Многозначные аналитические функции - Сидоров (1188231), страница 6
Текст из файла (страница 6)
1, свойство 1). Ока-§ 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций39зывается, что в общем случае аналитическое продолжение обладаетследующим замечательным свойством.Теорема 1. (О монодромии) Пусть элемент f0 (z), заданный вточке z0 ∈ D, можно аналитически продолжить по любой кривой сначалом в точке z0 , принадлежащей области D. И пусть две кривыеγ1 и γ2 с общим началом в точке z0 и общим концом в точке z1 ∈∈ D, лежащие в области D, можно непрерывно деформировать другв друга, оставаясь в области D. Тогда в результате аналитическогопродолжения элемента f0 (z) из точки z0 в точку z1 вдоль кривых γ1и γ2 в точке z1 получается один и тот же элемент.Доказательство этой теоремы см.
в [2].Если D — односвязная область, то любые две кривые с общимначалом и общим концом можно непрерывно деформировать друг вдруга, оставаясь в области D. Поэтому из теоремы о монодромииполучаетсяСледствие. Аналитическая в односвязной области функция однозначна и, следовательно, регулярна.П р и м е р 7.
Пусть D — область примера 4 (рис. 20). Выберем вточке z0 = 5 элемент f0 (z) функции Ln z такой, что f0 (5) = ln 5 + 2πi.По свойству 2, §2 этот элемент допускает аналитическое продолжениепо любой кривой γ с началом в точке z0 = 5, лежащей в области D.Следовательно, элемент f0 (z) порождает аналитическую в областиD функцию (определение 1), обозначим ее f (z). По определению 2функция f (z) является аналитической ветвью функции Ln z в областиD.
Так как D — односвязная область, то по теореме о монодромиифункция f (z) однозначна и регулярна в области D, т.е. являетсярегулярной ветвью функции Ln z в области D.По свойству 6, §2 значения функции f (z) находятся по формулеf (z) = ln |z| + (2π + ∆γ arg z)i.40Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функцииНапример, с помощью рис. 20 находим:f (7) = ln 7 + 4πi,f (−4) = ln 4 + πi,f (3) = ln 3,f (1) = −2πi.Выбирая в точке z0 другие (все) значения Ln z0 получаем все регулярные ветви функции Ln z в области D:fk (z) = ln |z| + (2π + 2πk + ∆γ arg z)i, k = 0, ± 1, ± 2, . .
. .(8).Отметим, что в каждой точке z ∈ D каждое значение Ln z равнозначению одной (и только одной) из функций (8), т.е. Ln z = fk (z),где k — некоторое целое число.Таким образом, многозначная функция Ln z в области D распадается на однозначные регулярные ветви (8). AРегулярная ветвь функции Ln z в области D полностью определяется своим значением в одной точке z0 ∈ D.Отметим, что не каждая аналитическая функция F (z) обладаетпоследним свойством. Например, аналитическая функция F (z) == sin z Ln z в рассматриваемой области D распадается на регулярныеветви sin zfk (z), где fk (z) определяется формулой (8). Однако, значение всех этих ветвей, например, в точке z0 = π, одно и то же — равнонулю.1 + 2iП р и м е р 8.
Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезом по отрезкам [1,3],3+i[3,3 + i) и лучу (−∞ + i,3 + i] (рис. 21). Также, как и в примере 7, доказывается, что2 + i001аналитическая функция Ln(z − 1) в обла∆γ a2 − i0 3rgсти D распадается на регулярные ветви,(z−каждая из которых полностью определя1)ется своим значением в некоторой точкеγzz0 ∈ D — одним из значений Ln(z0 − 1).Рис. 21.Пусть z0 = 0 и f (z) — такая регулярная ветвь функции Ln(z − 1)в области D, что f (0) = πi. Поставим следующие задачи:§ 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций411) найти формулу для вычисления значений функции f (z);2) найти формулу для производной функции f (z);3) разложить функцию f (z) в ряду Тейлора в окрестности точки z1 == 1 + 2i по степеням (z − 1 − 2i).A 1) По свойству 6, §2 получаемf (z) = ln |z − 1| + (π + ∆γ arg(z − 1))i.(9)По этой формуле с помощью рис.
21 находим:iπif (4) = ln 3 + 2πi, f 1 += − ln 2 + ,22f (2 − i0) = 2πi, f (2 + i0) = 0.Как и в последних двух случаях, получается, что в каждой точкеразреза на разных его берегах значения функции f (z) отличаютсяна 2πi. Поэтому функцию f (z) нельзя “склеить” вдоль разреза так,чтобы получилась непрерывная функция.2) По свойству 4, §2 получаемf 0 (z) =1.z−13) Функция f (z) в окрестности точки z1 = 1+2i является одним изэлементов функции Ln(z−1) в этой точке.
По свойству 5, §2 получаемf (z) = Ln(z − 1) = Ln[(z − 1 − 2i) + 2i] = z − 1 − 2iz − 1 − 2i= Ln 2i 1 += Ln(2i) + Ln 1 +=2i2i∞πX(−1)n−1= ln 2 ++ 2πk i +(z − 1 − 2i)n ,(10)2n(2i)nn−1где k — некоторое целое число, которое нужно найти.По формуле (9) находим3πf (1 + 2i) = ln 2 + π +i,242Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функцииа по формуле (10) получаемf (1 + 2i) = ln 2 +π2+ 2πk i,откуда k = 1, и поэтому∞5πi X (−1)n−1+(z − 1 − 2i)n .(11)2n(2i)nn=1Этот ряд сходится к функции f (z) влюбой окрестности точки z1 = 1 ++ 2i, лежащей в области D, в частD1ности, в круге K0 : |z − 1 − 2i| < 1(рис.
22). Однако кругом сходимостиK0ряда является круг K : |z−1−2i| < 2.1 + 2iЛуч (−∞ + i,3 + i] “разрезает” кругK на две области: D1 : |z − 1 − 2i| <3+i< 2, Im z > 1 и D2 : |z − 1 − 2i| < 2,D2Im z < 1 (рис. 22).13В области D1 ряд (11) сходится кРис. 22.функции f (z) по теореме единственности, так как ряд (11) и функция f (z) регулярны в области D1 , иони совпадают в круге K0 .В области D2 ряд (11) сходится, но не к функции f (z), так какряд (11) — регулярная в круге K функция, а функция f (z) терпитразрыв на луче (−∞ + i,3 + i].
В точках z области D2 значения ряда(11) равны f (z) + 2πi. Af (z) = ln 2 +П р и м е р 9. Пусть D — та же самая область,√ что и в примере8 (рис. 21), и g(z) — регулярная ветвь функции 4 z − 1 в области Dπiтакая, что g(0) = e 4 . Решим для функции g(z) такие же задачи, каки для функции f (z) в примере 8.A 1) По свойству 5, §3 получаемg(z) =p4i|z − 1| e 4 (π+∆γ arg(z−1)) .(12)§ 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций43Например, по этой формуле с помощью рис. 21 находим: g(4) =√= i 4 3, g(2 − i0) = i, g(2 + i0) = 1.Как и в последних двух случаях, получается, что в каждой точкеразреза на разных его берегах значения функции g(z) отличаютсямножителем i, и поэтому функцию g(z) нельзя “склеить” вдоль разреза.2) По свойству 3, §3 получаемg 0 (z) =1g(z).4(z − 1)Например, по этой формуле и формуле (12) находим√√i43200g (4) =, g (0) = −(1 + i).1283) По свойству 4, §3 в окрестности точки z1 = 1 + 2i получаемg(z) ==√4√414z − 1 = [(z − 1 − 2i) + 2i] = (2i)2eπi(1+4k)8∞Xn=0C n1414z − 1 − 2i1+2i1(z − 1 − 2i)n ,(2i)n14=(13)где k — некоторое целое число, которое нужно найти.По формуле (12) находимg(1 + 2i) =√42e5πi8,а по формуле (13) получаемg(1 + 2i) =√4πi2e 8 (1+4k) ,откудаπie 8 (1+4k) = e5πi8.(14)44Ю.
В. Сидоров Многозначные аналитические функцииИз равенства (14) целое число k определяется неоднозначно, ноπiэто не существенно. Важно, что в формуле (13) множитель e 8 (1+4k)определяется однозначно формулой (14). Однако, в таких задачах воизбежание вычислительных ошибок полезно проверить, что равенство (14) в самом деле выполняется при некоторых целых значенияхk. В данном случае равенство (14) выполняется, например, при k = 1.Итак, из формул (13) и (14) находимg(z) =√42e5πi8∞Xn=0C n141(z − 1 − 2i)n .(2i)n(15)Так же, как и в примере 8, получается, что ряд (15) сходитсяк функции g(z) в области D1 (рис. 22), а в области D2 сходится кфункции ig(z).
AП р и м е р 10. Пусть D — вся ком- γ2плексная плоскость с разрезом по отрезку[a,b], где a и b действительные числа, a <a< b (рис. 23). Докажем, что в этой области:1) функцияz−aF (z) = Lnb−zраспадается на регулярные ветви;2) функцияF (z) = (z − a)α (b − z)1−α ,z0γ1bРис. 23.(16)(17)где α — действительное число, также распадается на регулярныеветви.A 1) Функцию (16) определим формулойF (z) = πi + Ln(z − a) − Ln(z − b)(ср. с примером 1, §4).(18)§ 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич.
функций45Пусть f0 (z) — исходный элемент функции (18) в точке z0 ∈ D,заданный значением(0)(0)f0 (z0 ) = πi + ln |z0 − a| + iϕ1 − ln |z0 − b| − iϕ2 ,(0)(19)(0)где ϕ1 = arg(z0 − a), ϕ2 = arg(z0 − b) (рис. 12).Элемент f0 (z) можно аналитически продолжить по любой кривойγ с началом в точке z0 , лежащей в области D. Следовательно, элементf0 (z) порождает аналитическую в области D функцию f (z) (определение 1), которая является аналитической ветвью функции (18) вобласти D (определение 2).Значения функции f (z) вычисляются по формулеz − a + (π + ϕ(0) − ϕ(0) )i + (∆ϕ1 − ∆ϕ2 )i,f (z) = ln (20)12b−zгде γ — кривые с началом в точке z0 , лежащие в области D, ∆ϕ1 == ∆γ arg(z − a), ∆ϕ1 = ∆γ arg(z − b) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
