Лекции Дымарский 3 семестр (1187977), страница 10
Текст из файла (страница 10)
, xn , c) dx1 . . . dxn . Тогда´функция h(y) := G(y) f (x1 , . . . , xn , y) dx1 . . . dxn интегрируема на [a, b] иˆˆ···Gˆbf (x1 , ..., xn , y) dx1 ...dxn dy =ˆdyaf (x1 , ..., xn , y) dx1 ...dxn .G(y)По сравнению с теоремой 3.9 в последней изменился порядок интегрирования.Задача 3.6. Докажите теорему 3.10. Затем методом индукции выведитеформулу объема n-мерного шара с центром в начале координат (предупреждение: формула выглядит по-разному в зависимости от четности n).44Я.
М. ДЫМАРСКИЙ§ 4. Замена переменных в кратном интегралеЗамена переменных не только важный технический прием, который позволяет найти конкретные кратные интегралы. Это ключевая процедура в теориимногомерных поверхностей и, следовательно, в теории интегрирования по поверхностям. Она лежит в основе дифференциальной геометрии и топологии,теории обыкновенных дифференциальных уравнений (особенно динамическихсистем) и уравнений математической физики. Существенно, что в этой процедуре используются понятия линейной алгебры и математического анализа.Прежде всего нам понадобятся4.1.
Геометрические свойства меры Жордана. Напомним, что: движением евклидова пространства называется преобразование, сохраняющее расстояние между произвольными точками; частным случаем движения является ортогональное пробразование, которое сохраняет скалярное произведениелюбых двух векторов; самосопряженным называется линейное преобразование Self , которое действует как растяжение с коэффициентами λi (i = 1, ..., n)вдоль n попарно ортогональных направлений, т.е. в каноническом ортонормированном базиcе отображение Self (y1 , y2 , ..., yn ) := (λ1 y1 , λ2 y2 , ..., λn yn ); аффинным преобразованием называется композиция линейного преобразованияи сдвига: Af f (x) = Lx + a.
Многомерным (n-мерным) параллелепипедом,построенном на векторах v1 , ..., vn , называется множествоΠ = {x ∈ Rn : x = α1 v1 + ... + αn vn , αi ∈ [0, 1]}.Задача 4.1. Проверьте определение параллелепипеда для случаев n = 1, 2, 3.Кроме аффинных нас интересуют преобразования более широкого класса:Определение 4.1. Пусть U, V ⊂ Rn – открытые подмножества. БиекцияF : U → V называется диффеоморфизмом, если F ∈ C 1 (U ) и F −1 ∈ C 1 (V ).Задача 4.2. Опираясь на теорему 1.3 об обратном отображении, докажите:1) непрерывно дифференцируемая биекция F : U → V открытых подмножествявляется диффеоморфизмом только в том случае, когда в каждой точке x ∈ Uпроизводная отображения невырождена, т.е.
detDF (x) ̸= 0;2) композиция двух диффеоморфизмов является диффеоморфизмом.Нас интересует влияние диффеоморфизма на измеримость и на саму мерумножества. Предвариательно будет доказано несколько утверждений.Лемма 4.1. (о сохранении меры при сдвиге) Мера множества не меняетсяпри сдвиге.Доказательство сразу следует из того, что сдвиг преобразует клетку в равную ей клетку.
Лемма 4.2. (о сохранении меры шара при движении) Мера шара при движении не меняетсяЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР45Доказательство. Во-первых, n-мерный шар – измеримое множество (следствие 2.15.3). Во-вторых, любой шар с центром в точке x0 является образомшара того же радиуса с центром в начале координат при сдвиге на вектор x0 .Поэтому все шары одинакового радиуса имеют одинаковую меру. Замечание 4.1. Из задачи 3.6 и леммы 4.2 мы получаем формулу мерыn-мерного шара независимо от его центра.
В частности, мера шара пропорциональна n-й степени его радиуса. Значит, существуют коэффициенты γn ∈ (0, 1)и Γn > 1, зависящие только размерности n, такие что мера вписанного в кубQn шара B∗ равна µ(B∗ ) = γn µ(Qn ), а мера описанного около куба шара B ∗равна µ(B ∗ ) = Γn µ(Qn ).Лемма 4.3. (о сохранении измеримости при диффеоморфизме) ПустьF : U → V ⊂ Rn – диффеоморфизм областей, X ⊂ U – измеримое компактноеподмножество. Тогда образ Y := F (X) – измеримое множество.Доказательство следует из цепочки утверждений:1.
При диффеоморфизме внутренность множества преобразуется во внутренность образа, а его граница – в границу образа:F (IntX) = Int(F (X)), F (∂X) = ∂(F (X)).2. Существует такая конечная совокупность кубов-клеток {Qi }Ni=1 , объединение которых содержит границу ∂X и сумма мер этих кубов сколь угодно мала, т.е.∀ε > 0 ∃{Qi }Ni=1 : ∂X ⊂N∪i=1Qi ∧N∑µ(Qi ) < ε.i=13. Существует такая конечная совокупность шаров {Bi }Ni=1 , что каждыйшар содержит соответствующий куб и сумма мер этих шаров сколь угодно мала, точнее∀ε > 0∃{Bi }Ni=1: ∀i ∈ {1, .
. . , N } ,→ Qi ⊂ Bi ∧N∑µ(Bi ) < Γn ε,i=1где коэффициент Γn > 1 определен в замечании 4.1.4. Существует такая конечная совокупность шаров {B̂i }Ni=1 , объединениекоторых содержит образ границы F (∂X) и сумма мер этих шаров скольугодно мала.Наброски доказательств утверждений. П. 1. Диффеоморфизм, в частности, есть непрерывная в обе стороны биекция. Нужно воспользоваться теоремой о прообразе открытого множества непрерывного отображения.П.
2. В силу измеримости X, его граница ∂X имеет меру ноль. Значит,она принадлежит клеточному множеству сколь угодно малой меры. Отсюдаследует, что ∂X можно погрузить в объединение клеток-кубов, которые непересекаются по внутренностям и сумма мер которых сколь угодно мала.Опишем около каждого куба шар и воспользуемся задачей ?? – получимутверждение п. 3.46Я. М. ДЫМАРСКИЙП. 4. следует из неравенства (1.4) Лагранжа о диаметре образа выпуклогомножества.Теперь, из критерия измеримости следует, что образ Y = F (X) измерим. Задача 4.3. Дайте подробные доказательства пунктов 1-4.Лемма 4.4.
(о заполнении измеримого множества шарами) В любое измеримое множество X положительной меры можно вложить конечное непересекающееся объединение B := ∪i Bi ⊂ X шаров Bi одинакового (достаточномалого) радиуса, обладающее свойством µ(B)/µ(X) > χ = χ(n) > 0, где коэффициент χ ∈ (0, 1) зависит только от размерности пространства n. Т.е.шарами одинакового малого радиуса можно заполнить некую χ-ю гарантированную по мере часть множества X.Доказательство.
Возьмем вложенное в X клеточное множество K = ∪j Kj ⊂X, мера которого не меньше половины µ(X). В каждую клетку Kj вложим такое клеточное множество Cj = ∪l Qj, l, составленное из одинаковых достаточномалых n-мерных кубов Qj,l , чтобы мера µ(Cj ) была не меньше половины мерыµ(Kj ). Тогда клеточное множество C = ∪Cj ⊂ X имеет меру µ(C) > (1/4)µ(X).Теперь в каждый куб Qj,l впишем шар Bj,l (т.е. диаметр шара равен ребрукуба). В силу задачи ??, отношение γn мер шара и описанной клетки-куба зависит только от размерности n. Объединение B := ∪j,l Bj,l ⊂ X.
Окончательнополучаем, что µ(B)/µ(X) > (1/4)γn = χ(n). Фундаментальной являетсяТеорема 4.1. (о сохранении меры при движении) Мера инвариантна относительно преобразования движения M ot, т.е. для любого измеримого множества X его образ M ot(X) измерим и мера µ(M ot(X)) = µ(X). В частности, мера инвариантна относительно ортогональных преобразований.Доказательство. Рассмотрим случай, когда µ(X) > 0. В силу леммы 4.4,заполним шарами одинакового радиуса гарантированную χ-ю по мере частьB1 ⊂ X данного множества.
Затем так же поступим с дополнением X1 :=X \ B1 – заполним шарами одинакового (возможно, меньшего) радиуса егогарантированную χ-ю по мере часть B2 ⊂ X1 . На следующем шаге возьмемдополнение X2 := X \ (B1 ∪ B2 ). И т.д. Очевидно, что для произвольного k ∈ Nимеет место вложение: Uk := ∪ki=1 Bi ⊂ X. По индукции нетрудно доказать,что µ(X \ Uk ) < µ(X)(1 − χ)k (докажите). Таким образом, существует такоеконечное объединение Uk = ∪ki=1 Bi ⊂ X шаров (возможно, разного радиуса),что разность мер 0 6 µ(X) − µ(Uk ) 6 ε может быть сколь угодно мала.Применим к измеримому множеству X произвольное движение M ot – получим множество Y := M ot(X).
Согласно лемме 4.3, множество Y измеримо.Допустим, что µ(X) > µ(Y ) Рассмотрим такое объединение шаров ∪ki=1 Bi ⊂X, чтобы µ(∪ki=1 Bi ) > µ(Y ). Поскольку M ot(∪ki=1 Bi ) ⊂ M ot(X) + Y , тоµ(M ot(∪ki=1 Bi )) 6 µ(Y ). Но, в силу аддитивности меры и доказанного в лемме4.2 сохранения меры шара при движении, µ(M ot(∪ki=1 Bi )) = µ(∪ki=1 Bi ) > µ(Y ).Противоречие.
Следовательно, при любом движении мера множества не убывает.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР47Допустим, что существует такое движение M ot и такое множество X, чтоµ(M ot(X)) > µ(X). Тогда обратное преобразование M ot−1 , которое такжеявляется движением, преобразует M ot(X) в X с уменьшением меры, что противоречит только что доказанному.
Задача 4.4. Докажите теорему 4.1 для случая µ(X) = 0.Замечание 4.2. Из теоремы 4.1 следует, что мера плоских множеств совпадает с их площадью, а мера трехмерных – с их объемом.Следующее утверждение является фундаментальным в теории интегрирования.Теорема 4.2. (геометрический смысл модуля определителя) Справедливыутверждения:1. Аффинное преобразование Af f (x) = Lx + a, задаваемое матрицей L ивектором сдвига a, изменяет меру произвольного измеримого множества по правилу: µ(Af f (X)) = |detL| · µ(X).2.
Мера n-мерного параллелепипеда Π, построенного на векторах v1 , ..., vn ,равна модулю определителя матрицы, столбцы которой образованы координатами векторов vi в произвольном ортонормированном базисе:µ(Π) = |det(v1 ...vn )|.Доказательство. Рассмотрим невырожденный случай detL ̸= 0. Пусть,пока, L – симметрическая матрица, задающее самосопряженное преобразование. Пусть {g1 , . . . , gn } – ортонормированные собственные векторы этого преобразования. В базисе {gi }ni=1 матрица L̂ преобразования имеет диагональный вид, где на i-м месте стоит собственное значение λi .
Наконец, пусть O– ортогональное преобразование, которое векторы gi преобразует в векторыei = (0, . . . , 1, . . . , 0)T стандартного базиса {ei }ni=1 . Тогда L = O−1 · L̂ · O.Диагональная матрица L̂ преобразует клетку в клетку, размеры которой изменяются по каждой оси в |λi | раз. Поэтому преобразование L̂ изменяет меруклетки в |λ1 · . . .
· λn | = |detL̂| = |detL| раз. Следовательно, преобразованиеL̂ изменяет меру любого измеримого множества в |detL| раз. Ортогональныепреобразования O и O−1 меру не меняют. Значит, самосопряженное невырожденное преобразование L изменяет меру в |detL| раз.Пусть L – произвольное невырожденное преобразование. Из курса линейнойалгебры известно, что такое преобразование представимо в виде произведенияортогонального и самосопряженного преобразований (полярное разложение).Значит, и в этом случае преобразование L изменяет меру в |detL| раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
