Лекции Дымарский 3 семестр (1187977), страница 12
Текст из файла (страница 12)
1 леммы 4.1 следует, что мелкость разбиения множества Y стремится кнулю при k → +∞. Поэтому интеграл по Y является пределом интегральнойсуммы Римана:ˆ∑∑f (F (ξi ))µ(F (qi )) .f (y)dy = lim f (F (ξi ))µ(F (qi ∩ X)) +k→∞Yi∈Ik (∂X)i∈I(Int(X))Для первой суммы, с учетом п. 2 теоремы 4.2 и леммы 4.3, получаем оценку ∑∑f (F (ξi ))µ(F (qi ∩ X)) 6|f (F (ξi ))| µ(F (qi )) 6i∈Ik (∂X)max |f (y)|y∈Y∑i∈Ik (∂X)(|detDF (ξi )| + ν(ξi , 1/k))µ(qi ) 6i∈I(∂X)(max |(f (y)| · (max |detDF (x)| + ε) · µy∈Yx∈X)qi→ 0 при k → ∞.i∈Ik (∂X)Для второй суммы получаем∑∑f (F (ξi ))µ(F (qi )) =i∈Jk (Int(X))∪f (F (ξi ))(|detDF (ξi )| + ν(ξi , 1/k))µ(qi ).i∈Jk (Int(X))Но, в силу п. 2 теоремы 4.2, |ν(ξi , 1/k)| → 0 при k → ∞ равномерно по всемξi ∈ X. Поэтому∑∑limf (F (ξi ))µ(F (qi )) = limf (F (ξi ))|detDF (ξi )|µ(qi ).k→∞i∈Jk (Int(X))k→∞i∈Jk (Int(X))54Я.
М. ДЫМАРСКИЙСравнивая с (4.7), получаем утверждение теоремы. Формула (4.5) замены переменной позволяет усилить теорему 4.3 о модулеякобиана:Следствие 4.1. В условиях теоремы 4.3 рассмотрим Ωt ⊂ U – множество измеримых областей, зависящих от числового параметра t ∈ (0, δ) иудовлетворяющих условиям: 1) диаметр diam(Ωt ) → 0 при t → +0, 2) пересечение ∩t∈(0,δ) Ωt = x0 . Тогдаµ(F (Ωt ))= |detDF (x0 )|.t→+0µ(Ωt )lim(4.8)Можно сказать, что дифференциал меры зависимой переменной y = F (x)выражается линейно через дифференциал меры независимой переменной c коэффициентом |detDF (x0 )|. Подчеркивая аналогию дифференциала меры собычным дифференциалом, заметим, что в случае композиции диффеоморфизмов F2 ◦F1 коэффициент искажения меры равен произведению коэффициентов,поскольку |detD(F2 ◦ F1 )(x0 )| = |detDF2 (y 0 )| · |detDF (x0 )|.Задача 4.6.Докажите формулу (4.8), воспользовавшись формулой меры´µ(F (Ω)) = F (Ω) dy, формулой (4.5) и теоремой о среднем для непрерывнойподынтегральной функции.4.4.
Геометрический смысл знака якобиана.Я на правую руку наделаПерчатку с левой руки.А.А. Ахматова. Песняпоследней встречиОбсуждаемый вопрос связан с понятием ориентации пространства. В основележитЛемма 4.6. (о двух классах базисов) Множество всех базисов n-мерногопространства разбивается на два непересекающихся класса по следующемуотношению: два базиса {e1 , ..., en } и {g1 , ..., gn } принадлежат одному классу тогда и т.т., когда матрица невырожденного линейного преобразованияA(ei ) := gi имеет положительный определитель: detA > 0.Доказательство. Указанное отношение является отношением эквивалентности поскольку оно:1) рефлексивно: id(ei ) = ei и det(id) = 1 > 0;2) симметрично: поскольку A−1 (gi ) = ei и det(A−1 ) = (detA)−1 > 0;3) транзитивно: если B(gi ) = hi и detB > 0, то (B · A)(ei ) = hi и det(B · A) =detB · detA > 0.Остается только заметить, что для знака определителя невырожденной матрицы есть в точности две возможности – или быть положительным, или отрицательным.
ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР55Определение 4.2. Задать ориентацию в Rn означает произвольно выбрать один из двух классов эквивалентных базисов и назвать его правым,а второй класс – левым. Обсуждение 4.3. Во-первых, заметим, что в классе правых (левых) базисов имеются ортонормированные базисы. Во-вторых, чтобы поменять ориентацию базиса достаточно поменять местами два соседних базисных вектора (втом числе первый с последним). На плоскости традиционно правым называют ортонормированный базис {i,j}, в котором поворот по меньшему углу отпервого вектора ко второму осуществляется против часовой стрелки. В трехмерном пространстве традиционно правым называют базис {i,j,k}, в которомтретий вектор определяется по правилу буравчика.
Заметим, что выбор поворота на плоскости против часовой стрелки возможен только в том случае, когда:1) плоскость погружена в трехмерное пространство, 2) выбрана нормаль n кплоскости, 3) мы рассматриваем плоскость против направления нормали (рис.6.5). Т.е.
базис {i,j,n} правый.Теперь мы можем перейти к осовному вопросу:Теорема 4.5. (о знаке якобиана) Пусть F : Rn ⊃ U → V ⊂ Rn – диффеоморфизм областей. Если в какой-либо точке x0 ∈ U определитель detDF (x0 ) >0, тогда в каждой точке x ∈ U линейное преобразование DF (x) сохраняеториентацию; если же detDF (x0 ) < 0, то в каждой точке x ∈ U преобразование DF (x) меняет ее на противоположную.Доказательство основано на постоянстве знака якобиана.
Допустим, чтов двух точках он противоположный. Соединим эти точки непрерывной кривойв U ; тогда получим, в силу непрерывности определителя, такую точку x ∈ U ,в которой detDF (x) = 0. Последнее противоречит определению диффеоморфизма. Остается сослаться на определение 4.2. В дальнейшем мы обсудим понятие ориентации (и, автоматически, смыслзнака якобиана) кривых и поверхностей.56Я. М. ДЫМАРСКИЙ§ 5. Формула ГринаФормула Джорджа Грина (1793-1841) является первым многомерным аналогом формулы Ньютона-Лейбница.
Она связывает интегрирование по плоскойзамкнутой кривой с интегрированием по ее внутренности.5.1. Ориентация замкнутой кривой.Из предосторожности,он обошел вокруг дома,будто гуляя.М.Ю. Лермонтов. Геройнашего времениВ этом пункте мы обсудим (без доказательств) согласование ориентацииплоскости с ориентацией плоской замкнутой кривой.Пусть γ ⊂ R2 – плоская замкнутая кусочно-гладкая кривая (ЗКГК). Напомним (см. рис 5.1), что такая кривая непрерывна и состоит из конечногоколичества гладких дуг:1. каждая из дуг задана вектор-функцией ri ∈ C 1 [ti−1 , ti ], ∀t ∈ (ti−1 , ti ) ,→r′i (t) ̸= 0 (i = 1, ..., N );2.
дуги правильно состыкованы в концах: ri (ti ) = ri+1 (ti ) (i = 1, ..., N −1),rN (tN ) = r1 (t0 ); существуют односторонние производные r′i (ti−1 + 0) ̸= 0и ri′ (ti − 0) ̸= 0;3. вектор-функция r(t) := ri (t) для t ∈ [ti−1 , ti ] инъективна.Примем без доказательства “очевидное” (но трудно доказываемое!) утверждениеЛемма 5.1. (Жордана о разбиении плоскости) Замкнутая кусочно-гладкаякривая γ разбивает плоскость R2 на две области – ограниченную Ωint (γ) инеограниченную Ωext (γ) и является их общей границей:∪∪R2 = Ωint (γ) Ωext (γ) γ, ∂Ωint (γ) = ∂Ωext (γ) = γ.Ограниченная область Ωint (γ) называется внутренностью кривой, неограниченная Ωext (γ) – внешностью кривой.Из теоремы о существовании обратного отображения следует, что в любой точке гладкости t ̸= ti существует такой вектор внутренней нормалиnint (t)⊥r′ (t), что точка r(t) + εnint (t) ∈ Ωint для всех достаточно малых ε > 0.Мы знаем, что параметризация кривой уже задает ее ориентацию – порядокточек, порожденный ростом параметра.
Оказывается, с помощью nint (t) ориентацию замкнутой кривой можно согласовать с ориентацией всей плоскости:Определение 5.1. Назовем ориентацию замкнутой кусочно-гладкой кривой положительной относительно внутренности Ωint (γ), если в каждой точкегладкости базис {r′ (t), nint (t)} правый. Лемма 5.2.
(о корректности определения правой ориентации) Если ориентация ЗКГК, порожденная ростом параметра t, правая в одной точке гладкости, то она правая в каждой точке гладкости.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР57Доказательство леммы для случая гладкой кривой сразу следует из компактности кривой и непрерывности вектор-функции r′ (t) ̸= 0 (обоснуйте). Случай кусочно-гладкой кривой примем без доказательства.Перейдем к уточнению понятия линейной связности.Определение 5.2.
Плоская область G называется односвязной, если любая замкнутая кусочно-гладкая кривая γ ⊂ G принадлежит области вместе сосвоей внутренностью: Ωint (γ) ⊂ G. Обсуждение 5.1. Множество G, будучи областью, уже линейно связно.Односвязность, интуитивно, означает, что область не имеет дырок.r '(t )y·tN·t1·t0·gr '(t )n int (t )Wint (g )r1 (t1 )xn(t )Рис. 5.2Рис. 5.1Примеры 5.1. односвязных областей: 1) полуплоскость, 2) открытый круг,3) внутренность многоугольника, 4) введенная в лемме 5.1 область Ωint (γ) (рис.5.1).Определение 5.3.
Пусть замкнутые кусочно-гладкие кривые γj (j =1, ..., N −1) попарно не пересекаются, принадлежат внутренности кусочно-гладкой кривой γ и не принадлежат внутренности друг друга:∩∀j ̸= k (j, k = 1, ..., N − 1) ,→ γjγk = ∅, γj ⊂ Ωint (γ), γi ̸⊂ Ωint (γk )(в этом случае замыкания внутренностей Ωint (γj ) ⊂ Ωint (γ)) (рис. 5.2). ОбластьN∪−1Ωint (γ, N ) := Ωint (γ) \Ωint (γj ),j=1в которой N − 1 “дырок” Ωint (γj ), называется N -связной, или, проще, – многосвязной. Граница N -связной области∂Ωint (γ, N ) = γ ∪ γ1 ∪ γ2 ... ∪ γN −1остоит из N связных компонент. Например, кольцо R является двусвязной11областью: ∂R = Sint∪ Sext(рис. 5.2).58Я.
М. ДЫМАРСКИЙОпределение 5.4. Граница γ ∪ γ1 ∪ γ2 ... ∪ γN −1 многосвязной области называется ориентированной положительно, если:1) замкнутая кривая γ ориентирована положительно относительно своейвнутренности Ωint (γ);2) для каждого j = 1, . . . , N − 1 замкнутая кривая γj ориентирована отрицательно относительно своей внутренности Ωint (γj ).Образно говоря, правым мы называем такое направление обхода границы многосвязной области, при которой область остается слева (см. рис.5.2). 5.2. Формула Грина.Мы всё ходим вокруг да околои никак не договоримсядо настоящей сути.А.П.
Чехов Рассказнеизвестного человекаНапомним понятие криволинейного интеграла второго рода (КИВР). Пусть:g которая задана гладкойG ⊂ R2 – область, содержащая кривую γ = AB,вектор-функцией R(s) = (x(s), y(s)) от натурального параметра s ∈ [0, S];dR(s) = (dx(s), dy(s))T – дифференциал; f(x, y) = (P (x, y), Q(x, y))T ((x, y) ∈G) – непрерывное векторное поле. КИВР по γ – это определенный интегралˆˆγˆSP dx+Qdy :=(f(R(s)), dR(s)) =0S(P (x(s), y(s))dx(s)+Q(x(s), y(s))dy(s)).0Для кусочно-гладких кривых КИВР определяется как сумма интегралов погладким дугам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
