Лекции Дымарский 3 семестр (1187977), страница 5
Текст из файла (страница 5)
4 теоремы 1.4, множество S в некоторой окрестности X × Y точки (x0 , y 0 ) := x∗ является графиком неявногоотображения f : X → Y . Определим отображениеGr(f ) : X → X × Y ⊂ Rp , Gr(f )(x) := (x, f (x)),которое сопоставляет точке x соответствующую ей точку на графике отображения f (рис.
1.7). Отображение Gr(f ) удовлетворяет всем требованиям,перечисленным в определении 1.1. В самом деле, 1) n = p − m < p поскольку m ∈ N; 2) X – область (в силу теоремы 1.4); 3) если x1 ̸= x2 , тоGR(f )(x1 ) = (x1 , f (x1 )) ̸= (x2 , f (x2 )) = GR(f )(x2 ); 4) гладкость Gr(f ) следуетиз гладкости f , а rankD(Gr(f ))(x0 , y 0 ) = n поскольку матрица производнойимеет блочный вид D(Gr(f ))(x0 , y 0 ) = (idx |Dy (Gr(f ))(x0 , y 0 )). Значит, графикотображения f является простой гладкой поверхностью. Первое утверждениедоказано.Tx*0 S @ V1x0x0x0-1S = F (Oy )x0Рис.
1.7@ V1@ V2Tx*0 S @ V 2Рис. 1.8Из доказательства следует, что касательное пространство в точке (x, y) =(x, f (x)) есть подпространство векторов v = (ξ, η) ∈ Vn × Vm , определяемоетак:T(x,y) S = {(ξ, η) ∈ Vn × Vm : ξ ∈ Vn , η = Df (x)ξ}.19ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТРНо производная неявного отображения определяется формулой (1.11). ПоэтомуT(x,y) S = {(ξ, η) ∈ Vn × Vm : η = −(Dy F (x, f (x)))−1 · Dx F (x, f (x))ξ} == {(ξ, η) : Dy F (x, y)η + Dx F (x, y)ξ = 0} = {v = (ξ, η) : DF (x, y)v = 0}.
Замечание 1.4. В доказательстве теоремы 1.5 мы задали поверхность какграфик гладкого отображения. Такой способ задания поверхности называетсяявным. Явный способ является частным случаем параметрического. Но онудобнее его, поскольку не использует дополнительные переменные-параметры:переменные x1 , ..., xn одновременно являются и параметрами, и первыми координатами точки на поверхности.Задача 1.5. Дайте параметрическое, неявное и явное задания окружности,двумерной сферы и их касательных пространств.Как известно из курса линейной алгебры, ранг матрицы равен количествулинейно независимых строк.
Поскольку в условиях теоремы 1.5 rank(DF (x))максимален, то все строки матрицы DF (x) линейно независимы. Но транспанированная i-я строка есть вектор градиента функции Fi (x). Следовательно,условие максимальности ранга матрицы частных производных геометрическиравносильно линейной независимости m градиентов gradFi (x) = (DFi (x))T .Определение 1.5.
Линейную m-мерную оболочку векторов (DFi (x))T (i =1, . . . , m) называют нормальным подпространством Nx S к поверхности Sв точке x ∈ S.Мы получаемСледствие 1.2. (о двух способах задания поверхности) Пусть одна и таже поверхность S параметризована отображением Φ(t) = x ∈ S ⊂ Rn+m(t ∈ V ⊂ Rn ) и задана неявно уравнением F (x) = Oy ∈ Rm . Тогда:1. ∀t ∈ V ,→ F (Φ(t)) ≡ Oy .2. Касательное пространство Tx S является ортогональным дополнениемк нормальному подпростанству Nx S:1) в каждой точке x = Φ(t) справедливы m·n условий ортогональности:()∂Φ(t)(DFj (x))T ,=0∂ti∀i = 1, ..., n, ∀j = 1, ..., m;2) Vn+m = Tx S ⊕ Nx S.Доказательство.
Первое утверждение равносильно принадлежности Φ(V ) ⊂S образа Φ(V ) поверхности S при условии, что S = {x : F (x) = 0y }. Дифференцируя тождество F (Φ(t)) ≡ Oy , получаемDF (x) ◦ DΦ(t) = Θ ⇔ ∂F1 (x)∂x1...∂Fm (x)∂x1.........∂F1 (x)∂xp...∂Fm (x)∂xp ·∂Φ1 (t)∂t1...∂Φp (t)∂t1.........∂Φ1 (t)∂tn...∂rp (t)∂tn = Θ,20Я. М. ДЫМАРСКИЙгде x = Φ(t), а Θ – нулевая матрица размером m × n.
Попарная ортогональность доказана. (На рис. 1.8 показаны два возможных случая размерностей касательного пространства и его ортогонального дополнения в трехмерном пространстве.) Поскольку касательное пространство Tx S имеет размерность n, а нормальное пространство Nx S – m-мерно, их прямая сумма образует n+m-мерное пространство, т.е.
все пространство. Значит, Tx S являетсяортогональным дополнением к Nx S. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР21§ 2. Экстремумы функций нескольких переменныхПроблема отыскания экстремума функции естественным образом возникает в геометрических задачах, задачах теории управления, в уравнениях математической физики, в многочисленных физических приложениях (которыеоснованы на вариационном принципе), в экономике.2.1. Необходимые и достаточные условия экстремума.И над вершинами КавказаИзгнанник рая пролеталМ.Ю.
Лермонтов. ДемонОпределение 2.1. Пусть функция f : Rn ⊃ U → R задана на некоторомоткрытом множестве. Точка x0 ∈ U называется точкой строгого (нестрогого)локального максимума (минимума), если в некоторой проколотой шаровойокрестности этой точки f (x) < f (x0 ) (6, >>). Точку локального максимумаили минимума называют точкой локального экстремума функции. На рис. 2.1 изображен график функции z = sin y 2 cos x, а на рис. 2.2 – линииуровней этой функции.Рис.
2.2Рис. 2.1Теорема 2.1. (необходимые условия локального экстремума) Если в точке локального экстремума x0 функция f дифференцируема, то вектор производной (градиент) в этой точке обнуляется, т.е. обнуляются все частныепроизводные:′(0f (x ) =∂f (x0 )∂f (x0 ), ... ,∂x1∂xn)T=0 ⇔∂f (x0 )∂f (x0 )= 0, ... ,= 0.∂x1∂xn(2.1)Доказательство. Если x0 = (x01 , ..., x0n ) – точка локального экстремумафункции f , то число x0i является точкой локального экстремума функцииfi (xi ) := f (x01 , ..., x0i−1 , xi , x0i+1 , ..., x0n ) числового переменного xi . В силу теоремы Ферма 0 = (fi )′ (x0i ) = ∂f (x0 )/∂xi .
22Я. М. ДЫМАРСКИЙРешения системы (2.1) являются точками подозрительными на экстремум.Их называют стационарными. Заметим, что система уравнений имеет квадратный вид – состоит из n уравнений с n неизвестными. В “типичном” случаетакая система имеет изолированные решения. Если дополнительно известно,что множество стационарных точек ограничено, тогда их количество конечно.Условие (2.1) не является достаточным.
Так, функция y = x3 имеет стационарную точку x = 0, которая не является точкой экстремума.Задача 2.1. Приведите пример функции двух переменных, которая обладает стационарной точкой не являющейся точкой экстремума.Возникает проблема получения обозримых достаточных условий существования экстремума Пусть функция f ∈ C 2 (U ) в некоторой окрестности U стационарной точки x0 . Как и в случае функции одной переменной воспользуемсяформулой Тейлора f (x) − f (x0 ) = df (x0 ; ∆x) + 12 d2 f (x0 , ∆x) + o(|∆x|2 ), где∆x = x − x0 (x ∈ U ).
Напомним (см. п. 1.5.3), что:1) дифференциал второгого порядка d2 f = d2 f (x, dx) есть функция 2n переменных (x; dx) = (x1 , ..., xn ; dx1 , ..., dxn ) (dx ∈ Vn );2) d2 f (x, dx) относительно вектора dx является квадратичной формой, порожденной симметрической матрицей вторых производных:d2 f (x, dx) = dxT ∂ 2 f (x)∂x21...∂ 2 f (x)∂xn ∂x1.........∂ 2 f (x)∂x1 ∂xn...∂ 2 f (x)∂x2nn∑∂ 2 f (x)dxi dxj .dx=∂xi ∂xji,j=1(2.2)Матрицу вторых производных будем обозначать через D2 f (x).
В силу (2.1), вточке x0 первый дифференциал df (x0 , dx) ≡ 0 по переменной dx. Мы получаемследующее разложение Тейлора:f (x) − f (x0 ) =1 2d f (x0 , ∆x) + o(|∆x|2 ) при ∆x → 0.2(2.3)Напомним, что квадратичная форма K(w) называется1. положительно определенной, если K(w) > 0 для всех w ̸= 0;2. отрицательно определенной, если K(w) < 0 для всех w ̸= 0;3. знаконеопределенной, если существуют w1 , w2 такие, что K(w1 ) > 0,K(w2 ) < 0;4.
положительно (отрицательно) полуопределенной, если она не принимает отрицательных (положительных) значений и существует w ̸= 0, чтоK(w) = 0.Знакоопределенность квадратичной формы проверяют с помощью критерияСильвестра. Исследуя функцию с помощью разложения (2.3), мы рассчитываем на то, что в нем ведущую роль играет именно квадратичная форма, ане остаточный член, имеющий более высокий порядок малости. Именно так ипроисходит в устойчивом случае:Теорема 2.2. (достаточные условия экстремума) Пусть x0 – стационарная точка функции f , и f ∈ C 2 в некоторой окрестности точки x0 .
Тогда:ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР231. если квадратичная форма d2 f (x0 , dx) является положительно определенной, то x0 – точка строгого локального минимума функции f ;2. если квадратичная форма d2 f (x0 , dx) является отрицательно определенной, то x0 – точка строгого локального максимума функции f ;3.
если квадратичная форма d2 f (x0 , dx) знаконеопределенная, то x0 не является точкой локального экстремума функции f ;4. если квадратичная форма d2 f (x0 , dx) является или положительно, илиотрицательно полуопределенной, то x0 может быть точкой локального экстремума (как строгого, так и нестрогого), а может и не бытьтаковой.Замечание 2.1. Случаи 1-3 устойчивые, т.е. малое изменение второго дифференциала не меняет тип точки x0 .Примеры 2.1. Примерами случаев 1-4 для функций двух переменных в точке O(0, 0) являются: 1) z = x2 +y 2 , 2) z = −x2 −y 2 , 3) z = x2 −y 2 , 4) z = x2 +y 4– точка строгого минимума, z = x2 – точка нестрогого минимума, z = x2 − x4– экстремум отсутствует.
См. рис. 2.3 - 2.8Рис. 2.3Рис. 2.6Рис. 2.4Рис. 2.7Рис. 2.5Рис. 2.824Я. М. ДЫМАРСКИЙДоказательство. Прежде всего заметим, что свойство точки x0 быть экстремальной для функции f является геометрическим. Другими словами, еслиA : Vn → Vn ортогональное проеобразование (сохраняющее скалярное произведение), то фнкции f (x) и g(y) := f (Ay + x0 ) в точках x0 = A(0) + x0 и y 0 = 0имеют одни и те же экстремальные свойства. В силу линейности A, первыйдифференциал d(Ay + x0 ) = A(dy). По этой же причине в точке 0 второйдифференциал сложной функции g имеет видd2 g(0, dy) = d(dg(y, dy))|y=0 = d(grad f (Ay + x0 )|, A(dy))y=0 =(D2 f (Ay + x0 )|y=0 ◦ A(dy), A(dy)) = (A(dy))T ◦ D2 f (x0 ) ◦ (A(dy)) == dy T (AT ◦ D2 f (x0 ) ◦ A) dy.Сравнивая с (2.2), мы видим, что матрица D2 f (x0 ) вторых производных врезультате линейной замены независимых переменных преобразуется по закону преобразования матрицы квадратичной формы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
