Лекции Дымарский 3 семестр (1187977), страница 8
Текст из файла (страница 8)
т., когда существует интеграл ID ; приэтом они совпадают: IR = ID .Доказательство повторяет доказательство теоремы 2.6.2, но сейчас мы опираемся на ограниченность функции f как на условие, заложенное в определении 3.2.Замечание 3.1. Ранее мы установили (лемма 2.6.5), что существование интеграла Римана по схеме Римана на отрезке влечет ограниченность подынтегральной функции. Для интеграла на измеримом множестве G это утверждение в общем случае неверно даже при n = 1. Поэтому ограниченность функцииf присутствует в определении 3.2.34Я. М.
ДЫМАРСКИЙЗадача 3.2. Постройте контрпример неограниченной функции, интегрируемой по схеме Римана на измеримом множестве G ⊂ R1 . (Указание: в качествемножества G возьмите сходящуюся числовую последовательность.)Замечание 3.2. При n = 1 отличие определения 3.2 от определения 2.6.31интеграла Римана состоит, во-первых, в том, что измеримое множество´a G ⊂ Rне обязано быть отрезком. Во-вторых, согласно определению 2.6.4, b f (x)dx :=´b− a f (x)dx, т.е. интеграл Римана на ориентированном отрезке есть интегралвторого рода по ориентированной кривой [a, b]. Интеграл´ Римана на отрезкекак на измеримом множестве есть интеграл первого рода [a,b] f (x)dx по неориентированной кривой [a, b].
Точнее, имеет местоЛемма 3.4. (о преемственности) Интеграл Римана от ограниченной функции f на измеримом множестве [a, b] (a < b) существует в смысле определения 3.2 тогда и т. т., когда существует интеграл Римана в смысле определения 2.6.3; при этом интегралы совпадают:ˆˆbf (x)dx, где a < b.f (x)dx =a[a,b]Доказательство импликации ⇒ опирается на существование такого разбиения, при котором выполнен п. 2 теоремы 2.6.1. Остается применить для этогоже разбиения п. 2 теоремы 3.1.Доказательство импликации ⇐ опирается на п. 3 теоремы 3.1, в которомрассматривается множество всевозможных разбиений отрезка на измеримыеподмножества, в том числе и на подотрезки.
Остается только применить п. 3теоремы 3.1 и сослаться на п. 3 теоремы 2.6.1. 3.2. Классы интегрируемых функций.Теорема 3.3. Если функция f непрерывна на компактном измеримом множестве, то она интегрируема на нем.Задача 3.3. Докажите теорему 3.3. Указание: доказательство такое же,как у теоремы 2.6.7.Докажем более общую теорему, продемонстрировав удобство применениякритерия п.
2 теоремы 3.1.Теорема 3.4. Пусть функция f ограничена на компактном измеримоммножестве G и множество Γ ⊂ G ее точек разрыва имеет жорданову меруноль: µ(Γ) = 0. Тогда f интегрируема на G.Доказательство. Обозначим M := supx∈G |f (x)|. Пусть ε > 0 – произвольное число. В силу леммы 2.13.4, сущетвует открытое измеримое подмножествоD, которое обладает такими свойствами: Γ ⊂ D, µ(D) < ε. В силу открытостиD, на измеримом комапактном дополнении G \ D функция f непрерывна и,стало быть, интегрируема. В силу п. 2 теоремы 3.1, существует такое разбиение P ′ множества G \ D, что VP ′ (f ) < ε. Пересечение GD = D ∩ G двухизмеримых множеств является измеримым и его мера удовлетворяет оценке:ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР35µ(GD ) 6 µ(D) < ε.
Добавим к разбиению P ′ подмножество GD , получим разбиение P = P ′ ∪{GD } всего множества G. Используя полученные выше оценки,имеем:VP (f ) = VP ′ (f ) + v(f, GD )µ(GD ) < ε + 2M ε = (1 + 2M )ε.Остается еще раз сослаться на п. 2 теоремы 3.1. Следствие 3.1. Пусть функция f ограничена на компактном измеримомподмножестве G ⊂ Rn и множество ее точек разрыва Γ ⊂ G представляетсобой конечное объединение Γ = ∪mi=1 Gr(gi ) графиков непрерывных функцийменьшего числа переменных, т.е. Def (gi ) ⊂ Rki , где ki < n. Тогда функция fинтегрируема на G.Доказательство следует из леммы 2.15.6 о нулевой n-мере графика непрерывной функции, определенной на подмножестве пространства меньшей размерности. 3.3.
Свойства кратного интеграла. Свойства кратного интеграла связаны с изменением подынтегральной функции и с изменением множества, покоторому осуществляется интегрирование.Теорема 3.5. (зависимость от подынтегральной функции) Пусть G – измеримое множество. Справедливы утверждения:1. Мера и интеграл:ˆˆ1 · dx = µ(G);dx =GG2. Линейность интеграла: пусть функции f, g интегрируемы на G,α, β – произвольные числа, тогда существует интегралˆˆˆ(αf (x) + βg(x))dx = α f (x)dx + β g(x)dx.GGG3. Интегрируемость произведения и частного: пусть функции f, gинтегрируемы на G, тогда их произведение f g, а если inf G |g| > 0, тои частное f /g интегрируемы на G.4. Интегрируемость модуля функции: Если функция f интегрируема на G, то и функция |f | интегрируема на G, при этомˆ ˆf (x)dx 6|f (x)|dx.GG5. Интегрирование неравенств: если функции f, g интегрируемы наG и f 6 g на G, тоˆˆf (x)dx 6g(x)dx.GG36Я. М. ДЫМАРСКИЙ6.
Теорема о среднем: (а) Пусть функции f, g интегрируемы на G,функция g(x) > 0, а m 6 f (x) 6 M на G. Тогда существует такоечисло λ ∈ [m, M ], чтоˆˆf (x)g(x)dx = λg(x)dx.(3.2)GG(б) Если, дополнительно, G – замыкание области, а f непрерывна наG, тоˆˆ00∃x ∈ G :f (x)g(x)dx = f (x )g(x)dx;GGв частности, при g(x) ≡ 1ˆf (x)dx = f (x0 ) µ(G).GДоказательства пунктов 1- 6(а) аналогичны доказательствам тех же свойствинтеграла на отрезке.Доказательство п. 6(б). Поскольку G – измеримое множество, то оно ограничено; по условию G замкнуто. Следовательно, G – компактное множество.
Согласно теореме 2.3.7, непрерывная функция достигает на компактном множестве своих нижней и верхней граней. Поэтому сущетвуют точки x1 , x2 , в которых m = inf G f = f (x1 ), M = supG f = f (x2 ). Итак:∀x ∈ G ,→ f (x1 ) 6 f (x) 6 f (x2 ). Согласно п. 6 (а), существует числоλ ∈ [f (x1 ), f (x2 )], для которого выполнено равенство (3.2). Если λ = f (xi ),где i равно 1 или 2, то утверждение доказано. Если же λ ∈ (f (x1 ), f (x2 )),то из определения точных граней и в силу непрерывности функции f : 1) вокрестности точки x1 найдется точка x3 ∈ Int(G), в которой f (x3 ) < λ, 2)в окрестности точки x2 найдется точка x4 ∈ Int(G), в которой f (x4 ) > λ(обоснуйте это утверждение).
Поскольку внутренность Int(G), будучи областью, является линейно-связным множеством, на Int(G) справедлива теорема2.3.6 о промежуточных значениях: существует точка x0 ∈ Int(G), в которойf (x0 ) = λ. Теорема 3.6. (зависимость от множества интегрирования) Справедливы утверждения:1. Если функция f интегрируема на измеримом множестве G, то онаинтегрируема на любом измеримом подмножестве G′ ⊂ G.2. Если функция f : Rn ⊃ G1 ∪G2 → R интегрируема на G1 и на G2 , тогдаона интегрируема на объединении G1 ∪ G2 и имеет место формулаˆˆˆˆf (x)dx = f (x)dx + f (x)dx −f (x)dx.G1 ∪G2G1G1 ∩G2G2В частности, имеет место аддитивность интеграла: если функция f интегрируема на подмножествах G1 , G2 ⊂ Rn , которые пересекаются по подмножеству нулевой меры µ(G1 ∩ G2 ) = 0, то интегрална объединении этих множеств равен сумме интегралов:ˆˆˆf (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.G1 ∪G2G1G237ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР3.
Пусть функция f интегрируема на G, а {Gi }∞i=1 – последовательностьизмеримых множеств Gi ⊂ G таких, что limi→∞ µ(Gi ) = µ(G). Тогдаимеет место непрерывность интеграла по множеству:ˆˆlimf (x)dx =f (x)dx.i→∞GiGДоказательство п. 1. Дополним разбиение P ′ множества G′ мелкости p(P ′ )до разбиения P множества G с сохранением мелкости: p(P ) = p(P ′ ). Этоможно сделать, присоединив к элементам разбиения P ′ все элементы разбиенияизмеримого дополнения P \P ′ с мелкостью, которая не превосходит p(P ′ ).
Дляразности сумм Дарбу справедлива оценка:′VP ′ (f ) =N∑v(G′i , f ) µ(Gi ) 6i=1N∑v(Gj , f ) µ(Gj ) = VP (f ),j=1поскольку все слагаемые неотрицательные и правая сумма содержит все слагаемые из левой суммы. В силу интегрируемости f на G, при p(P ) → 0 разностьVP (f ) → 0 (п. 3 теоремы 3.1). Значит, и разность VP ′ (f ) → 0 при p(P ′ ) → 0.Что, согласно п. 3 теоремы 3.1, доказывает интегрируемость f на G′ .Доказательство п. 2. Обозначим пересечение E0 = G1 ∩ G2 и дополненияEi = Gi \ E0 (i = 1, 2). Все введенные множества измеримы и, в силу п. 1,функция f интегрируема на каждом из них. Пусть Pk (k = 0, 1, 2) – произвольные разбиения множеств Ek . Поскольку множества Ek не имеют общих точек,объединение разбиений P := P0 ∪ P1 ∪ P2 является разбиением объединенияE = G1 ∪ G2 = E0 ∪ E1 ∪ E2 . В силу п. 2 теоремы 3.1, разбиения Pk можновыбрать такими, чтобы разности VPk (f ) < ε/3, где ε > 0 – произвольное.
Тогда разность VP (f ) = VP0 + VP1 (f ) + VP2 (f ) < ε, что доказывает существованиеинтеграла на объединении E. Теперь можно составить интегральную суммуРимана, подчиненную разбиению P = P0 ∪ P1 ∪ P2 и перейти к пределу приусловии, что мелкость стремиться к нулю:ˆˆˆp→0SP,Ξ (f ) := SP0 ,Ξ0 (f ) + SP1 ,Ξ1 (f ) + SP2 ,Ξ2 (f ) →f dx +f dx +f dx.E0С другой стороны,p→0SP0 ∪P1 ,Ξ (f ) := SP0 ,Ξ0 (f ) + SP1 ,Ξ1 (f ) →p→0SP0 ∪P2 ,Ξ (f ) := SP0 ,Ξ0 (f ) + SP2 ,Ξ1 (f ) →E1ˆE2ˆf dx =E0 ∪E1f dx,G1ˆˆf dx =E0 ∪E2f dx,G2что доказывает утверждение.Доказательство п. 3 следует из аддитивности интеграла и оценокˆˆ ˆ f(x)dx−f(x)dxf (x)dx 6 sup |f (x)| µ(G \ Gi ) ==GGiG\GiGsup |f (x)| (µ(G) − µ(Gi )) → 0 при i → ∞.
GИз п. 2 теоремы 3.6 получаем:38Я. М. ДЫМАРСКИЙСледствие 3.2. (интегрирование и множество меры ноль)1. Если функция f ограничена и интегрируема на измеримом множествеG, то при изменении ее значений на подмножестве G′ ⊂ G меры ноль(с сохранением ограниченности) ее интегрируемость сохраняется, авеличина интеграла не меняется.2.
Пусть функция f определена и ограничена на замыкании G измеримогомножества. Тогда, если интегралыˆˆˆf (x)dx,f (x)dx,f (x)dxGGintGсуществуют, то все три одновременно, и при этом они равны.Задача 3.4. Докажите следствие 3.2.3.4. Элементарное множество. В этом пункте мы обобщим теорему оплощади криволинейной трапеции и заодно подготовимся к теореме о повторном интеграле. Напомним, подграфиком непрерывной неотрицательной функции f , определенной на замкнутом измеримом множестве G ⊂ Rn , мы называеммножествоn+1U nderGr(f ) = U Gr(f ) := {(x, y) ∈ G × R+.0 : 0 6 y 6 f (x)} ⊂ RБыло доказано (теорема 2.15.4), что подграфик – измеримое множество. Следующее понятие является обобщением понятия подграфикаОпределение 3.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
