Главная » Просмотр файлов » Лекции Дымарский 3 семестр

Лекции Дымарский 3 семестр (1187977), страница 8

Файл №1187977 Лекции Дымарский 3 семестр (Лекции Дымарский 3 семестр) 8 страницаЛекции Дымарский 3 семестр (1187977) страница 82020-09-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

т., когда существует интеграл ID ; приэтом они совпадают: IR = ID .Доказательство повторяет доказательство теоремы 2.6.2, но сейчас мы опираемся на ограниченность функции f как на условие, заложенное в определении 3.2.Замечание 3.1. Ранее мы установили (лемма 2.6.5), что существование интеграла Римана по схеме Римана на отрезке влечет ограниченность подынтегральной функции. Для интеграла на измеримом множестве G это утверждение в общем случае неверно даже при n = 1. Поэтому ограниченность функцииf присутствует в определении 3.2.34Я. М.

ДЫМАРСКИЙЗадача 3.2. Постройте контрпример неограниченной функции, интегрируемой по схеме Римана на измеримом множестве G ⊂ R1 . (Указание: в качествемножества G возьмите сходящуюся числовую последовательность.)Замечание 3.2. При n = 1 отличие определения 3.2 от определения 2.6.31интеграла Римана состоит, во-первых, в том, что измеримое множество´a G ⊂ Rне обязано быть отрезком. Во-вторых, согласно определению 2.6.4, b f (x)dx :=´b− a f (x)dx, т.е. интеграл Римана на ориентированном отрезке есть интегралвторого рода по ориентированной кривой [a, b]. Интеграл´ Римана на отрезкекак на измеримом множестве есть интеграл первого рода [a,b] f (x)dx по неориентированной кривой [a, b].

Точнее, имеет местоЛемма 3.4. (о преемственности) Интеграл Римана от ограниченной функции f на измеримом множестве [a, b] (a < b) существует в смысле определения 3.2 тогда и т. т., когда существует интеграл Римана в смысле определения 2.6.3; при этом интегралы совпадают:ˆˆbf (x)dx, где a < b.f (x)dx =a[a,b]Доказательство импликации ⇒ опирается на существование такого разбиения, при котором выполнен п. 2 теоремы 2.6.1. Остается применить для этогоже разбиения п. 2 теоремы 3.1.Доказательство импликации ⇐ опирается на п. 3 теоремы 3.1, в которомрассматривается множество всевозможных разбиений отрезка на измеримыеподмножества, в том числе и на подотрезки.

Остается только применить п. 3теоремы 3.1 и сослаться на п. 3 теоремы 2.6.1. 3.2. Классы интегрируемых функций.Теорема 3.3. Если функция f непрерывна на компактном измеримом множестве, то она интегрируема на нем.Задача 3.3. Докажите теорему 3.3. Указание: доказательство такое же,как у теоремы 2.6.7.Докажем более общую теорему, продемонстрировав удобство применениякритерия п.

2 теоремы 3.1.Теорема 3.4. Пусть функция f ограничена на компактном измеримоммножестве G и множество Γ ⊂ G ее точек разрыва имеет жорданову меруноль: µ(Γ) = 0. Тогда f интегрируема на G.Доказательство. Обозначим M := supx∈G |f (x)|. Пусть ε > 0 – произвольное число. В силу леммы 2.13.4, сущетвует открытое измеримое подмножествоD, которое обладает такими свойствами: Γ ⊂ D, µ(D) < ε. В силу открытостиD, на измеримом комапактном дополнении G \ D функция f непрерывна и,стало быть, интегрируема. В силу п. 2 теоремы 3.1, существует такое разбиение P ′ множества G \ D, что VP ′ (f ) < ε. Пересечение GD = D ∩ G двухизмеримых множеств является измеримым и его мера удовлетворяет оценке:ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР35µ(GD ) 6 µ(D) < ε.

Добавим к разбиению P ′ подмножество GD , получим разбиение P = P ′ ∪{GD } всего множества G. Используя полученные выше оценки,имеем:VP (f ) = VP ′ (f ) + v(f, GD )µ(GD ) < ε + 2M ε = (1 + 2M )ε.Остается еще раз сослаться на п. 2 теоремы 3.1. Следствие 3.1. Пусть функция f ограничена на компактном измеримомподмножестве G ⊂ Rn и множество ее точек разрыва Γ ⊂ G представляетсобой конечное объединение Γ = ∪mi=1 Gr(gi ) графиков непрерывных функцийменьшего числа переменных, т.е. Def (gi ) ⊂ Rki , где ki < n. Тогда функция fинтегрируема на G.Доказательство следует из леммы 2.15.6 о нулевой n-мере графика непрерывной функции, определенной на подмножестве пространства меньшей размерности. 3.3.

Свойства кратного интеграла. Свойства кратного интеграла связаны с изменением подынтегральной функции и с изменением множества, покоторому осуществляется интегрирование.Теорема 3.5. (зависимость от подынтегральной функции) Пусть G – измеримое множество. Справедливы утверждения:1. Мера и интеграл:ˆˆ1 · dx = µ(G);dx =GG2. Линейность интеграла: пусть функции f, g интегрируемы на G,α, β – произвольные числа, тогда существует интегралˆˆˆ(αf (x) + βg(x))dx = α f (x)dx + β g(x)dx.GGG3. Интегрируемость произведения и частного: пусть функции f, gинтегрируемы на G, тогда их произведение f g, а если inf G |g| > 0, тои частное f /g интегрируемы на G.4. Интегрируемость модуля функции: Если функция f интегрируема на G, то и функция |f | интегрируема на G, при этомˆ ˆf (x)dx 6|f (x)|dx.GG5. Интегрирование неравенств: если функции f, g интегрируемы наG и f 6 g на G, тоˆˆf (x)dx 6g(x)dx.GG36Я. М. ДЫМАРСКИЙ6.

Теорема о среднем: (а) Пусть функции f, g интегрируемы на G,функция g(x) > 0, а m 6 f (x) 6 M на G. Тогда существует такоечисло λ ∈ [m, M ], чтоˆˆf (x)g(x)dx = λg(x)dx.(3.2)GG(б) Если, дополнительно, G – замыкание области, а f непрерывна наG, тоˆˆ00∃x ∈ G :f (x)g(x)dx = f (x )g(x)dx;GGв частности, при g(x) ≡ 1ˆf (x)dx = f (x0 ) µ(G).GДоказательства пунктов 1- 6(а) аналогичны доказательствам тех же свойствинтеграла на отрезке.Доказательство п. 6(б). Поскольку G – измеримое множество, то оно ограничено; по условию G замкнуто. Следовательно, G – компактное множество.

Согласно теореме 2.3.7, непрерывная функция достигает на компактном множестве своих нижней и верхней граней. Поэтому сущетвуют точки x1 , x2 , в которых m = inf G f = f (x1 ), M = supG f = f (x2 ). Итак:∀x ∈ G ,→ f (x1 ) 6 f (x) 6 f (x2 ). Согласно п. 6 (а), существует числоλ ∈ [f (x1 ), f (x2 )], для которого выполнено равенство (3.2). Если λ = f (xi ),где i равно 1 или 2, то утверждение доказано. Если же λ ∈ (f (x1 ), f (x2 )),то из определения точных граней и в силу непрерывности функции f : 1) вокрестности точки x1 найдется точка x3 ∈ Int(G), в которой f (x3 ) < λ, 2)в окрестности точки x2 найдется точка x4 ∈ Int(G), в которой f (x4 ) > λ(обоснуйте это утверждение).

Поскольку внутренность Int(G), будучи областью, является линейно-связным множеством, на Int(G) справедлива теорема2.3.6 о промежуточных значениях: существует точка x0 ∈ Int(G), в которойf (x0 ) = λ. Теорема 3.6. (зависимость от множества интегрирования) Справедливы утверждения:1. Если функция f интегрируема на измеримом множестве G, то онаинтегрируема на любом измеримом подмножестве G′ ⊂ G.2. Если функция f : Rn ⊃ G1 ∪G2 → R интегрируема на G1 и на G2 , тогдаона интегрируема на объединении G1 ∪ G2 и имеет место формулаˆˆˆˆf (x)dx = f (x)dx + f (x)dx −f (x)dx.G1 ∪G2G1G1 ∩G2G2В частности, имеет место аддитивность интеграла: если функция f интегрируема на подмножествах G1 , G2 ⊂ Rn , которые пересекаются по подмножеству нулевой меры µ(G1 ∩ G2 ) = 0, то интегрална объединении этих множеств равен сумме интегралов:ˆˆˆf (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.G1 ∪G2G1G237ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР3.

Пусть функция f интегрируема на G, а {Gi }∞i=1 – последовательностьизмеримых множеств Gi ⊂ G таких, что limi→∞ µ(Gi ) = µ(G). Тогдаимеет место непрерывность интеграла по множеству:ˆˆlimf (x)dx =f (x)dx.i→∞GiGДоказательство п. 1. Дополним разбиение P ′ множества G′ мелкости p(P ′ )до разбиения P множества G с сохранением мелкости: p(P ) = p(P ′ ). Этоможно сделать, присоединив к элементам разбиения P ′ все элементы разбиенияизмеримого дополнения P \P ′ с мелкостью, которая не превосходит p(P ′ ).

Дляразности сумм Дарбу справедлива оценка:′VP ′ (f ) =N∑v(G′i , f ) µ(Gi ) 6i=1N∑v(Gj , f ) µ(Gj ) = VP (f ),j=1поскольку все слагаемые неотрицательные и правая сумма содержит все слагаемые из левой суммы. В силу интегрируемости f на G, при p(P ) → 0 разностьVP (f ) → 0 (п. 3 теоремы 3.1). Значит, и разность VP ′ (f ) → 0 при p(P ′ ) → 0.Что, согласно п. 3 теоремы 3.1, доказывает интегрируемость f на G′ .Доказательство п. 2. Обозначим пересечение E0 = G1 ∩ G2 и дополненияEi = Gi \ E0 (i = 1, 2). Все введенные множества измеримы и, в силу п. 1,функция f интегрируема на каждом из них. Пусть Pk (k = 0, 1, 2) – произвольные разбиения множеств Ek . Поскольку множества Ek не имеют общих точек,объединение разбиений P := P0 ∪ P1 ∪ P2 является разбиением объединенияE = G1 ∪ G2 = E0 ∪ E1 ∪ E2 . В силу п. 2 теоремы 3.1, разбиения Pk можновыбрать такими, чтобы разности VPk (f ) < ε/3, где ε > 0 – произвольное.

Тогда разность VP (f ) = VP0 + VP1 (f ) + VP2 (f ) < ε, что доказывает существованиеинтеграла на объединении E. Теперь можно составить интегральную суммуРимана, подчиненную разбиению P = P0 ∪ P1 ∪ P2 и перейти к пределу приусловии, что мелкость стремиться к нулю:ˆˆˆp→0SP,Ξ (f ) := SP0 ,Ξ0 (f ) + SP1 ,Ξ1 (f ) + SP2 ,Ξ2 (f ) →f dx +f dx +f dx.E0С другой стороны,p→0SP0 ∪P1 ,Ξ (f ) := SP0 ,Ξ0 (f ) + SP1 ,Ξ1 (f ) →p→0SP0 ∪P2 ,Ξ (f ) := SP0 ,Ξ0 (f ) + SP2 ,Ξ1 (f ) →E1ˆE2ˆf dx =E0 ∪E1f dx,G1ˆˆf dx =E0 ∪E2f dx,G2что доказывает утверждение.Доказательство п. 3 следует из аддитивности интеграла и оценокˆˆ ˆ f(x)dx−f(x)dxf (x)dx 6 sup |f (x)| µ(G \ Gi ) ==GGiG\GiGsup |f (x)| (µ(G) − µ(Gi )) → 0 при i → ∞.

GИз п. 2 теоремы 3.6 получаем:38Я. М. ДЫМАРСКИЙСледствие 3.2. (интегрирование и множество меры ноль)1. Если функция f ограничена и интегрируема на измеримом множествеG, то при изменении ее значений на подмножестве G′ ⊂ G меры ноль(с сохранением ограниченности) ее интегрируемость сохраняется, авеличина интеграла не меняется.2.

Пусть функция f определена и ограничена на замыкании G измеримогомножества. Тогда, если интегралыˆˆˆf (x)dx,f (x)dx,f (x)dxGGintGсуществуют, то все три одновременно, и при этом они равны.Задача 3.4. Докажите следствие 3.2.3.4. Элементарное множество. В этом пункте мы обобщим теорему оплощади криволинейной трапеции и заодно подготовимся к теореме о повторном интеграле. Напомним, подграфиком непрерывной неотрицательной функции f , определенной на замкнутом измеримом множестве G ⊂ Rn , мы называеммножествоn+1U nderGr(f ) = U Gr(f ) := {(x, y) ∈ G × R+.0 : 0 6 y 6 f (x)} ⊂ RБыло доказано (теорема 2.15.4), что подграфик – измеримое множество. Следующее понятие является обобщением понятия подграфикаОпределение 3.3.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,04 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее