Лекции Дымарский 3 семестр (1187977), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Множество F ⊂ Rn+1 = Rn × R1 называется элементарным относительно оси xn+1 = y, если существует такое измеримое замкнутое множество G ⊂ Rn и такие непрерывные функции f, g : G → R, удовлетворяющие оценке g(x) 6 f (x) на G, чтоF = {(x1 , ..., xn , y) = (x, y) : x ∈ G ∧ (g(x) 6 y 6 f (x))}. Теорема 3.7. (о мере элементарного множества) Элементарное множество измеримо иˆµ(F ) =(f (x) − g(x))dx.(3.3)GДоказательство. Мы построим два объединения цилиндров: A – вписанноев F и B – описанное около F . Затем покажем, что меры A и B есть суммыДарбу интеграла (3.3).Для произвольного разбиения P (G) = {Gi }Ni=1 обозначимmgi = inf g(x), Mig = sup g(x), mfi = inf f (x), Mif = sup f (x);x∈Gi{Ai =x∈Gix∈GiGi × [Mig , mfi ] при Mig 6 mfi ,0 при Mig > mfi ,A=N∪i=1Ai ,B=x∈GiBi = Gi × [mgi , Mif ];N∪i=1Bi .ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР39Задача 3.5.
Придумайте (нарисуйте) плоское элементарное множество итакое разбиение P (G), чтобы при некотором i в самом деле выполнялось неравенство Mig > mfi .В силу следствия 2.15.2, меры цилиндров{µ(Gi ) · (mfi − Mig ) при Mig 6 mfi ,µ(Ai ) =0 при Mig > mfi ,µ(Bi ) = µ(Gi ) · (Mif − mgi ).По определению, при i ̸= j множества Gi , Gj пересекаются по подмножествунулевой меры. Поэтому цилиндры Ai и Aj (а также Bi и Bj ) обладают тем жесвойством (докажите). Следовательно,µ(A) =N∑µ(Ai ) >i=1N∑µ(Gi ) · (mfi − Mig ) = S∗P (f ) − SP∗ (g).i=1Т.е.
мера множества A равна разности интегральных сумм. Поскольку A ⊂ F ,а функции g и f интегрируемы на G (обоснуйте), то для нижней меры µ∗ (F )(которая всегда существует) получаем нижнюю оценку:µ∗ (F ) > µ(A) = S∗P (f ) − SP∗ (g) ⇒ˆµ∗ (F ) > lim (S∗P (f ) − SP∗ (g)) =(f (x) − g(x))dx.p(P )→0G∗´Аналогично рассуждая, получаем верхнюю оценку для верхней меры: µ (F ) 6(f (x) − g(x))dx. Что доказывает теорему. G3.5.
Сведение кратного интеграла к повторному. Сначала рассмотрим частный случай, когда множество, по которому осуществляется интегрирование, является цилиндром.Теорема 3.8. (о повторном интеграле на цилиндре) Пусть G ⊂ Rn – измеримое множество, функция f задана на цилиндре cyl(G) := G × [a, b] иинтегрируема на нем.
Пусть для любой точки x = (x1 , ..., xn ) ∈ G существу´b´bет интеграл a f (x, y)dy. Тогда функция g(x) := a f (x, y)dy интегрируема наGиˆˆ· · · f (x1 , ..., xn , y) dx1 ...dxn dy =cyl(G)ˆˆ···Gˆbaf (x1 , ..., xn , y)dy dx1 ...dxn =ˆˆ···Gˆbdx1 ...dxnf (x1 , ..., xn , y)dy.aПолученный интеграл называют повторным.Доказательство. Пусть P (G) = {Gi }Ni=1 – произвольное разбиение мелкости p(P ) = δ, а Ξ = {ξi }Ni=1 – произвольная выборка, подчиненная разбиению P . Пусть Q([a, b]) = {[yj−1 , yj ]}Kj=1 – произвольное разбиение отрезка40Я. М.
ДЫМАРСКИЙ[a, b] мелкости p(Q) = σ. Введенные разбиения порождают специальное разбиение P (G) × Q([a, b]) = {Pi × [yj−1 , yj ]} и специальную выборку {(ξi , yj−1 )}(i = 1, ..., ; j = 1, ..., K) цилиндра cyl(G). Из теоремыПифагора следует, что√мелкость ν специального разбиения равна ν 6 δ 2 + σ 2 .´´bНам надо доказать существование повторного интеграла G dx a f (x, y)dy.С этой целью мы сравним значение данного кратного интеграла с произвольнойинтегральной суммой Коши повторного интеграла; по ходу мы воспользуемсяспециальной интегральной суммой Коши данного кратного интеграла: bˆˆNˆ∑ f (ξi , y)dy µ(Gi ) 6∆ := · · · f (x1 , ..., xn , y)dx1 ...dxn dy −i=1cyl(G)aˆN ∑Kˆ∑f (ξi , yj−1 ) µ(Gi ) (yj − yj−1 )+ · · · f (x, y) dxdy −i=1 j=1cyl(G) bˆN ∑KN∑∑ f (ξi , y)dy µ(Gi )f (ξi , yj−1 ) µ(Gi ) (yj − yj−1 ) −i=1 j=1i=1a(мывоспользовались леммой 2.15.2 о мере цилиндра). Поскольку интеграл´f (x, y)dxdy существует, то его любая интегральная сумма сходиться кcyl(G)нему при единственном условии, что мелкость ν стремиться к нулю.
Значит,первое слагаемое ∆1 в оценке меньше, чем ε/2, если σ = δ достаточно малы.Второе слагаемое ∆2 оценивается так:ˆbN ∑K∑∆2 6f (ξi , yj−1 )(yj − yj−1 ) − f (ξi , y)dy µ(Gi ).i=1j=1a´b∑KНо j=1 f (ξi , yj−1 )(yj − yj−1 ) есть интегральная сумма интеграла a f (ξi , y)dy,который, согласно условию, существует. Следовательно, для каждого i =1, ..., N существует такая мелкость σi разбиения Qi отрезка [a, b], чтоˆbK∑f (ξi , yj−1 )(yj − yj−1 ) − f (ξi , y)dy < ε/(2µ(G)).j=1aИз N мелкостей σi выберем наименьшую, что обеспечит оценку∆2 6N∑εεεµ(Gi ) =· µ(G) = .2µ(G) i=12µ(G)2Следовательно, ∆ = ∆1 + ∆2 < ε.
Поскольку ε произвольно, то, согласноопределению 3.2, существует интегралˆˆ ˆb· · · f (x1 , ..., xn , y)dy dx1 ...dxn =Ga41ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТРˆˆ···limp(P )→0N∑i=1Gˆbˆbdx1 ...dxnf (x1 , ..., xn , y)dy =af (ξi , y)dy µ(Gi ) =ˆaˆ···f (x1 , ..., xn , y) dx1 ...dxn dy. cyl(G)Обобщением теоремы 3.8 являетсяТеорема 3.9.
(о повторном интеграле на элементарном множестве)Пусть F ⊂ Rn+1 – элементарное множество относительно оси xn+1 , т.е.F = {(x1 , ..., xn , xn+1 ) : (x1 , ..., xn ) ∈ G ∧φ(x1 , ..., xn ) 6 xn+1 6 ψ(x1 , ..., xn )},где G ⊂ Rn – измеримое множество, а функции φ и ψ непрерывны на G и всюду удовлетворяют оценке φ 6 ψ. Пусть функция f задана на множестве Fи интегрируема на нем.
Пусть для любой точки (x1 , ..., xn ) ∈ G существуетинтегралψ(x1ˆ,...,xn )g(x1 , ..., xn ) :=f (x1 , ..., xn , xn+1 ) dxn+1 .φ(x1 ,...,xn )Тогда функция g интегрируема на G иˆˆ· · · f (x1 , ..., xn , xn+1 ) dx1 ... dxn dxn+1 =Fˆˆ···ψ(x1ˆ,...,xn )dx1 ... dxnGf (x1 , ..., xn , xn+1 ) dxn+1 .φ(x1 ,...,xn )Доказательство основано на замене элементарного множества F цилиндромс основанием G.
Пустьa = min φ(x1 , ..., xn ), b = max ψ(x1 , ..., xn ), cyl(G) := G × [a, b] ⊃ F.GGОпределим функцию (см. рис. 3.1){f (x1 , ..., xn , xn+1 ), (x1 , ..., xn , xn+1 ) ∈ F,fe : cyl(G) → R, fe =0,(x1 , ..., xn , xn+1 ) ∈/ F..Поскольку fe интегрируема на измеримых множествах F и cyl(G) \ F , то, всилу аддитивности интеграла и определения функции fe, получаем:ˆˆˆˆˆfe(x)dx = fe(x)dx +fe(x)dx = fe(x)dx = f (x)dx.cyl(G)Fcyl(G)\FFF42Я.
М. ДЫМАРСКИЙНо на цилиндре справедлива теорема 3.8. Поэтому, и опять же в силу определения функции fe, получаемˆfe(x)dx =ˆˆ···ˆbdx1 ...dxnaGcyl(G)ˆˆ···=fe(x1 , ..., xn , xn+1 ) dxn+1 =ψ(x1ˆ,...,xn )f (x1 , ..., xn , xn+1 ) dxn+1 . dx1 ...dxnGφ(x1 ,...,xn )yybbGr (y )cG (c )GGr (j )aaxnx1xGРис. 3.2Рис. 3.1Рис. 3.33.6. Обсуждение теоремы 3.9.Кто славы, денег и чиновСпокойно в очередь добилсяА.
С. Пушкин. Евгений Онегин.Глава VIIIЕсли в условиях теоремы 3.9 множество G в свою очередь является элементарным относительнооси xn и еще раз выполнены условия теоремы 3.9, то´интеграл G g(x1 , ..., xn ) dx1 ...dxn можно заменить повторным:ˆˆ· · · f (x1 , ..., xn , xn+1 )dx1 ... dxn dxn+1 =Fˆe 1 ,...,xn−1 )ψ(xˆˆ···eGdx1 ...dxn−1ψ(x1ˆ,...,xn )dxnφ(xe 1 ,...,xn−1 )f (x1 , ..., xn+1 ) dxn+1 .φ(x1 ,...,xn )Чтобы проверить, является ли множество G эелементарным относительно осиxn , нужно спроектировать его на дополнительное подпространство Rn−1 вдольe ⊂ Rn−1 , которую следует рассмотретьвыбранной оси xn ; получим проекцию Ge графики которыхкак возможную область определения тех функций φe и ψ,огарничивают элементарное множество G.
На практике особенно важен случай, когда удается кратный интеграл свести к цепочке одномерных. В этомслучае есть надежда на применение формулы Ньютона-Лейбница.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР43Если множество, по которому осуществляют интегрирование, не являетсяэлементарным, то нужно попытаться разбить его на элементарные подмножества. Для множеств, граница которых состоит из конечного количества гладких поверхностей, такое разбиение всегда возможно.Не исключено, что теорему 3.9 можно применить к разным координатам.В этом случае говорят об изменении порядка интегрирования в повторноминтеграле. Если F – плоское множество, и теорема 3.9 применима по каждойоси, то (см. рис. 3.2)ˆˆbaˆψ(x)dxφ(x)ˆdf (x, y)dy =β(y)dycf (x, y)dx.(3.4)α(y)Формула (3.4) понадобиться нам для вычисления несобственных интегралов.Теорема 3.9 является частным случаем теоремы Тонелли-Фубини (ЛеонидТонелли (1885—1946), Гвидо Фубини (1879—1943)).
Идея перехода от кратногоинтеграла к повторному чрезвычайно плодотворна. Она восходит, по сути, кАрхимеду, чей метод можно сформулировать так (см. рис. 3.3):Теорема 3.10. Пусть G ⊂ Rn+1 – замкнутое измеримое множество, проекция которого на ось y := xn+1 есть отрезок [a, b]. Пусть для произвольногоc ∈ [a, b] сечение множества G n-мерной плоскостью y = c есть измеримоеn-мерное подмножество G(c). Пусть функцияf интегрируема на G и для´любого c ∈ [a, b] существует интеграл G(c) f (x1 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
