Многозначные аналитические функции - Сидоров (1188231), страница 4
Текст из файла (страница 4)
. . .(12)Аналогично после оборотов вокруг точки z = 0 в отрицательномнаправлении находимg1 (z) → g1 (z)e−2πbi → g1 (z)e−4πbi → g1 (z)e−6πbi → . . . .(13)Из формул (12), (13) следует, что если число b не является рациональным, то z = 0 — логарифмическая точка ветвления функцииzb.mПусть теперь b = mn , где m = ±1, ± 2, . . . , n = 2,3, . . .
, n — несо2πkmкратимая дробь. Тогда числа e n i при k = 0,1, . . . ,n − 1 различны,2πnmа e n i = 1. Следовательно, по формуле (12) в точке z1 6= 0 функция2πkmmz n имеет ровно n различных элементов g1 (z)e n i , k = 0,1, . . . ,n−1, а2πnmg1 (z)e n i ≡ g1 (z).
(По формуле (13) получаются эти же элементы.)Итак, после первых n − 1 оборотов вокруг точки z = 0 в точке z1получаются различные между собой элементы, отличные от g1 (z), апосле n-го оборота получается элемент g1 (z). В таком случае точкаz = 0 называется алгебраической точкой ветвления порядка n функmции z n (см. §6). AВернемся к свойству 1. Докажем, что если b — нецелое число, тоэлемент (1) функции z b нельзя аналитически продолжить по кривой, проходящей через точку z = 0.i Предположим, что такое продолжение существует.
Тогда в точкеz = 0 оно определяет элемент g̃(z) функции z b , т.е. регулярную внекотором круге K̃ : |z| < R̃ функцию g̃(z).Пусть z1 6= 0, 0 < |z1 | < R̃. В окрестности точки z1 функцияg1 (z) = g̃(z) является элементом функции z b . Рассмотрим аналитическое продолжение этого элемента вдоль окружности γ : |z| = |z1 |,ориентированной против часовой стрелки.Так как функция g̃(z) регулярна в круге K̃, то в каждой точкеζ ∈ γ должен получиться элемент gζ (z) = g̃(z), в частности, в точке§ 4 Арифметические операции над аналитическими функциями25z1 должен получиться элемент g1 (z) = g̃(z).
Но в примере 3 доказано,что после одного оборота вокруг точки z = 0 в точке z1 получаетсяэлемент g1 (z)e2πbi 6= g1 (z), так как b — нецелое число. Это противоречие и доказывает сформулированное утверждение. yТаким образом, если b — нецелое число, то функция z b — этомножество элементов в точках z 6= 0, которые можно представить,например, по формулам (2), (9), (10).З а м е ч а н и е 2. Как и для Ln z (замечание 4, §2), символом z bобозначается совокупность аналитических функций, имеющих одно ито же множество элементов и отличающихся друг от друга толькоисходными элементами.З а м е ч а н и е 3.
Для исследования аналитической функцииF (z), заданной исходным элементом f0 (z) (как и в §§2, 3), обычновыясняют:1) какие кривые являются допустимыми для элемента f0 (z);2) как находить значения функции F (z), т.е. значения ее элементов;3) как находить производные ее элементов;4) как представлять ее элементы рядами Тейлора или Лорана.§ 4. Арифметические операции над аналитическимифункциямиОпределение 1.
Пусть аналитические функции G(z) и H(z)порождены исходными элементами g0 (z) и h0 (z) соответственно, заданными в одной и той же точке z0 . Тогда аналитические функциис исходными элементами g0 (z)±h0 (z), g0 (z)h0 (z) и hg00(z)(z) , если h0 (z0 ) 6=6= 0, называются соответственно суммой, разностью, произведениеми частным аналитических функций G(z) и H(z) и обозначаютсяG(z) ± H(z),G(z)H(z),G(z).H(z)Если аналитические функции заданы исходными элементами вразных точках, то арифметические операции над ними не определены.26Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функцииП р и м е р 1.
Рассмотрим функциюF (z) = Ln[(z − a)(z − b)],(1)где a, b — действительные числа, a < b.A Эту функцию можно определить как суперпозицию функций ζ == H(z) = (z − a)(z − b) и G(ζ) = Ln ζ (см. §3). Однако более простымдля изучения свойств функции (1) является эквивалентное определение ее по формулеF (z) = Ln[(z − a)(z − b)] = Ln(z − a) + Ln(z − b).(2)Свойства функции вида Ln(z − a), определенной как суперпозицияфункций ζ = z − a и Ln ζ, получаются непосредственно из свойствфункции Ln z.По определению 1 функция (2) — это аналитическая функция сисходным элементом f0 (z) = g0 (z) + h0 (z), где g0 (z), h0 (z) — некоторые элементы соответственно функций Ln(z − a), Ln(z − b) в одной итой же точке z0 , где z0 6= a, z0 6= b.Каждый из элементов g0 (z) и h0 (z) полностью определяется своимзначением в точке z0 (замечание 1, §2).(0)(0)Пусть g0 (z0 ) = ln |z0 − a| + iϕ1 , h(z0 ) = ln |z0 − b| + iϕ2 , где(0)(0)ϕ1 — одно из значений arg(z0 − a), ϕ2 — одно из значений arg(z0 −− b) (рис.
12). Тогда(0)(0)f0 (z0 ) = ln |(z0 − a)(z0 − b)| + ϕ1 + ϕ2 i.(3)Элементы g0 (z) и h0 (z) можно аналитически продолжить из точкиz0 в точку z вдоль любой кривой γ, не проходящей через точки z = aи z = b (свойство 2, §2), и значения этих продолжений вычисляютсяпо формуле (13), §2. Следовательно, элемент f0 (z) можно аналитически продолжить по любой такой кривой и в результате в точке zполучится такой элемент f (z) функции F (z), значение которого вычисляется по формуле(0)(0)f (z) = ln |(z − a)(z − b)| + ϕ1 + ϕ2 i + (∆ϕ1 + ∆ϕ2 )i,(4)§ 4 Арифметические операции над аналитическими функциями27где ∆ϕ1 = ∆γ arg(z − a), ∆ϕ2 = ∆γ arg(z − b) (рис.
12).Итак, значения функции (2) вычисляются по формуле (4).γz0z∆ϕ1(0)ϕ1a∆ϕ2(0)ϕ2bРис. 12Все остальные свойства функции (2) также получаются из соответствующих свойств функции Ln z. Например, если f (z) — элементфункции (2), то по формуле (9), §2 находимf 0 (z) =11+. Az−a z−bП р и м е р 2.
Рассмотрим функциюF (z) = (z − a)α (z − b)β ,(5)где a, b, α, β — действительные числа, a < b.A Свойства функции (5) получаются непосредственно из свойствфункции z b (§3).По определению 1 функция (5) — это аналитическая функция сисходным элементом f0 (z) = g0 (z)h0 (z), где g0 (z), h0 (z) — некоторыеэлементы соответственно функций (z − a)α , (z − b)β в одной и той жеточке z0 , где z0 6= a, z0 6= b.28Ю. В.
Сидоров Многозначные аналитические функции(0)(0)(0)Пусть g0 (z0 ) = |z0 − a|α eiαϕ1 , h0 (z0 ) = |z0 − a|β eiβϕ2 , где ϕ1 =(0)= arg(z0 − a), ϕ2 = arg(z0 − b) (рис. 12). Тогда(0)(0)αϕ1 +βϕ2 if0 (z0 ) = |z0 − a|α |z − b|β e.(6)По формуле (11), §3 получаем, что в результате аналитическогопродолжения элемента f0 (z) из точки z0 в точку z вдоль кривой γ, непроходящей через точки z = a,z = b, в точке z получается элементf (z) функции F (z), значение которого вычисляется по формулеαβ(0)(0)αϕ1 +βϕ2 i (α∆ϕ1 +β∆ϕ2 )if (z) = |z − a| |z − b| ee,(7)где ∆ϕ1 = ∆γ arg(z − a), ∆ϕ2 = ∆γ arg(z − b).Итак, значения функции (5) вычисляются по формуле (7).Найдем формулу для вычисления значений производной элементовфункции (5).
Пусть f (z) = g(z)h(z) — элемент функции (5) в точкеz 6= a, z 6= b, где g(z), h(z) — элементы соответственно функций(z − a)α , (z − b)β . Тогда, используя формулу (8), §3, получаемαβf 0 (z) = g 0 (z)h(z) + g(z)h0 (z) =g(z)h(z) + g(z)h(z) =z−az−bαβ=+f (z).z−a z−bИтак:f 0 (z) =αβ+z−a z−bf (z). A(8)П р и м е р 3. Покажем, как можно определить обратные тригонометрические функции.A Решим уравнение sin w = z относительно w при заданном (любом)значении z.
Получаем:1 iwe − e−iw = z,2i§ 4 Арифметические операции над аналитическими функциями29(eiw )2 − 2izeiw − 1 = 0,√eiw = iz + 1 − z 2 ,√w = −i Ln(iz + 1 − z 2 ).Поэтому естественно функцию arcsin z определить формулойp(9)arcsin z = −i Ln(iz + 1 − z 2 ).Аналогично, решая уравнения cos w = z, tg w = z, ctg w = z, получаем определение остальных обратных тригонометрических функцийформулами:p(10)arccos z = i Ln(z + z 2 − 1),i+zi,(11)arctg z = Ln2i−ziz−iarcctg z = Ln.(12)2z+iТаким же способом получаются формулы для обратных гиперболических функций.Таким образом, свойства обратных тригонометрических функцийи обратных гиперболических функций получаютсяиз соответствую√щих свойств уже изученных функций Ln z и z 2 − 1.Отметим, что каждую из этих функций можно задать какимнибудь ее исходным элементом. Например, функцию arctg z можноопределить ее исходным элементом∞X(−1)n 2n+1f0 (z) =z,2n + 1z ∈ K0 : |z| < 1.n=0Регулярная функция f0 (z) является аналитическим продолжением(единственным) функции arctg x с интервала −1 < x < 1 в круг K0 .Элемент f0 (z) можно представить интеграломZzf0 (z) =0dζ,1 + ζ2z ∈ K0 ,30Ю.
В. Сидоров Многозначные аналитические функциипо любой кривой в круге K0 .Подробнее об обратных тригонометрических и об обратных гиперболических функциях см. в [2]. AЗ а м е ч а н и е. Каждая из формул (1), (5), (9)–(12) задает однуаналитическую функцию с точностью до исходного элемента. Следует иметь в виду, что не всякая формула, содержащая логарифмыи√ степени, задает только одну аналитическую функцию. Например,z 2 — это две аналитические функции z и −z, Ln ez — это аналитические функцииz + 2πki, k = 0, ± 1, ± 2, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
