алгебраической точкой ветвления второго порядка функции F1 (z).Отметим, в кольце K1 можно выделить только одну аналитическую ветвь функции F (z) (с точностью до исходного элемента).
Поэтому точку z0 называют алгебраической точкой ветвления второгопорядка функции F (z).2) Рассмотрим кольцо K2 : 4 < |z| < ∞ — проколотую окрестП р и м е р 4. Исследуем особые точки функции F (z) =§ 6 Особые точки аналитических функций59ность точки z = ∞, не содержащую точек z = 0 и z = 4. Выберем в√точке z2 = 16 ∈ K2 элемент g2 (z) функции z такой, что g2 (16) = 4.1Тогда элемент f2 (z) =функции F (z) порождает аналитиче2 + g2 (z)скую ветвь F2 (z) (единственную с точностью до исходного элемента)функции F (z) в кольце K2 .При аналитическом продолжении элемента f2 (z) вдоль окружности |z| = 16 после первого оборота (вокруг точки z = ∞) получаем1f2 (z) →6≡ f2 (z),2 − g2 (z)после второго оборота11→≡ f2 (z).2 − g2 (z)2 + g2 (z)Следовательно, точка z = ∞ является алгебраической точкой ветвления второго порядка функции F2 (z) (и функции F (z)).3) Для исследования особой точки z = 4 воспользуемся тем, что√в круге K : |z − 4| < 2 функция z распадается на две регулярныеветви g3 (z) и g4 (z) = −g3 (z) такие, что g3 (4) = 2,g4 (4) = −2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
