Многозначные аналитические функции - Сидоров (1188231), страница 7
Текст из файла (страница 7)
12).Покажем, что функция f (z) однозначна и, следовательно, регулярна в области D.Пусть сначала z = z0 . Если кривая γ1 с началом и концом вточке z0 не совершает оборот вокруг разреза (на рис. 23 γ1 — простая замкнутая кривая, не содержащая внутри себя отрезок [a,b]), то∆γ1 arg(z − a) = 0, ∆γ1 arg(z − b) = 0, и по формуле (20) получаемf (z0 ) = f0 (z0 ). Если замкнутая кривая γ2 с началам и концом в точкеz0 совершает один оборот вокруг разреза, например, против часовойстрелки (на рис.
23 γ2 — простая замкнутая кривая, содержащая внутри себя отрезок [a,b]), то ∆γ2 arg(z − a) = 2π, ∆γ2 arg(z − b) = 2π, ипо формуле (20) снова получаем f (z0 ) = f0 (z0 ). Аналогично доказывается, что функция (20) однозначна в каждой точке z ∈ D.Итак, функция f (z), заданная формулой (20), является регулярнойветвью функции F (z) в области D.Все регулярные ветви функции F (z) в области D находятся поформулеfk (z) = f (z) + 2πki, k = 0, ± 1, ± 2, . . . .46Ю.
В. Сидоров Многозначные аналитические функции2) Пусть f0 (z) — элемент функции F (z) = (z − a)α (b − z)1−α ,заданный в точке z0 ∈ D (рис. 23) значением(0)f0 (z0 ) = |z0 − a|α |b − z0 |1−α eiαϕ1(0)(0)+i(1−α)(π+ϕ2 ),(21)(0)где ϕ1 = arg(z0 − a), ϕ2 = arg(z0 − b) (рис. 12).Элемент f0 (z) можно аналитически продолжить по любой кривойγ с началом в точке z0 , лежащей в области D (пример 2, §4).
Следовательно, f0 (z) порождает аналитическую в области D функциюf (z) — аналитическую ветвь аналитической функции F (z). Значения функции f (z) находятся по формуле (пример 2, §4)(0)f (z) = |z − a|α |b − z|1−α eiαϕ1(0)+i(1−α)(π+ϕ2 ) iα∆ϕ1 +i(1−α)∆ϕ2e,(22)где ∆ϕ1 = ∆γ arg(z − a), ∆ϕ2 = ∆γ arg(z − b) (рис. 12).По формуле (22) получаем: если кривая γ1 не совершает оборотвокруг разреза (рис. 23), то ∆ϕ1 = 0,∆ϕ2 = 0 и f (z0 ) = f0 (z0 ); есликривая γ2 делает оборот вокруг разреза (рис.
23), то ∆ϕ1 = 2π, ∆ϕ2 == 2π и снова f (z0 ) = f0 (z0 ). Аналогично доказывается, что функция(22) однозначна и, следовательно, регулярна во всей области D.Таким образом, f (z) — регулярная ветвь аналитической функцииF (z). Все регулярные ветви функции F (z) в области D находятся поформулеfk (z) = f (z)e2πkαi , k = 0, ± 1, ± 2, .
. . .Из этой формулы, в частности, получается, что функция F (z) распадается на конечное число различных регулярных ветвей, если α —рациональное число, и на бесконечное, если α — иррациональное число. AВ примере 10 точку z0 можно выбрать на верхнем или нижнем берегуразреза интервала (a,b). Приведем такие примеры.z−1в3−zплоскости с разрезом по отрезку [1,3] (рис. 24) такая, что f (2+i0) = 0.П р и м е р 11.
Пусть f (z) — регулярная ветвь функции Ln§ 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций47zРешим следующие задачи:1) найти формулу для вычисления значений функции f (z);γ2) найти формулу для производной функции f (z);3) разложить функцию f (z) в ряд Тейлора∆ϕ12 + i0 ∆ϕ2в окрестности точки z = 1 + 2i по степе13ням (z − 1 − 2i);Рис. 24.4) разложить функцию f (z) в ряд Лорана вкольце 3 < |z| < ∞ по степеням z.A 1) Из условия f (2+i0) = 0 и формулы (19) при z0 = 2+i0 получаем(0)(0)f (2 + i0) = πi + (ϕ1 − ϕ2 )i = 0.Следовательно, формула (20) для вычисления значений функцииf (z) таковаz − 1 + (∆ϕ1 − ∆ϕ2 )i,f (z) = ln (23)3 − zгде ∆ϕ1 = ∆γ arg(z − 1), ∆ϕ2 = ∆γ arg(z − 3) (рис. 24).Например, по формуле (23) находимx−1f (x + i0) = lnпри 1 < x < 3,3−xx−1f (x − i0) = ln+ 2πi при 1 < x < 33−x13πif (1 + 2i) = − ln 2 +.24f (4) = ln 3 + π,2) Так как Ln§2 находимz−1= πi + Ln(z − 1) − Ln(z − 3), то по свойству 4,3−zf 0 (z) =112−=z−1 z−3(z − 1)(3 − z)48Ю.
В. Сидоров Многозначные аналитические функции3) Разложим в ряды Тейлора все элементы функции Lnокрестности точки z = 1 + 2i (замечание 3, §2):Lnz−1в3−z2i + (z − 1 − 2i)z−1= Ln=3−z2 − 2i − (z −1 − 2i)2iz − 1 − 2iz − 1 − 2i= Ln+ Ln 1 +− Ln 1 −=2 − 2i2i2 − 2i∞X (−1)n−113πi+ 2πki +(z − 1 − 2i)n += ln √ +4n(2i)n2n=1∞X1+(z − 1 − 2i)n , k = 0, ± 1, ± 2, . . . .n(2 − 2i)nn=1Так как функция f (z) в окрестности точки z = 1 + 2i являетсяодним из этих элементов, то∞X13πi11nf (z) = − ln 2 ++ 2πki +− i (z − 1 − 2i)n ,24n2n (1 − i)nn=1где k — целое число, которое нужно найти.Подставляя в этот ряд z = 1 + 2i, получаем13πif (1 + 2i) = − ln 2 ++ 2πki,24а по формуле (23) (см. п.1)13πif (1 + 2i) = − ln +.24Следовательно, k = 0 и∞13πi X 1f (z) = − ln 2 ++24n2nn=11n− i (z − 1 − 2i)n .(1 − i)nЭтот ряд во всем его круге сходимости |z − 1 − 2i| < 2 сходится кфункции f (z).§ 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич.
функций49z−1распадается на регуляр3−zные ветви, для которых ряды Лорана по степеням z можно получитьследующим способом:(−1) 1 − z1z−11Ln= Ln= Ln(−1) + Ln(1 − )−3−zz1 − z3∞X13= −πi + 2πli −+− Ln 1 −znz nn=1∞X3n, l = 0, ± 1, ± 2, . . . .+nz n4) В кольце 3 < |z| < ∞ функция Lnn=1Так как функция f (z) является одной из этих ветвей, тоf (z) = −πi + 2πli +∞X3n − 1 1,n zn(24)n=1где l — целое число, которое нужно найти.Этот ряд сходится в области 3 < |z| < ∞.
Заметим, что из негополучается, например, f (4) = −πi + 2πli + α, где α — действительноечисло, а по формуле (23) (см. п.1) ) f (4) = ln 3 + πi. Следовательно,l=1и∞X3n − 1 1f (z) = πi +, 3 < |z| < ∞. An znn=1З а м е ч а н и е 1. Пусть f (z) — регулярная ветвь функцииz−aLnв плоскости с разрезом по отрезку [a,b], где a, b — действиb−zx−aтельные числа, a < b (рис. 25), такая, что f (x + i0) = lnприb−xa < x < b.Тогда, как и в примере 11, доказывается, что значения функцииf (z) вычисляются по формулеz − a + i(∆ϕ1 − ∆ϕ2 ),f (z) = ln (25)b−z50Ю.
В. Сидоров Многозначные аналитические функциигде ∆ϕ1 = ∆γ arg(z − a), ∆ϕ2 = ∆γ arg(z − b) (рис. 25).Формулой (25) будем пользоваться в дальнейшем при вычисленииинтегралов.zzγ∆ϕ1γ∆ϕ2x + i0a∆ϕ11 + i00b∆ϕ22Рис. 25Рис. 26pП р и м е р 12. Пусть f (z) — регулярная ветвь функции 3 z 2 (2 − z)в плоскости с разрезом по отрезку [0,2] (рис. 26) такая, что f (1+i0) == 1.Решим следующие задачи:1) найти формулу для вычисления значений функции f (z);2) найти формулу для производной функции f (z);3) разложить функцию f (z) в ряд Лорана в кольце 2 < |z| < ∞ постепеням z.A 1) Из условия f (1 + i0) = 1 и формулы (21) при z0 = 1 + i0, α = 23получаем(0)if (1 + i0) = e 3 (2ϕ1(0)+ϕ2 +π)= 1.Следовательно, формула (22) для вычисления значения функцииf (z) таковаpif (z) = 3 |z|2 |2 − z|e 3 (2∆ϕ1 +∆ϕ2 ) ,(26)где ∆ϕ1 = ∆γ arg(z), ∆ϕ2 = ∆γ arg(z − 2) (рис. 26).Например, по формуле (26) находимf (3) =√3πi9e− 3 ,f (−1) =√33e2πi3,f (x + i0) =p3x2 (2 − x)§ 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич.
функцийпри 0 < x < 2, f (x − i0) =x2 (2 − x)e−p32πi351.212) По формуле (8), §4 при a = 0, b = 2, α = , β = получаем33f 0 (z) =3z − 4f (z).3z(z − 2)Например, по формуле (26) имеем f (−1) =(27) находим√7 3 3 − πi0e 3.f (−1) =9(27)√33e2πi3и по формулеОтметим, что формулу (27) можно получить следующим образом.В окрестности каждой точки z(z 6∈ [0,2]) функция f (z) является суперпозицией двух функций: f (z) = g(ζ(z)),где ζ = ζ(z) = z 2 (2 − z),√3g(ζ) — некоторый элемент функции ζ в точке ζ = ζ(z).
Так как1g 0 (ζ) = 3ζ, то1g(ζ(z))ζ 0 (z) =3ζ(z)13z − 4= 2f (z)[z 2 (2 − z)]0 =f (z).3z (2 − z)3z(z − 2)f 0 (z) = g 0 (ζ)ζ 0 (z) =p3) В кольце 2 < |z| < ∞ функция 3 z 2 (2 − z) распадается на трирегулярные ветви, для которых ряды Лорана по степеням z можнополучить следующим способом:p13z 2 (2 − z) = (−z 3 ) 321−z13= zeπ+2πki3∞Xn=0cn1 (−2)n31,znгде k = 0,1,2.Так как функция f (z) является одной из этих ветвей, тоπ+2πk42if (z) = ze 31−−− ... ,3z 9z 2(28)52Ю. В.
Сидоров Многозначные аналитические функциигде k — целое число, которое нужно найти.Ряд (28) сходится в области 2 < |z| < ∞. Заметим, что коэффициенты ряда24g(z) = 1 −− 2 − ...3z 9zдействительны и g(z) → 1 при z → ∞. Поэтому g(x) > 0 при достаточно больших x > 2 (можно показать, что g(x) > 0 при x > 2).При таких значениях z = x по формуле (28) получаемf (x) = xg(x)eπ+2πki3= |f (x)|eπ+2πki3.А по формуле (26) находимπif (x) = |f (x)|e− 3 .Следовательно, eπ+2πki3− πi3f (z) = e∞Xn=0πi= e− 3 (откуда, например, k = −1) иcn1 (−2)n31z n−1, 2 < |z| < ∞. AЗ а м е ч а н и е 2.
Пусть f (z) — регулярная ветвь функции (z −−a)α ×(b−z)1−α , где a,b,α — действительные числа, a < b, в плоскостис разрезом по отрезку [a,b] (рис. 25) такая, что f (x + i0) = (x − a)α (b −− x)1−α > 0 при a < x < b. Тогда как и в примере 12, доказывается,что значения функции f (z) вычисляются по формулеf (z) = |z − a|α |b − z|1−α eiα∆ϕ1 +i(1−α)∆ϕ2 ,(29)где ∆ϕ1 = ∆γ arg(z − a), ∆ϕ2 = ∆γ arg(z − b) (рис. 25).4. Римановы поверхности функций Ln z и√zП р и м е р 13.
Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезомпо лучу (−∞,0] (рис. 17). В этой области функция Ln z распадаетсяна регулярные ветвиfk (z) = ln |z| + (ϕ + 2πk)i, k = 0, ± 1, ± 2, . . . ,(30)§ 5 Аналитические и регулярные ветви полных аналитич. функций53где ϕ = arg z, −π < ϕ < π (см. пример 6).Вместо того, чтобы рассматривать бесконечное число регулярныхфункций (30) в одной области D, возьмем бесконечное число идентичных экземпляров этой области. Обозначим эти области Dk , k = 0,±1, ±2, . . . , и будем считать, что в области Dk задана регулярнаяфункцияfk (z). Пусть γk+ — верхний, γk− — нижний берега разрезаплоскости Dk (рис. 27).Dkγk+00γk−Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
