Главная » Просмотр файлов » Лекции Дымарский 3 семестр

Лекции Дымарский 3 семестр (1187977), страница 5

Файл №1187977 Лекции Дымарский 3 семестр (Лекции Дымарский 3 семестр) 5 страницаЛекции Дымарский 3 семестр (1187977) страница 52020-09-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

4 теоремы 1.4, множество S в некоторой окрестности X × Y точки (x0 , y 0 ) := x∗ является графиком неявногоотображения f : X → Y . Определим отображениеGr(f ) : X → X × Y ⊂ Rp , Gr(f )(x) := (x, f (x)),которое сопоставляет точке x соответствующую ей точку на графике отображения f (рис.

1.7). Отображение Gr(f ) удовлетворяет всем требованиям,перечисленным в определении 1.1. В самом деле, 1) n = p − m < p поскольку m ∈ N; 2) X – область (в силу теоремы 1.4); 3) если x1 ̸= x2 , тоGR(f )(x1 ) = (x1 , f (x1 )) ̸= (x2 , f (x2 )) = GR(f )(x2 ); 4) гладкость Gr(f ) следуетиз гладкости f , а rankD(Gr(f ))(x0 , y 0 ) = n поскольку матрица производнойимеет блочный вид D(Gr(f ))(x0 , y 0 ) = (idx |Dy (Gr(f ))(x0 , y 0 )). Значит, графикотображения f является простой гладкой поверхностью. Первое утверждениедоказано.Tx*0 S @ V1x0x0x0-1S = F (Oy )x0Рис.

1.7@ V1@ V2Tx*0 S @ V 2Рис. 1.8Из доказательства следует, что касательное пространство в точке (x, y) =(x, f (x)) есть подпространство векторов v = (ξ, η) ∈ Vn × Vm , определяемоетак:T(x,y) S = {(ξ, η) ∈ Vn × Vm : ξ ∈ Vn , η = Df (x)ξ}.19ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТРНо производная неявного отображения определяется формулой (1.11). ПоэтомуT(x,y) S = {(ξ, η) ∈ Vn × Vm : η = −(Dy F (x, f (x)))−1 · Dx F (x, f (x))ξ} == {(ξ, η) : Dy F (x, y)η + Dx F (x, y)ξ = 0} = {v = (ξ, η) : DF (x, y)v = 0}.

Замечание 1.4. В доказательстве теоремы 1.5 мы задали поверхность какграфик гладкого отображения. Такой способ задания поверхности называетсяявным. Явный способ является частным случаем параметрического. Но онудобнее его, поскольку не использует дополнительные переменные-параметры:переменные x1 , ..., xn одновременно являются и параметрами, и первыми координатами точки на поверхности.Задача 1.5. Дайте параметрическое, неявное и явное задания окружности,двумерной сферы и их касательных пространств.Как известно из курса линейной алгебры, ранг матрицы равен количествулинейно независимых строк.

Поскольку в условиях теоремы 1.5 rank(DF (x))максимален, то все строки матрицы DF (x) линейно независимы. Но транспанированная i-я строка есть вектор градиента функции Fi (x). Следовательно,условие максимальности ранга матрицы частных производных геометрическиравносильно линейной независимости m градиентов gradFi (x) = (DFi (x))T .Определение 1.5.

Линейную m-мерную оболочку векторов (DFi (x))T (i =1, . . . , m) называют нормальным подпространством Nx S к поверхности Sв точке x ∈ S.Мы получаемСледствие 1.2. (о двух способах задания поверхности) Пусть одна и таже поверхность S параметризована отображением Φ(t) = x ∈ S ⊂ Rn+m(t ∈ V ⊂ Rn ) и задана неявно уравнением F (x) = Oy ∈ Rm . Тогда:1. ∀t ∈ V ,→ F (Φ(t)) ≡ Oy .2. Касательное пространство Tx S является ортогональным дополнениемк нормальному подпростанству Nx S:1) в каждой точке x = Φ(t) справедливы m·n условий ортогональности:()∂Φ(t)(DFj (x))T ,=0∂ti∀i = 1, ..., n, ∀j = 1, ..., m;2) Vn+m = Tx S ⊕ Nx S.Доказательство.

Первое утверждение равносильно принадлежности Φ(V ) ⊂S образа Φ(V ) поверхности S при условии, что S = {x : F (x) = 0y }. Дифференцируя тождество F (Φ(t)) ≡ Oy , получаемDF (x) ◦ DΦ(t) = Θ ⇔ ∂F1 (x)∂x1...∂Fm (x)∂x1.........∂F1 (x)∂xp...∂Fm (x)∂xp  ·∂Φ1 (t)∂t1...∂Φp (t)∂t1.........∂Φ1 (t)∂tn...∂rp (t)∂tn = Θ,20Я. М. ДЫМАРСКИЙгде x = Φ(t), а Θ – нулевая матрица размером m × n.

Попарная ортогональность доказана. (На рис. 1.8 показаны два возможных случая размерностей касательного пространства и его ортогонального дополнения в трехмерном пространстве.) Поскольку касательное пространство Tx S имеет размерность n, а нормальное пространство Nx S – m-мерно, их прямая сумма образует n+m-мерное пространство, т.е.

все пространство. Значит, Tx S являетсяортогональным дополнением к Nx S. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР21§ 2. Экстремумы функций нескольких переменныхПроблема отыскания экстремума функции естественным образом возникает в геометрических задачах, задачах теории управления, в уравнениях математической физики, в многочисленных физических приложениях (которыеоснованы на вариационном принципе), в экономике.2.1. Необходимые и достаточные условия экстремума.И над вершинами КавказаИзгнанник рая пролеталМ.Ю.

Лермонтов. ДемонОпределение 2.1. Пусть функция f : Rn ⊃ U → R задана на некоторомоткрытом множестве. Точка x0 ∈ U называется точкой строгого (нестрогого)локального максимума (минимума), если в некоторой проколотой шаровойокрестности этой точки f (x) < f (x0 ) (6, >>). Точку локального максимумаили минимума называют точкой локального экстремума функции. На рис. 2.1 изображен график функции z = sin y 2 cos x, а на рис. 2.2 – линииуровней этой функции.Рис.

2.2Рис. 2.1Теорема 2.1. (необходимые условия локального экстремума) Если в точке локального экстремума x0 функция f дифференцируема, то вектор производной (градиент) в этой точке обнуляется, т.е. обнуляются все частныепроизводные:′(0f (x ) =∂f (x0 )∂f (x0 ), ... ,∂x1∂xn)T=0 ⇔∂f (x0 )∂f (x0 )= 0, ... ,= 0.∂x1∂xn(2.1)Доказательство. Если x0 = (x01 , ..., x0n ) – точка локального экстремумафункции f , то число x0i является точкой локального экстремума функцииfi (xi ) := f (x01 , ..., x0i−1 , xi , x0i+1 , ..., x0n ) числового переменного xi . В силу теоремы Ферма 0 = (fi )′ (x0i ) = ∂f (x0 )/∂xi .

22Я. М. ДЫМАРСКИЙРешения системы (2.1) являются точками подозрительными на экстремум.Их называют стационарными. Заметим, что система уравнений имеет квадратный вид – состоит из n уравнений с n неизвестными. В “типичном” случаетакая система имеет изолированные решения. Если дополнительно известно,что множество стационарных точек ограничено, тогда их количество конечно.Условие (2.1) не является достаточным.

Так, функция y = x3 имеет стационарную точку x = 0, которая не является точкой экстремума.Задача 2.1. Приведите пример функции двух переменных, которая обладает стационарной точкой не являющейся точкой экстремума.Возникает проблема получения обозримых достаточных условий существования экстремума Пусть функция f ∈ C 2 (U ) в некоторой окрестности U стационарной точки x0 . Как и в случае функции одной переменной воспользуемсяформулой Тейлора f (x) − f (x0 ) = df (x0 ; ∆x) + 12 d2 f (x0 , ∆x) + o(|∆x|2 ), где∆x = x − x0 (x ∈ U ).

Напомним (см. п. 1.5.3), что:1) дифференциал второгого порядка d2 f = d2 f (x, dx) есть функция 2n переменных (x; dx) = (x1 , ..., xn ; dx1 , ..., dxn ) (dx ∈ Vn );2) d2 f (x, dx) относительно вектора dx является квадратичной формой, порожденной симметрической матрицей вторых производных:d2 f (x, dx) = dxT ∂ 2 f (x)∂x21...∂ 2 f (x)∂xn ∂x1.........∂ 2 f (x)∂x1 ∂xn...∂ 2 f (x)∂x2nn∑∂ 2 f (x)dxi dxj .dx=∂xi ∂xji,j=1(2.2)Матрицу вторых производных будем обозначать через D2 f (x).

В силу (2.1), вточке x0 первый дифференциал df (x0 , dx) ≡ 0 по переменной dx. Мы получаемследующее разложение Тейлора:f (x) − f (x0 ) =1 2d f (x0 , ∆x) + o(|∆x|2 ) при ∆x → 0.2(2.3)Напомним, что квадратичная форма K(w) называется1. положительно определенной, если K(w) > 0 для всех w ̸= 0;2. отрицательно определенной, если K(w) < 0 для всех w ̸= 0;3. знаконеопределенной, если существуют w1 , w2 такие, что K(w1 ) > 0,K(w2 ) < 0;4.

положительно (отрицательно) полуопределенной, если она не принимает отрицательных (положительных) значений и существует w ̸= 0, чтоK(w) = 0.Знакоопределенность квадратичной формы проверяют с помощью критерияСильвестра. Исследуя функцию с помощью разложения (2.3), мы рассчитываем на то, что в нем ведущую роль играет именно квадратичная форма, ане остаточный член, имеющий более высокий порядок малости. Именно так ипроисходит в устойчивом случае:Теорема 2.2. (достаточные условия экстремума) Пусть x0 – стационарная точка функции f , и f ∈ C 2 в некоторой окрестности точки x0 .

Тогда:ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ТРЕТИЙ СЕМЕСТР231. если квадратичная форма d2 f (x0 , dx) является положительно определенной, то x0 – точка строгого локального минимума функции f ;2. если квадратичная форма d2 f (x0 , dx) является отрицательно определенной, то x0 – точка строгого локального максимума функции f ;3.

если квадратичная форма d2 f (x0 , dx) знаконеопределенная, то x0 не является точкой локального экстремума функции f ;4. если квадратичная форма d2 f (x0 , dx) является или положительно, илиотрицательно полуопределенной, то x0 может быть точкой локального экстремума (как строгого, так и нестрогого), а может и не бытьтаковой.Замечание 2.1. Случаи 1-3 устойчивые, т.е. малое изменение второго дифференциала не меняет тип точки x0 .Примеры 2.1. Примерами случаев 1-4 для функций двух переменных в точке O(0, 0) являются: 1) z = x2 +y 2 , 2) z = −x2 −y 2 , 3) z = x2 −y 2 , 4) z = x2 +y 4– точка строгого минимума, z = x2 – точка нестрогого минимума, z = x2 − x4– экстремум отсутствует.

См. рис. 2.3 - 2.8Рис. 2.3Рис. 2.6Рис. 2.4Рис. 2.7Рис. 2.5Рис. 2.824Я. М. ДЫМАРСКИЙДоказательство. Прежде всего заметим, что свойство точки x0 быть экстремальной для функции f является геометрическим. Другими словами, еслиA : Vn → Vn ортогональное проеобразование (сохраняющее скалярное произведение), то фнкции f (x) и g(y) := f (Ay + x0 ) в точках x0 = A(0) + x0 и y 0 = 0имеют одни и те же экстремальные свойства. В силу линейности A, первыйдифференциал d(Ay + x0 ) = A(dy). По этой же причине в точке 0 второйдифференциал сложной функции g имеет видd2 g(0, dy) = d(dg(y, dy))|y=0 = d(grad f (Ay + x0 )|, A(dy))y=0 =(D2 f (Ay + x0 )|y=0 ◦ A(dy), A(dy)) = (A(dy))T ◦ D2 f (x0 ) ◦ (A(dy)) == dy T (AT ◦ D2 f (x0 ) ◦ A) dy.Сравнивая с (2.2), мы видим, что матрица D2 f (x0 ) вторых производных врезультате линейной замены независимых переменных преобразуется по закону преобразования матрицы квадратичной формы.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,04 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее