Главная » Просмотр файлов » Лекции Дымарский 3 семестр

Лекции Дымарский 3 семестр (1187977), страница 10

Файл №1187977 Лекции Дымарский 3 семестр (Лекции Дымарский 3 семестр) 10 страницаЛекции Дымарский 3 семестр (1187977) страница 102020-09-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

, xn , c) dx1 . . . dxn . Тогда´функция h(y) := G(y) f (x1 , . . . , xn , y) dx1 . . . dxn интегрируема на [a, b] иˆˆ···Gˆbf (x1 , ..., xn , y) dx1 ...dxn dy =ˆdyaf (x1 , ..., xn , y) dx1 ...dxn .G(y)По сравнению с теоремой 3.9 в последней изменился порядок интегрирования.Задача 3.6. Докажите теорему 3.10. Затем методом индукции выведитеформулу объема n-мерного шара с центром в начале координат (предупреждение: формула выглядит по-разному в зависимости от четности n).44Я.

М. ДЫМАРСКИЙ§ 4. Замена переменных в кратном интегралеЗамена переменных не только важный технический прием, который позволяет найти конкретные кратные интегралы. Это ключевая процедура в теориимногомерных поверхностей и, следовательно, в теории интегрирования по поверхностям. Она лежит в основе дифференциальной геометрии и топологии,теории обыкновенных дифференциальных уравнений (особенно динамическихсистем) и уравнений математической физики. Существенно, что в этой процедуре используются понятия линейной алгебры и математического анализа.Прежде всего нам понадобятся4.1.

Геометрические свойства меры Жордана. Напомним, что: движением евклидова пространства называется преобразование, сохраняющее расстояние между произвольными точками; частным случаем движения является ортогональное пробразование, которое сохраняет скалярное произведениелюбых двух векторов; самосопряженным называется линейное преобразование Self , которое действует как растяжение с коэффициентами λi (i = 1, ..., n)вдоль n попарно ортогональных направлений, т.е. в каноническом ортонормированном базиcе отображение Self (y1 , y2 , ..., yn ) := (λ1 y1 , λ2 y2 , ..., λn yn ); аффинным преобразованием называется композиция линейного преобразованияи сдвига: Af f (x) = Lx + a.

Многомерным (n-мерным) параллелепипедом,построенном на векторах v1 , ..., vn , называется множествоΠ = {x ∈ Rn : x = α1 v1 + ... + αn vn , αi ∈ [0, 1]}.Задача 4.1. Проверьте определение параллелепипеда для случаев n = 1, 2, 3.Кроме аффинных нас интересуют преобразования более широкого класса:Определение 4.1. Пусть U, V ⊂ Rn – открытые подмножества. БиекцияF : U → V называется диффеоморфизмом, если F ∈ C 1 (U ) и F −1 ∈ C 1 (V ).Задача 4.2. Опираясь на теорему 1.3 об обратном отображении, докажите:1) непрерывно дифференцируемая биекция F : U → V открытых подмножествявляется диффеоморфизмом только в том случае, когда в каждой точке x ∈ Uпроизводная отображения невырождена, т.е.

detDF (x) ̸= 0;2) композиция двух диффеоморфизмов является диффеоморфизмом.Нас интересует влияние диффеоморфизма на измеримость и на саму мерумножества. Предвариательно будет доказано несколько утверждений.Лемма 4.1. (о сохранении меры при сдвиге) Мера множества не меняетсяпри сдвиге.Доказательство сразу следует из того, что сдвиг преобразует клетку в равную ей клетку.

Лемма 4.2. (о сохранении меры шара при движении) Мера шара при движении не меняетсяЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР45Доказательство. Во-первых, n-мерный шар – измеримое множество (следствие 2.15.3). Во-вторых, любой шар с центром в точке x0 является образомшара того же радиуса с центром в начале координат при сдвиге на вектор x0 .Поэтому все шары одинакового радиуса имеют одинаковую меру. Замечание 4.1. Из задачи 3.6 и леммы 4.2 мы получаем формулу мерыn-мерного шара независимо от его центра.

В частности, мера шара пропорциональна n-й степени его радиуса. Значит, существуют коэффициенты γn ∈ (0, 1)и Γn > 1, зависящие только размерности n, такие что мера вписанного в кубQn шара B∗ равна µ(B∗ ) = γn µ(Qn ), а мера описанного около куба шара B ∗равна µ(B ∗ ) = Γn µ(Qn ).Лемма 4.3. (о сохранении измеримости при диффеоморфизме) ПустьF : U → V ⊂ Rn – диффеоморфизм областей, X ⊂ U – измеримое компактноеподмножество. Тогда образ Y := F (X) – измеримое множество.Доказательство следует из цепочки утверждений:1.

При диффеоморфизме внутренность множества преобразуется во внутренность образа, а его граница – в границу образа:F (IntX) = Int(F (X)), F (∂X) = ∂(F (X)).2. Существует такая конечная совокупность кубов-клеток {Qi }Ni=1 , объединение которых содержит границу ∂X и сумма мер этих кубов сколь угодно мала, т.е.∀ε > 0 ∃{Qi }Ni=1 : ∂X ⊂N∪i=1Qi ∧N∑µ(Qi ) < ε.i=13. Существует такая конечная совокупность шаров {Bi }Ni=1 , что каждыйшар содержит соответствующий куб и сумма мер этих шаров сколь угодно мала, точнее∀ε > 0∃{Bi }Ni=1: ∀i ∈ {1, .

. . , N } ,→ Qi ⊂ Bi ∧N∑µ(Bi ) < Γn ε,i=1где коэффициент Γn > 1 определен в замечании 4.1.4. Существует такая конечная совокупность шаров {B̂i }Ni=1 , объединениекоторых содержит образ границы F (∂X) и сумма мер этих шаров скольугодно мала.Наброски доказательств утверждений. П. 1. Диффеоморфизм, в частности, есть непрерывная в обе стороны биекция. Нужно воспользоваться теоремой о прообразе открытого множества непрерывного отображения.П.

2. В силу измеримости X, его граница ∂X имеет меру ноль. Значит,она принадлежит клеточному множеству сколь угодно малой меры. Отсюдаследует, что ∂X можно погрузить в объединение клеток-кубов, которые непересекаются по внутренностям и сумма мер которых сколь угодно мала.Опишем около каждого куба шар и воспользуемся задачей ?? – получимутверждение п. 3.46Я. М. ДЫМАРСКИЙП. 4. следует из неравенства (1.4) Лагранжа о диаметре образа выпуклогомножества.Теперь, из критерия измеримости следует, что образ Y = F (X) измерим. Задача 4.3. Дайте подробные доказательства пунктов 1-4.Лемма 4.4.

(о заполнении измеримого множества шарами) В любое измеримое множество X положительной меры можно вложить конечное непересекающееся объединение B := ∪i Bi ⊂ X шаров Bi одинакового (достаточномалого) радиуса, обладающее свойством µ(B)/µ(X) > χ = χ(n) > 0, где коэффициент χ ∈ (0, 1) зависит только от размерности пространства n. Т.е.шарами одинакового малого радиуса можно заполнить некую χ-ю гарантированную по мере часть множества X.Доказательство.

Возьмем вложенное в X клеточное множество K = ∪j Kj ⊂X, мера которого не меньше половины µ(X). В каждую клетку Kj вложим такое клеточное множество Cj = ∪l Qj, l, составленное из одинаковых достаточномалых n-мерных кубов Qj,l , чтобы мера µ(Cj ) была не меньше половины мерыµ(Kj ). Тогда клеточное множество C = ∪Cj ⊂ X имеет меру µ(C) > (1/4)µ(X).Теперь в каждый куб Qj,l впишем шар Bj,l (т.е. диаметр шара равен ребрукуба). В силу задачи ??, отношение γn мер шара и описанной клетки-куба зависит только от размерности n. Объединение B := ∪j,l Bj,l ⊂ X.

Окончательнополучаем, что µ(B)/µ(X) > (1/4)γn = χ(n). Фундаментальной являетсяТеорема 4.1. (о сохранении меры при движении) Мера инвариантна относительно преобразования движения M ot, т.е. для любого измеримого множества X его образ M ot(X) измерим и мера µ(M ot(X)) = µ(X). В частности, мера инвариантна относительно ортогональных преобразований.Доказательство. Рассмотрим случай, когда µ(X) > 0. В силу леммы 4.4,заполним шарами одинакового радиуса гарантированную χ-ю по мере частьB1 ⊂ X данного множества.

Затем так же поступим с дополнением X1 :=X \ B1 – заполним шарами одинакового (возможно, меньшего) радиуса егогарантированную χ-ю по мере часть B2 ⊂ X1 . На следующем шаге возьмемдополнение X2 := X \ (B1 ∪ B2 ). И т.д. Очевидно, что для произвольного k ∈ Nимеет место вложение: Uk := ∪ki=1 Bi ⊂ X. По индукции нетрудно доказать,что µ(X \ Uk ) < µ(X)(1 − χ)k (докажите). Таким образом, существует такоеконечное объединение Uk = ∪ki=1 Bi ⊂ X шаров (возможно, разного радиуса),что разность мер 0 6 µ(X) − µ(Uk ) 6 ε может быть сколь угодно мала.Применим к измеримому множеству X произвольное движение M ot – получим множество Y := M ot(X).

Согласно лемме 4.3, множество Y измеримо.Допустим, что µ(X) > µ(Y ) Рассмотрим такое объединение шаров ∪ki=1 Bi ⊂X, чтобы µ(∪ki=1 Bi ) > µ(Y ). Поскольку M ot(∪ki=1 Bi ) ⊂ M ot(X) + Y , тоµ(M ot(∪ki=1 Bi )) 6 µ(Y ). Но, в силу аддитивности меры и доказанного в лемме4.2 сохранения меры шара при движении, µ(M ot(∪ki=1 Bi )) = µ(∪ki=1 Bi ) > µ(Y ).Противоречие.

Следовательно, при любом движении мера множества не убывает.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР47Допустим, что существует такое движение M ot и такое множество X, чтоµ(M ot(X)) > µ(X). Тогда обратное преобразование M ot−1 , которое такжеявляется движением, преобразует M ot(X) в X с уменьшением меры, что противоречит только что доказанному.

Задача 4.4. Докажите теорему 4.1 для случая µ(X) = 0.Замечание 4.2. Из теоремы 4.1 следует, что мера плоских множеств совпадает с их площадью, а мера трехмерных – с их объемом.Следующее утверждение является фундаментальным в теории интегрирования.Теорема 4.2. (геометрический смысл модуля определителя) Справедливыутверждения:1. Аффинное преобразование Af f (x) = Lx + a, задаваемое матрицей L ивектором сдвига a, изменяет меру произвольного измеримого множества по правилу: µ(Af f (X)) = |detL| · µ(X).2.

Мера n-мерного параллелепипеда Π, построенного на векторах v1 , ..., vn ,равна модулю определителя матрицы, столбцы которой образованы координатами векторов vi в произвольном ортонормированном базисе:µ(Π) = |det(v1 ...vn )|.Доказательство. Рассмотрим невырожденный случай detL ̸= 0. Пусть,пока, L – симметрическая матрица, задающее самосопряженное преобразование. Пусть {g1 , . . . , gn } – ортонормированные собственные векторы этого преобразования. В базисе {gi }ni=1 матрица L̂ преобразования имеет диагональный вид, где на i-м месте стоит собственное значение λi .

Наконец, пусть O– ортогональное преобразование, которое векторы gi преобразует в векторыei = (0, . . . , 1, . . . , 0)T стандартного базиса {ei }ni=1 . Тогда L = O−1 · L̂ · O.Диагональная матрица L̂ преобразует клетку в клетку, размеры которой изменяются по каждой оси в |λi | раз. Поэтому преобразование L̂ изменяет меруклетки в |λ1 · . . .

· λn | = |detL̂| = |detL| раз. Следовательно, преобразованиеL̂ изменяет меру любого измеримого множества в |detL| раз. Ортогональныепреобразования O и O−1 меру не меняют. Значит, самосопряженное невырожденное преобразование L изменяет меру в |detL| раз.Пусть L – произвольное невырожденное преобразование. Из курса линейнойалгебры известно, что такое преобразование представимо в виде произведенияортогонального и самосопряженного преобразований (полярное разложение).Значит, и в этом случае преобразование L изменяет меру в |detL| раз.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,04 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6358
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее