Главная » Просмотр файлов » Лекции Дымарский 3 семестр

Лекции Дымарский 3 семестр (1187977), страница 9

Файл №1187977 Лекции Дымарский 3 семестр (Лекции Дымарский 3 семестр) 9 страницаЛекции Дымарский 3 семестр (1187977) страница 92020-09-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Множество F ⊂ Rn+1 = Rn × R1 называется элементарным относительно оси xn+1 = y, если существует такое измеримое замкнутое множество G ⊂ Rn и такие непрерывные функции f, g : G → R, удовлетворяющие оценке g(x) 6 f (x) на G, чтоF = {(x1 , ..., xn , y) = (x, y) : x ∈ G ∧ (g(x) 6 y 6 f (x))}. Теорема 3.7. (о мере элементарного множества) Элементарное множество измеримо иˆµ(F ) =(f (x) − g(x))dx.(3.3)GДоказательство. Мы построим два объединения цилиндров: A – вписанноев F и B – описанное около F . Затем покажем, что меры A и B есть суммыДарбу интеграла (3.3).Для произвольного разбиения P (G) = {Gi }Ni=1 обозначимmgi = inf g(x), Mig = sup g(x), mfi = inf f (x), Mif = sup f (x);x∈Gi{Ai =x∈Gix∈GiGi × [Mig , mfi ] при Mig 6 mfi ,0 при Mig > mfi ,A=N∪i=1Ai ,B=x∈GiBi = Gi × [mgi , Mif ];N∪i=1Bi .ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР39Задача 3.5.

Придумайте (нарисуйте) плоское элементарное множество итакое разбиение P (G), чтобы при некотором i в самом деле выполнялось неравенство Mig > mfi .В силу следствия 2.15.2, меры цилиндров{µ(Gi ) · (mfi − Mig ) при Mig 6 mfi ,µ(Ai ) =0 при Mig > mfi ,µ(Bi ) = µ(Gi ) · (Mif − mgi ).По определению, при i ̸= j множества Gi , Gj пересекаются по подмножествунулевой меры. Поэтому цилиндры Ai и Aj (а также Bi и Bj ) обладают тем жесвойством (докажите). Следовательно,µ(A) =N∑µ(Ai ) >i=1N∑µ(Gi ) · (mfi − Mig ) = S∗P (f ) − SP∗ (g).i=1Т.е.

мера множества A равна разности интегральных сумм. Поскольку A ⊂ F ,а функции g и f интегрируемы на G (обоснуйте), то для нижней меры µ∗ (F )(которая всегда существует) получаем нижнюю оценку:µ∗ (F ) > µ(A) = S∗P (f ) − SP∗ (g) ⇒ˆµ∗ (F ) > lim (S∗P (f ) − SP∗ (g)) =(f (x) − g(x))dx.p(P )→0G∗´Аналогично рассуждая, получаем верхнюю оценку для верхней меры: µ (F ) 6(f (x) − g(x))dx. Что доказывает теорему. G3.5.

Сведение кратного интеграла к повторному. Сначала рассмотрим частный случай, когда множество, по которому осуществляется интегрирование, является цилиндром.Теорема 3.8. (о повторном интеграле на цилиндре) Пусть G ⊂ Rn – измеримое множество, функция f задана на цилиндре cyl(G) := G × [a, b] иинтегрируема на нем.

Пусть для любой точки x = (x1 , ..., xn ) ∈ G существу´b´bет интеграл a f (x, y)dy. Тогда функция g(x) := a f (x, y)dy интегрируема наGиˆˆ· · · f (x1 , ..., xn , y) dx1 ...dxn dy =cyl(G)ˆˆ···Gˆbaf (x1 , ..., xn , y)dy  dx1 ...dxn =ˆˆ···Gˆbdx1 ...dxnf (x1 , ..., xn , y)dy.aПолученный интеграл называют повторным.Доказательство. Пусть P (G) = {Gi }Ni=1 – произвольное разбиение мелкости p(P ) = δ, а Ξ = {ξi }Ni=1 – произвольная выборка, подчиненная разбиению P . Пусть Q([a, b]) = {[yj−1 , yj ]}Kj=1 – произвольное разбиение отрезка40Я. М.

ДЫМАРСКИЙ[a, b] мелкости p(Q) = σ. Введенные разбиения порождают специальное разбиение P (G) × Q([a, b]) = {Pi × [yj−1 , yj ]} и специальную выборку {(ξi , yj−1 )}(i = 1, ..., ; j = 1, ..., K) цилиндра cyl(G). Из теоремыПифагора следует, что√мелкость ν специального разбиения равна ν 6 δ 2 + σ 2 .´´bНам надо доказать существование повторного интеграла G dx a f (x, y)dy.С этой целью мы сравним значение данного кратного интеграла с произвольнойинтегральной суммой Коши повторного интеграла; по ходу мы воспользуемсяспециальной интегральной суммой Коши данного кратного интеграла: bˆˆNˆ∑ f (ξi , y)dy  µ(Gi ) 6∆ := · · · f (x1 , ..., xn , y)dx1 ...dxn dy −i=1cyl(G)aˆN ∑Kˆ∑f (ξi , yj−1 ) µ(Gi ) (yj − yj−1 )+ · · · f (x, y) dxdy −i=1 j=1cyl(G) bˆN ∑KN∑∑ f (ξi , y)dy  µ(Gi )f (ξi , yj−1 ) µ(Gi ) (yj − yj−1 ) −i=1 j=1i=1a(мывоспользовались леммой 2.15.2 о мере цилиндра). Поскольку интеграл´f (x, y)dxdy существует, то его любая интегральная сумма сходиться кcyl(G)нему при единственном условии, что мелкость ν стремиться к нулю.

Значит,первое слагаемое ∆1 в оценке меньше, чем ε/2, если σ = δ достаточно малы.Второе слагаемое ∆2 оценивается так:ˆbN ∑K∑∆2 6f (ξi , yj−1 )(yj − yj−1 ) − f (ξi , y)dy µ(Gi ).i=1j=1a´b∑KНо j=1 f (ξi , yj−1 )(yj − yj−1 ) есть интегральная сумма интеграла a f (ξi , y)dy,который, согласно условию, существует. Следовательно, для каждого i =1, ..., N существует такая мелкость σi разбиения Qi отрезка [a, b], чтоˆbK∑f (ξi , yj−1 )(yj − yj−1 ) − f (ξi , y)dy < ε/(2µ(G)).j=1aИз N мелкостей σi выберем наименьшую, что обеспечит оценку∆2 6N∑εεεµ(Gi ) =· µ(G) = .2µ(G) i=12µ(G)2Следовательно, ∆ = ∆1 + ∆2 < ε.

Поскольку ε произвольно, то, согласноопределению 3.2, существует интегралˆˆ ˆb· · ·  f (x1 , ..., xn , y)dy  dx1 ...dxn =Ga41ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТРˆˆ···limp(P )→0N∑i=1Gˆbˆbdx1 ...dxnf (x1 , ..., xn , y)dy =af (ξi , y)dy  µ(Gi ) =ˆaˆ···f (x1 , ..., xn , y) dx1 ...dxn dy. cyl(G)Обобщением теоремы 3.8 являетсяТеорема 3.9.

(о повторном интеграле на элементарном множестве)Пусть F ⊂ Rn+1 – элементарное множество относительно оси xn+1 , т.е.F = {(x1 , ..., xn , xn+1 ) : (x1 , ..., xn ) ∈ G ∧φ(x1 , ..., xn ) 6 xn+1 6 ψ(x1 , ..., xn )},где G ⊂ Rn – измеримое множество, а функции φ и ψ непрерывны на G и всюду удовлетворяют оценке φ 6 ψ. Пусть функция f задана на множестве Fи интегрируема на нем.

Пусть для любой точки (x1 , ..., xn ) ∈ G существуетинтегралψ(x1ˆ,...,xn )g(x1 , ..., xn ) :=f (x1 , ..., xn , xn+1 ) dxn+1 .φ(x1 ,...,xn )Тогда функция g интегрируема на G иˆˆ· · · f (x1 , ..., xn , xn+1 ) dx1 ... dxn dxn+1 =Fˆˆ···ψ(x1ˆ,...,xn )dx1 ... dxnGf (x1 , ..., xn , xn+1 ) dxn+1 .φ(x1 ,...,xn )Доказательство основано на замене элементарного множества F цилиндромс основанием G.

Пустьa = min φ(x1 , ..., xn ), b = max ψ(x1 , ..., xn ), cyl(G) := G × [a, b] ⊃ F.GGОпределим функцию (см. рис. 3.1){f (x1 , ..., xn , xn+1 ), (x1 , ..., xn , xn+1 ) ∈ F,fe : cyl(G) → R, fe =0,(x1 , ..., xn , xn+1 ) ∈/ F..Поскольку fe интегрируема на измеримых множествах F и cyl(G) \ F , то, всилу аддитивности интеграла и определения функции fe, получаем:ˆˆˆˆˆfe(x)dx = fe(x)dx +fe(x)dx = fe(x)dx = f (x)dx.cyl(G)Fcyl(G)\FFF42Я.

М. ДЫМАРСКИЙНо на цилиндре справедлива теорема 3.8. Поэтому, и опять же в силу определения функции fe, получаемˆfe(x)dx =ˆˆ···ˆbdx1 ...dxnaGcyl(G)ˆˆ···=fe(x1 , ..., xn , xn+1 ) dxn+1 =ψ(x1ˆ,...,xn )f (x1 , ..., xn , xn+1 ) dxn+1 . dx1 ...dxnGφ(x1 ,...,xn )yybbGr (y )cG (c )GGr (j )aaxnx1xGРис. 3.2Рис. 3.1Рис. 3.33.6. Обсуждение теоремы 3.9.Кто славы, денег и чиновСпокойно в очередь добилсяА.

С. Пушкин. Евгений Онегин.Глава VIIIЕсли в условиях теоремы 3.9 множество G в свою очередь является элементарным относительнооси xn и еще раз выполнены условия теоремы 3.9, то´интеграл G g(x1 , ..., xn ) dx1 ...dxn можно заменить повторным:ˆˆ· · · f (x1 , ..., xn , xn+1 )dx1 ... dxn dxn+1 =Fˆe 1 ,...,xn−1 )ψ(xˆˆ···eGdx1 ...dxn−1ψ(x1ˆ,...,xn )dxnφ(xe 1 ,...,xn−1 )f (x1 , ..., xn+1 ) dxn+1 .φ(x1 ,...,xn )Чтобы проверить, является ли множество G эелементарным относительно осиxn , нужно спроектировать его на дополнительное подпространство Rn−1 вдольe ⊂ Rn−1 , которую следует рассмотретьвыбранной оси xn ; получим проекцию Ge графики которыхкак возможную область определения тех функций φe и ψ,огарничивают элементарное множество G.

На практике особенно важен случай, когда удается кратный интеграл свести к цепочке одномерных. В этомслучае есть надежда на применение формулы Ньютона-Лейбница.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР43Если множество, по которому осуществляют интегрирование, не являетсяэлементарным, то нужно попытаться разбить его на элементарные подмножества. Для множеств, граница которых состоит из конечного количества гладких поверхностей, такое разбиение всегда возможно.Не исключено, что теорему 3.9 можно применить к разным координатам.В этом случае говорят об изменении порядка интегрирования в повторноминтеграле. Если F – плоское множество, и теорема 3.9 применима по каждойоси, то (см. рис. 3.2)ˆˆbaˆψ(x)dxφ(x)ˆdf (x, y)dy =β(y)dycf (x, y)dx.(3.4)α(y)Формула (3.4) понадобиться нам для вычисления несобственных интегралов.Теорема 3.9 является частным случаем теоремы Тонелли-Фубини (ЛеонидТонелли (1885—1946), Гвидо Фубини (1879—1943)).

Идея перехода от кратногоинтеграла к повторному чрезвычайно плодотворна. Она восходит, по сути, кАрхимеду, чей метод можно сформулировать так (см. рис. 3.3):Теорема 3.10. Пусть G ⊂ Rn+1 – замкнутое измеримое множество, проекция которого на ось y := xn+1 есть отрезок [a, b]. Пусть для произвольногоc ∈ [a, b] сечение множества G n-мерной плоскостью y = c есть измеримоеn-мерное подмножество G(c). Пусть функцияf интегрируема на G и для´любого c ∈ [a, b] существует интеграл G(c) f (x1 , . . .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,04 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее